Общая топология. Основные топологии локальных сетей. Типы локальных сетей и их устройство. Теорема Жордана о замкнутой кривой

1. Общая топология. Общая топология существует с тех пор, когда в процессе развития канторовской теории множеств была создана теория точечных множеств в евклидовом пространстве. Евклидово пространство - это пространство, в котором введено расстояние, поэтому оно как множество точек приобретает свою топологию.

Благодаря этому были разработаны понятия замкнутого и открытого множеств окрестности, точки накопления. Эти понятия являются фундаментальными в разных областях математики, в частности в анализе.

Теория точечных множеств в евклидовом пространстве послужила исходным пунктом в развитии общей идеи топологического пространства. Это началось с работ Фреше (1878-1973) 1907 года, посвященных -пространствам. Фреше, занимаясь исследованиями в области функционального анализа, определил пространство при помощи понятия сходимости, которое составляет ядро всей топологии. Заслуга Фреше в том, что он выдвинул основные положения абстрактного пространства. Это был отход от привычных рассмотрений в евклидовом пространстве. Точка абстрактного пространства - это уже не точка в том смысле, как это понимают в евклидовой геометрии. Если речь идет о множестве, в котором определено понятие сходимости, то это уже топологическое пространство. Абстрактная теория пространства постепенно слилась с тем, что определяется сейчас как теория топологических пространств. Абстрактизация идеи пространства открыла путь формированию многих важных понятий в различных разделах математики.

Мы приведем имена лишь нескольких математиков, которые внесли принципиальный вклад в разработку фундаментальных положений топологии.

В 1909 году Рис (1880-1956) исследовал предельные точки множества. В 1914 году Хаусдорф (1868-1942) пришел к понятию

системы окрестностей. В 1922 году Куратовский (р. 1896) ввел аксиоматику замыкания, в 1925 году Александров (р. 1896) построил теорию открытых множеств, а в 1927 году Серпиньский (1882-1969) - теорию замкнутых множеств.

Около сорока лет назад в противоположность нынешнему состоянию алгебраической топологии алгебраический аппарат использовался робко. В то время для изучения геометрических фигур применялись весьма наглядные методы, которые составляли геометрическую топологию теории множеств. Исследования велись в теории кривых линий, теории размерности, что в настоящее время включается в общую топологию.

2. Комбинаторная топология. При исследовании геометрических свойств мнргообразий Пуанкаре пользовался разбиением многообразия на элементарные симплексы и, обратно, создавал из симплексов сложные комбинаторные структуры. При этом Пуанкаре применял аппарат введенных им групп гомологий. Дальнейший прогресс комбинаторной топологии связан с такими значительными результатами, как результаты Хопфа (1895-1971), теоремы о неподвижных точках отображения Лефшеца (1884-1972), теоремы двойственности Пуанкаре и Александера. Эти геометрические теории, представляя собой часть комбинаторной топологии, являются ветвью алгебраической топологии. Примерно с 1940 года она получила значительное развитие в связи с исследованиями линейных образов комбинаторных структур, где Уайтхедом (1904-1960) были получены замечательные результаты. Эта дисциплина стала называться -топологией.

О положительном решении общего предположения Пуанкаре уже говорилось выше. Затрагивая вопрос определения комбинаторных многообразий, мы не говорили об известном основном предположении комбинаторной топологии, которое в 1961 году Мазуром и Милнором (р. 1931) было опровергнуто.

Основное предположение комбинаторной топологии (Hauptvermutung). В начале XX века комбинаторная топология особенно сильное развитие получила в Германии, и подавляющее большинство работ публиковалось на немецком языке. Упоминаемая здесь основная гипотеза также впервые была сформулирована на немецком языке. И по сей день в различных трудах ее часто называют по-немецки Hauptvermutung. Формулировка этого предположения такова: если полиэдры двух комплексов К к К гомеоморфны, то можно подразделить их таким образом, что полученные в результате этого комплексы являются равными комплексами.

Комплексы некоторые подразделения которых равны, называются комбинаторно эквивалентными. При определении комбинаторного многообразия, казалось бы, естественно потребовать, чтобы полиэдр звезды и -мерный симплекс были гомеоморфны. Однако в общем случае остается неизвестным, можно ли считать равными Поэтому удобнее требовать, чтобы были комбинаторно эквивалентны.

3. Алгебраическая топология. Алгебраическая топология представляет собой область геометрии, цель которой состоит в установлении топологических инвариантов на основе

применения теории групп. Алгебраическая топология считается ведущей областью топологии. Упоминавшаяся выше теория гомологий также относится к этой области геометрии. К числу других достижений алгебраической топологии относятся введенные в работах Александера и Колмогорова (р. 1903) группы когомологий.

В более позднее время алгебраическая топология сделала резкий скачок вперед благодаря работам Стинрода (1910-1971) по теории когомологий, опубликованным в 1947 году, и исследованию Серром (р. 1926) в 1951 году спектральных последовательностей.

4. Дифференциальная топология. Есть область топологии, объектом исследований которой являются дифференцируемые многообразия. Суть дифференцируемого многообразия состоит в возможности рассмотрения дифференцируемых функций, заданных на этом многообразии. Если о дифференцируемых многообразиях говорить конкретнее, то нужно прежде всего вспомнить, что каждая точка многообразия обладает окрестностью гомеоморфной открытому диску (или, что все равно, всему евклидову пространству). Координаты, заданные в евклидовом пространстве, посредством гомеоморфизмов переносятся в окрестность каждой точки многообразия. Это так называемые локальные координаты. Так как точка многообразия принадлежит одновременно многим окрестностям то ей соответствует столько же различных систем локальных координат. Многообразие дифференцируемоу если функции преобразования от одной локальной системы координат к другой являются дифференцируемыми.

Вероятно, следовало привести конкретные формулы, однако суть, думается, может быть ясна и без этого.

Непосредственное впечатление от дифференцируемого многообразия отражено в том, что часто применяется термин «гладкое многообразие». Гладкость состоит, собственно, в том, что окрестность каждой точки можно расширить дифференцируемым образом. Гладкие кривы 1 поверхности, такие, как сфера или поверхность тора представляют собой дифференцируемые многообразия.

В дифференциальной топологии, таким образом, можно рассматривать не только непрерывные относительно точек многообразия отображения, но и дифференцируемые отображения. Если к общим условиям гомеоморфизма одного многообразия на другое добавить условия дифференцируемости, то получим изоморфизм их гладких структур, или так называемый диффеоморфизм.

Другими словами, гладкие структуры диффеоморфных между собой дифференцируемых

многообразий равны. Такие многообразия являются главным объектом исследования дифференциальной топологии. Этот раздел геометрии связан с изучением глобальных свойств многообразий, и мы здесь не будем специально рассматривать такие вопросы дифференциальной геометрии, как кривизна и т. п.

Фундаментальные исследования в дифференциальной топологии были проведены Уитни (р. 1907) в 1930 году. Затем активность исследований в этой области несколько снизилась.

В 1952 году Том (р. 1923), лауреат филдсовской премии 1958 года, опираясь на теорию кбгомологий и гомотопических групп, построил теорию кобордизмов. Недавно он разработал ставшую широко известной теорию катастроф.

В 1956 году Милнором были обнаружены удивительные особенности дифференциальной структуры, присущие семимерной сфере Суть отбытия Милнора, которое явилось совершенно неожиданным не только с геометрической точки зрения, но и с точки зрения анализа, в двух словах заключается в том, что существуют гладкие семимерные сферы которые между собой гомеоморфны, но не диффеоморфны. Доказательство этого факта основано на предварительном изучении свойств и величин, сохраняющихся при диффеоморфизмах, последующее сравнение которых привело к выводу о том, что на семимерной сфере есть различные дифференциальные структуры.

В дифференциальной топологии был получен ряд глубоких теорем, которые составили ей славу одной из самых замечательных

областей всей математики. Ряд достижений дифференциальной топологии связан с комбинаторной топологией. Подтверждением этого является, например, теорема о том, что любое дифференцируемое многообразие есть комбинаторное многообразие.

5. Геометрическая топология. Это название, да и сам раздел топологии отнюдь не является общепризнанным. В исследовании топологических свойств геометрических фигур существует направление, в котором не применяется алгебраический метод, как это было при исследовании комбинаторных и гладких структур, и изучение геометрических свойств проводится непосредственно. Этим и объясняется название «геометрическая топология». Основной объект изучения геометрической топологии - это необычные геометрические фигуры в евклидовом пространстве Слова «необычные геометрические фигуры» употреблены здесь потому, что, с одной стороны, речь идет о необычных фигурах, применить к которым алгебраические методы особенно трудно, а с другой стороны, эти фигуры достаточно геометричны, чтобы иметь о них на: глядное представление. Направление, которое исследует необычные фигуры, можно было бы назвать геометрической патологией фигур.

Инструмент исследования в данном случае не представляет собой методически разработанную теорию. Изучение тех или иных геометрических фигур состоит в непосредственном

наглядном восприятии с последующим проведением цепочки строго обоснованных рассуждений. Поэтому здесь необходимы острота восприятия и правильность логического вывода. Из последних достижений в изучении патологических (диких) геометрических фигур можно, например, отметить исследования трехмерных многообразий. Проблема топологической классификации трехмерных многообразий, как это явствует уже из рассуждений относительно гипотезы Пуанкаре, далека от своего решения и представляется крайне сложной. Именно со стороны гипотезы Пуанкаре к задаче классификации подошли вплотную многие исследователи, получив значительные результаты. Хорошо известны исследования Папакирвякопулоса (1914-1976), в результате которых этот «уважаемый Пап» решил в 1957 году проблему Дэна (1878-1952) о сфере. Теорема о сфере формулируется следующим образом: если трехмерное ориентируемое многообразие с (двумерная гомотопическая группа), то существует вложенная в нестягиваемая двумерная сфера Эта сфера 52 как раз и обеспечивает нетривиальность двумерной гомотопической группы Эта теорема вскрывает еще одну связь между комбинаторной и алгебраической топологией. Надо сказать, что многие результаты одной области могут быть в определенной степени взаимно использованы в смежной области, хотя в каждом конкретном случае существо вопроса подлежит непосредственной проверке.

Что касается только что упомянутой проблемы, то о ее решении, которое опиралось на ряд вспомогательных лемм, заявил еще

в 1910 году, когда он занимался изучением геометрии трехмерных многообразий. Однако вскоре Кнезер (р. 1898) и другие указали на пробелы в приведенном доказательстве. И только гораздо позже, в 1957 году, было получено окончательное доказательство.

В вопросах построения трехмерных многообразий из более простых многообразий Кнезером была предложена важная теорема, которая в 1962 году была улучшена Милнором. Упоминая об этих теоремах, мы, однако, из-за их сложности не приводим здесь даже формулировок.

Из работ, посвященных изучению «диких» многообразий, следует также отметить последовавшую за работами Антуана 1921 года работу Александера 1924 года, в которой он предложил конструкцию так называемой рогатой сферы. Рогатая сфера Александера, которая изображена на рис. 107, непривычная, сложная для восприятия дикая фигура. В дальнейшем исследования в этом направлении продолжены Столлингсом, Бингом (р. 1914) и другими.

Итак, мы дали общий обзор основных областей топологии. Эти области, безусловно, не имеют между собой резких границ. Так, комбинаторная топология очень тесно связана как с геометрической, так и с дифференциальной топологией. В каждой из указанных областей применяется аппарат алгебраической топологии.

Далее следует подчеркнуть, что топологические методы находят применение в разных областях математики. Так, хотя мы почти не затрагивали проблемы классификации геометрических фигур, заметим, что здесь имеется много вопросов топологического характера. Достаточно вспомнить о проблеме узлов, которая является частным случаем более общей проблемы вложения многообразий в евклидово пространство или в какое-нибудь другое многообразие. В качестве простого примера можно указать на топологическую задачу размещения замкнутой кривой линии - окружности - на замкнутых кривых поверхностях рода 1, 2 и т. д.

Топология - это современная ветвь математики, и изложение содержания любой из ее областей неизбежно приводит к обсуждению острых проблем, касающихся современного состояния математики и перспектив ее развития. Однако поскольку мы вынуждены ограничиться кратким описанием лишь некоторых самых общих математических принципов и идей, то очень многое пришлось сократить до минимума или опустить вообще.

Ветвь геометрии, посвященная исследованию непрерывности и предельного перехода на том естественном уровне общности, к-рый определяется природой этих понятий. Исходными понятиями О. т. являются понятия топологического пространства и непрерывного отображения, выделенные в 1914 Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorf).

Частным случаем непрерывных отображений являются гомеоморфизмы- непрерывные взаимно одпознач-ные отображения топологич. пространств, обладающие непрерывным обратным отображением. Пространства, к-рые можно отобразить друг на друга посредством гомеоморфизма (т. е. гомеоморфные пространства), считаются в О. т. одинаковыми. Одной из основных задач О. т. является выделение и исследование естественных топологич. инвариантов - свойство пространств, сохраняющихся гомеоморфизмами. Разумеется, каждое свойство пространства, к-рое формулируется исключи-

тельно в терминах его топологии, автоматически является топологич. инвариантом. Доказательство топологич. инвариантности свойства пространства требуется лишь тогда, когда оно формулируется с привлечением каких-либо дополнительных структур, определенных на множестве точек пространства и так или иначе связанных с его топологией. Примером может служить топологич. инвариантность групп гомологии.

Топологич. инвариант не обязательно выражается числом; напр., связность, бикомпакгность, метризуемость - топологич. инварианты. Среди числовых инвариантов (принимающих числовые значения на конкретных топологич. пространствах) важнейшими являются размерностные инварианты: малая индуктивная размерность ind, большая индуктивная размерность Ind и размерность Лебега dim (размерность в смысле покрытий).

Важную роль играют топологич. инварианты иной природы, значениями к-рых служат кардинальные числа. Среди них: вес, характер.

В связи с системой топологич. инвариантов возникают классы топологич. пространств - каждый класс определяется ограничением на тот или иной топологич. ин-вариапт. Наиболее важны классы метризуемых пространств, бикомпактных пространств, тихоновских пространств, паракомпактных пространств, перистых пространств.

Основные "внутренние" задачи О. т. таковы: 1) выделение новых важных классов топологич. пространств; 2) сравнение различных классов топологич. пространств; 3) изучение пространств в пределах того или иного класса и категорных свойств этого класса в целом. Центральной в этой группе, безусловно, является задача 2), направленная на обеспечение внутреннего единства О. т.

Выделение новых важных классов топологич. пространств (т. е. новых топологич. инвариантов) часто связано с рассмотрением дополнительных структур на пространстве (числовых, алгебраических, порядковых), естественно согласованных с его топологией. Так, выделяются метризуемые пространства, упорядоченные пространства, пространства топологических групп,. симметризуемые пространства и др. Важную роль при решении задач 1), 2), 3) играет метод покрытий. На языке покрытий и соотношений между покрытиями, важнейшими из к-рых являются отношения вписанности и звездной вписанности, выделяются фундаментальные классы бикомпактных и паракомпактных пространств, формулируются тоиологич. свойства типа компактности. Метод покрытий играет важную роль в pas-мерности теории.

Для решения центральной задачи 2) особенно важен метод взаимной классификации пространств и отображений. Он направлен на установление связей между различными классами топологич. пространств посредством непрерывных отображений, подчиненных тем или иным простым ограничениям. Пространства весьма общей природы удается при этом описать как образы более простых пространств при "хороших" отображениях. Напр.. пространства с первой аксиомой счетности характеризуются как образы метрич. пространств при непрерывных открытых отображениях. Связи такого рода составляют эффективную систему ориентиров при рассмотрении классов топологич. пространств.

Метод обратных спектров, тесно связанный с методом покрытий и методом отображений, позволяет сводить изучение сложных топологич. пространств к рассмотрению систем отображений пространств более простых.

Наконец, в решении задачи 2) существенно участвует метод кардинальнозначных топологич. инвариантов, или мощностных характеристик. Инварианты такого рода наиболее созвучны теоретико-множественной природе О. т. В связи с этим система кардинальнозначных инвариантов обладает большой разветвленностью и оказывает влияние практически на все остальные топо-логич. свойства. Другая важная особенность кардинальнозначных инвариантов - их тесная взаимосвязь, в основе к-рой лежит возможность осуществлять над такими инвариантами арифметич. операции и сравнивать их по величине. Благодаря указанным чертам теория кардинальнозначных инвариантов играет унифицирующую роль в О. т. и дает подход к любому из ее разделов.

Среди внешних задач О. т. выделяется, прежде всего, следующая задача общего характера: как связаны и взаимодействуют свойства топологии и др. структур, согласованных с этой топологией. Конкретные задачи этого рода относятся к топологическим группам, к топологическим векторным пространствам и к мерам на топологических пространствах. Каждому бикомпакту отвечает банахова алгебра всех непрерывных действительных функций на этом бикомпакте. Этим теория топологич. пространств ставится в тесную связь с теорией банаховых алгебр. Большую роль в функциональном анализе играют слабые топологии на банаховых пространствах. Это - важный для приложений класс неметризуемых топологий. Каждое тихоновское пространство характеризуется однозначно кольцом всех непрерывных действительных функций на нем в топологии поточечной сходимости. Результаты этого рода соединяют О. т. и топологическую алгебру.

Понятие бикомпактного расширения нашло приложение в теории потенциала ( Кольцевая граница, Мартина граница ).

О. т. важна в методич. отношении при обучении математике. Только в рамках ее понятий и конструкций вполне выясняются и становятся прозрачными фундаментальные концепции непрерывности, сходимости, параллельного перехода. Трудно назвать области математики, в к-рых понятия и язык О. т. совсем бы не использовались. В этом, в частности, проявляется ее объединяющая роль в математике. Положение О. т. в математике определяется и тем, что целый ряд принципов и теорем, имеющих общематематич. значение, получает свою естественную (т. е. отвечающую природе этих принципов, теорем) формулировку только в рамках О. т. Примерами могут служить понятие бикомпактности - абстракции от леммы Гейне - Бореля о выборе конечного подпокрытия отрезка, теорема о бикомпактности произведения бикомпактных пространств (за к-рой стоит, в качестве прообраза, утверждение о бикомпактности конечномерного куба), теорема о том, что непрерывная действительная функция на бикомпакте ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений. Этот ряд примеров можно продолжить: понятие множества второй категории, понятие полноты, понятие расширения (сам характер этих понятий и относящихся к ним результатов, важных для математики в целом, делает наиболее естественным и прозрачным их исследование в рамках О. т.).

Лит. : Александров П. С, Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М., 1978, с. 280-358; его же, "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 2, с. 25-95; его же, там же, 1964, т. 19, в. 6, с. 3-46; 1965, т. 20, в. 1, с. 253-54; Алексндров П. С, Федорчук В. В., там же, 1978, т. 33, в. 3, с. 3- 48; Архангельский А. В., там же, 1966, т. 21, в. 4, с. 133-84; его же, там же, 1978, т. 33, в. 6, с. 29-84.

• - в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов...

  Физическая энциклопедия

• - область математики, возникшая для изучения таких свойств гео-метрич. фигур и их отображений друг в друга, к-рые не меняются при непрерывных деформациях...

  Математическая энциклопедия

• - раздел математики, имеющий своим назначением выяснение и исследование, в рамках математики, идеи непрерывности...

  Математическая энциклопедия

• - математическая дисциплина, изучающая такие свойства фигур, которые не изменяются при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний - это и есть топологические свойства...

  Начала современного Естествознания

• - раздел математики, изучающий топологич. свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний. Примерами топологич...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности...

  Большая Советская энциклопедия

• - раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при...

  Энциклопедия Кольера

• - раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний...

  Большой энциклопедический словарь

• - Р., Д., Пр....

  Орфографический словарь русского языка

• - ТОПОЛО́ГИЯ, топологии, мн. нет, жен. . Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур...

  Толковый словарь Ушакова

• - тополо́гия ж. Раздел математики, изучающий качественные свойства геометрических фигур, не зависящие от их длины, величины углов, прямолинейности и...

  Толковый словарь Ефремовой

• - ...

  Орфографический словарь-справочник

• - топол"...

  Русский орфографический словарь

• - Наука, учение о местностях...

  Словарь иностранных слов русского языка

• - ...

  Формы слова

• - сущ., кол-во синонимов: 1 математика...

  Словарь синонимов

"ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ" в книгах

Топология Леонардо