Paikallisten verkkojen perustopologiat. Paikallisverkkojen tyypit ja niiden rakenne. Topologia. Termien "Arc-node" ja "Georelational" alkuperä

§ 1.9. Topologian perus- ja esikanta.

Tietyn topologian Ω määrittämiseksi joukolle X ei tarvitse osoittaa suoraan kaikkia perheen Ω osajoukkoja. On toinenkin erittäin kätevä tapa topologian rakentaminen kantakäsitteen avulla.

Avointen joukkojen kokoelmaa β avaruudessa (X,Ω) kutsutaan topologian perustaΩ tai tilan pohja(X,Ω), jos jokainen topologisen avaruuden (X,Ω) ei-tyhjä avoin joukko voidaan esittää tietyn β:aan kuuluvan joukkojoukon liittona. Erityisesti X on yhtä suuri kuin kaikkien kantajoukon liitto.

Lause 1.9.

Topologian Ω avoimien joukkojen joukko β on tämän topologian perusta silloin ja vain, jos jokaiselle avoimelle joukolle U Ω ja jokaiselle pisteelle x U on olemassa joukko V β siten, että x V U.

Todiste. Olkoon β topologian Ω kanta. U on mielivaltainen avoin joukko perheestä Ω, x on joukon U mielivaltainen piste. Sitten kantaluvun määritelmän mukaan joukko , jossa on tietty joukko joukkoja, jotka kuuluvat kokoelmaan β. Koska x U, niin on olemassa indeksi α 0 J siten, että x V α0 β ja V α0 U. Toisaalta, jos U on mielivaltainen avoin joukko perheestä Ω, niin mille tahansa pisteelle x U on joukko V x β siten, että x V x U. Varmistetaan suoraan, että kaikkien tällaisten V x:iden liitto osuu yhteen U:n kanssa: . Siten mikä tahansa avoin joukko perheestä Ω on joidenkin β:aan kuuluvien joukkojen liitto. Tämä tarkoittaa, että β on määritelmän mukaan topologian Ω kanta.

Lause on todistettu.

Kutsutaan X:n osajoukkojen S α järjestelmää päällystetty X, jos liitos on sama kuin X. Kanta S kutsutaan avata, jos jokainen S α on avoin avaruudessa (X,Ω).

Erityisesti avaruuden kanta (X,Ω) on X:n avoin kansi. Kaikki X:n kansi eivät kuitenkaan voi toimia jonkin X:n topologian perustana.

Herää kysymys: jos jokin peitto X:stä, niin millä ehdoilla X:lle voidaan rakentaa topologia niin, että tämä perhe on tämän topologian perusta? Seuraava lause vastaa tähän kysymykseen.

Lause 1.10.

Antaa . Peite β = on jonkin X:n topologian perusta, jos ja vain jos jokaiselle β:n V α:lle, jokaiselle β:n V β:lle ja jokaiselle pisteelle x V α V β on olemassa V γ β siten, että x V γ (V α V β).

Todiste. Olkoon β = avaruuden (X,Ω) kanta. Koska β Ω, niin topologisen avaruuden aksiooman c) mukaan minkä tahansa kahden joukon leikkauspiste joukosta β on avoin joukko, ts. Vα VβΩ. Näin ollen Lauseen 1.9 mukaan mille tahansa pisteelle x V α V β on V γ β siten, että x V γ (V α V β).

Päinvastoin, olkoon peitteen β täyttää lauseen ehdot. Määritellään perhe Ω, joka koostuu tyhjästä joukosta ja kaikista mahdollisista joukkojen liitoista β:sta. Osoitetaan, että konstruoitu perhe Ω täyttää topologisen avaruuden aksioomat a) - c). Aksiooma a) on ilmeinen: tyhjä joukko sisältyy ehdolla Ω:iin, ja joukko kuuluu Ω:iin kaikkien β:sta lähtevien joukkojen liittona. Tarkastetaan aksiooma b). Olkoon joukkojen perhe, jossa U α Ω mille tahansa indeksille α alkaen J. Jokainen joukko U α on jonkin joukon joukon liitto joukosta β: missä V α,γ β jokaiselle indeksille α J ja jokaiselle indeksille γ G. Sitten, eli. joukko on jonkin joukon joukon liitto β:sta ja kuuluu siksi perheeseen Ω. Aksiooman c) todentamiseksi riittää osoittaa, että minkä tahansa kahden joukon U leikkauspiste on arvosta Ω. kuuluu ryhmään Ω. Esitetään joukot U seuraavassa muodossa: missä V γ β jokaiselle γ G, δ β jokaiselle δ D. Tarkastellaan leikkauskohtaa . Varmistetaan ensin, että jokainen joukko muotoa V γ δ kuuluu ryhmään Ω. Todellakin, mille tahansa pisteelle x V γ δ, lauseen ehtojen mukaan, on olemassa joukko W x β siten, että x W x V γ δ . Siksi joukko V γ δ = . Tuloksena oleva yhtälö osoittaa, että joukko V γ δ Ω on joukon β tietyn joukkoperheen liitto. Siksi joukko U on tietyn joukon Ω:n liitto, ja siksi aksiooman b nojalla U Ω. Siten perhe Ω täyttää topologisen avaruuden aksioomat a) - c), ts. on topologia X:llä, ja peite β toimii määritelmän mukaan Ω:n perustana.

Lause on todistettu.

Huomaa, että Lauseen 1.10 todistus osoittaa menetelmän topologian muodostamiseksi X:lle, jos annetaan peitto β, joka täyttää lauseen ehdot.

Onko mahdollista rakentaa topologia X:lle, jos annetaan mielivaltainen peitto? Vastaus tähän kysymykseen saadaan seuraavalla lauseella.

Lause 1.11.

Olkoon joukon X mielivaltainen peitto. Tällöin S:n elementtien kaikkien mahdollisten äärellisten leikkauspisteiden perhe muodostaa jonkin X:n topologian perustan.

Todiste. Tarkastetaan, että peitto, jossa K on mielivaltainen I:n äärellinen osajoukko, täyttää peruskriteerin. Huomattaessa, että perheen β minkä tahansa kahden alkion leikkauspiste on jälleen perheen β alkio, sovelletaan Lauseen 1.10: kaikille β:aan kuuluville joukoille U α, V β asetetaan V γ = V α V β. Sitten V γ β äärellisen joukon S:stä leikkauspisteenä. Siksi mille tahansa pisteelle x V α V β meillä on: x V γ = (V α V β). Siten Lauseen 1.10 mukaan β on jonkin X:n topologian kanta.

Lause on todistettu.

Kutsutaan avaruuden (X,Ω) avoimien osajoukkojen perhettä γ esikantatopologiaΩ jos perhe β, joka koostuu kaikista mahdollisista γ:n joukkojen äärellisistä leikkauspisteistä, muodostaa Ω:n topologian perustan.

Lause 1.11 sanoo, että jokainen X:n kansi on jonkin X:n topologian esikanta.

Ilmeisesti jokainen tilan kanta on myös sen esipohja. Tyypillisesti topologialla on useita kanta- ja esikantakohtia. Jompikumpi niistä voidaan antaa etusijalle ratkaistavan ongelman mukaan.

Joukkoa kutsutaan topologiseksi avaruudeksi, kun sen avoimia osajoukkoja on annettu tietty perhe, joka täyttää aksioomit. On monia tapoja määritellä topologisen avaruuden rakenne yhdessä joukossa: diskreetistä ei-Hausdorffin "antidiskreettiin (= triviaaliin) topologiaan", liimaamalla kaikki pisteet yhteen.

Joukkoteorian peruskäsitteet (joukko, funktio, järjestysluvut ja kardinaaliluvut, valinnan aksiooma, Zornin lemma jne.) eivät ole aiheena yleinen topologia, mutta se käyttää niitä aktiivisesti. Yleinen topologia sisältää seuraavat osiot: topologisten avaruuksien ominaisuudet ja niiden kartoitukset, operaatiot topologisilla avaruuksilla ja niiden kartoitukset, topologisten avaruuksien luokittelu.

Yleinen topologia sisältää ulottuvuuden teorian.

Tarina

Yleinen topologia syntyi 1800-luvun lopulla. ja siitä tuli itsenäinen matemaattinen tiede 1900-luvun alussa. Perusteokset kuuluvat F. Hausdorffin, A. Poincarén, P. S. Alexandrovin, P. S. Urysonin, L. Brouwerin. Erityisesti yksi yleisen topologian pääongelmista ratkaistiin - tarvittavien ja riittävien edellytysten löytäminen topologisen avaruuden mittaatavuudelle.

Yleisen topologian nopein kehitys itsenäisenä tiedonhaarana tapahtui 1900-luvun puolivälissä ja 2000-luvun alussa. pikemminkin se on aputieteenala, joka "palvelee" monia matematiikan osa-alueita käsitelaitteistollaan: topologia, funktionaalinen analyysi, monimutkainen analyysi, graafiteoria jne.

Katso myös

Huomautuksia

Yleisessä topologiassa esitelty funktion rajan käsite mahdollistaa lisäyleistämisen pseudotopologisten tilojen teorian puitteissa.

Kirjallisuus

P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Pääkohdat joukkoteoreettisen topologian kehittämisessä
Aleksandrov P.S. Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan - M.: Nauka, 1977
Arkhangelsky A.V., Ponomarev V.I. Yleisen topologian perusteet tehtävissä ja harjoituksissa - M.: Nauka, 1974
Bourbaki N. Matematiikan elementit. Yleinen topologia. Perusrakenteet - M.: Nauka, 1968
Kelly J.L. Yleinen topologia - M.: Nauka, 1968
Engelking R. Yleinen topologia - M.: Mir, 1986
Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementaarinen topologia. Tehtävän oppikirja (venäjäksi, englanniksi)

Wikimedia Foundation. 2010.

GULAG
Topologinen avaruus

Katso, mitä "Yleinen topologia" on muissa sanakirjoissa:

YLEINEN TOPOLOGIA- Geometrian haara, joka on omistettu jatkuvuuden ja rajalle siirtymisen tutkimukselle tällä luonnollisella yleisyyden tasolla, joka määräytyy näiden käsitteiden luonteen mukaan. O. t:n alkukäsitteet ovat topologisen avaruuden ja jatkuvan... ... Matemaattinen tietosanakirja

Yleinen algebra- (myös abstrakti algebra, korkeampi algebra) matematiikan haara, joka tutkii algebralliset järjestelmät(jota joskus kutsutaan myös algebrallisiksi rakenteiksi), kuten ryhmät, renkaat, kentät, osittain järjestetyt joukot, hilat, sekä ... ... Wikipedia

Topologia- Ei pidä sekoittaa topografiaan. Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Topologia (merkityksiä). Möbius-nauhan pinta... Wikipedia

Topologia- (kreikan sanasta topos paikka ja ... logiikka (Katso... Logia) jatkuvuusilmiön tutkimiselle omistettu geometrian osa (ilmaistuna esim. rajan käsitteellä) Jatkuvuuden eri ilmenemismuotoja matematiikassa ja laajassa valikoimassa erilaisia ... ... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

Zariski topologia- Tämän artikkelin pitäisi olla wikimuotoinen. Muotoile se artikkelin muotoilusääntöjen mukaisesti. Zariski-topologia algebrallisessa geometriassa on erityinen topologia, joka heijastaa algebrallista... Wikipedia

TOPOLOGIA- matematiikan ala, joka tutkii sellaisten kuvioiden (tai tilojen) ominaisuuksia, jotka säilyvät jatkuvien muodonmuutosten, kuten venytyksen, puristuksen tai taivutuksen, aikana. Jatkuva muodonmuutos on hahmon muodonmuutos, jossa ei ole... ... Collier's Encyclopedia

Yhteinen pointti (matematiikka)- Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Yleistä. Yhteinen piste on topologisen avaruuden piste, jonka sulkeutuminen osuu yhteen koko avaruuden kanssa. Topologinen avaruus, jolla on yhteinen piste, on redusoitumaton... ... Wikipedia

topologia- Verkkosolmujen fyysinen tai looginen jakelu. Fyysinen topologia määrää fyysisiä yhteyksiä(kanavat) solmujen välillä. Looginen topologia kuvaa mahdollisia verkkosolmujen välisiä yhteyksiä. Paikallisissa verkoissa kolme yleisintä...... Teknisen kääntäjän opas

TOPOLOGIA- laajassa mielessä topologiaa tutkiva matematiikan ala. ominaisuudet hajoavat. matematiikka. ja fyysistä esineitä. Intuitiivisesti topologiseen Näitä ovat korkealaatuiset, vakaat ominaisuudet, jotka eivät muutu muodonmuutoksen myötä. Matematiikka. topologisen idean formalisointi ominaisuudet ... ... Fyysinen tietosanakirja

Yleinen systeemiteoria- (systeemiteoria) tieteellinen ja metodologinen käsite järjestelmiä olevien objektien tutkimisesta. Se liittyy läheisesti järjestelmälähestymistapaan ja on sen periaatteiden ja menetelmien konkretisointi. Ensimmäinen versio yleisestä järjestelmäteoriasta oli... ... Wikipedia

Kirjat

Yleinen topologia. Perusrakenteet, N. Bourbaki. Tämä uusi painos on tehnyt aika paljon iso luku muutokset yksityiskohdissa; Lisäksi koko suunnitelma Ch. I ja II materiaalin järjestämiseksi paremmin sopusoinnussa yleisiä ideoita…

Kaikki kirjat voidaan ladata ilmaiseksi ja ilman rekisteröitymistä.

UUSI. O. Viro, O. Ivanov, N. Netsvetaev. Elementaarinen topologia. 2010 446 s. djvu. 2,2 Mt.
Kirja kattaa topologian peruskäsitteet. Se sisältää perusmateriaalia yleisestä topologiasta ja johdannon algebralliseen topologiaan, joka rakentuu perusryhmän ja kattavuuden käsitteiden ympärille. Kirjan päämateriaali sisältää suuri määrä ei-triviaaleja esimerkkejä ja tehtäviä, joiden vaikeusaste vaihtelee.
Kirja on tarkoitettu alakoululaisille.

ladata

Aleksandrov. Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. 1977 370 sivua djvu Koko 6,3 MB.
Yksi yksinkertaisimmista, ymmärrettävimmistä ja samalla syvällisimmistä kirjoista, joka toimii johdannossa äärettömien joukkojen matematiikkaan. Kirjoitettu hieman vanhanaikaisella tavalla selittääkseen kaiken sanoin ja mahdollisimman vähän kaavoja. Joillekin tämä saattaa tuntua haitalta, mutta useimmille se on suuri etu.

ladata

Buchstaber V.M., Panov T.E. Tooriset toiminnot topologiassa ja kombinatoriikassa. 2004 272 s. djvu. 2,9 Mt.
Tämän kirjan tarkoituksena on esitellä lukija laajalle tutkimusalueelle, joka sisältää runsaasti perustavanlaatuisia tuloksia ja tärkeitä sovelluksia. Se on muodostunut viimeisen kolmenkymmenen vuoden aikana kombinatorisen geometrian ja topologian, algebrallisen topologian ja geometrian, homologisen algebran, singulaarisuusteorian ja ennen kaikkea ideoiden, menetelmien ja saavutusten vuorovaikutuksen perusteella. Viime aikoina ja diskreetti matemaattinen fysiikka.
Kirjassa tutkittujen topologisten ja kombinatoristen objektien joukossa on sekä klassisia että äskettäin ilmestyneitä. Näitä ovat konveksit polyhedrat, yksinkertaiset ja kuutiokompleksit, yksinkertaiset solun väliseinät, pallojen kolmiomiot ja yleisemmät variaatiot, kolmioavaruudet, algebralliset toriset variaatiot ja niiden erilaiset topologiset analogit, momenttikulmakompleksit, jotka ovat uusi luokka tooriset toiminnot, aliavaruuksien konfiguraatiot ja niiden täydennykset.
Kirjassa esitetään silmiinpistäviä tuloksia geometrian, topologian, kombinatoriikan ja homologisen algebran välisten syvien yhteyksien ansiosta. Tarjolla on useita klassisia ja moderneja rakenteita, jotka mahdollistavat näiden liitosten tehokkaan käytön. Kirja sisältää iso lista avoimia ongelmia.