Ilmaisun merkityksen löytäminen: säännöt, esimerkit, ratkaisut. Yksittäisissä numeroissa on hakasulkeet. Suluissa numerovälejä

Joten jos numeerinen lauseke koostuu luvuista ja merkistä +, −, · ja:, niin vasemmalta oikealle järjestyksessä sinun on ensin suoritettava kerto- ja jakolasku ja sitten yhteen- ja vähennyslasku, jonka avulla voit löytää haluttu lausekkeen arvo.

Annetaan muutamia esimerkkejä selvennykseksi.

Esimerkki.

Laske lausekkeen 14−2·15:6−3 arvo.

Ratkaisu.

Lausekkeen arvon löytämiseksi sinun on suoritettava kaikki siinä määritellyt toiminnot hyväksytyn suoritusjärjestyksen mukaisesti. Ensin, järjestyksessä vasemmalta oikealle, suoritamme kerto- ja jakolaskun, saamme 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nyt suoritetaan myös loput toiminnot järjestyksessä vasemmalta oikealle: 14−5−3=9−3=6. Näin löysimme alkuperäisen lausekkeen arvon, se on yhtä suuri kuin 6.

Vastaus:

14−2·15:6−3=6.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys.

Ratkaisu.

SISÄÄN tässä esimerkissä meidän täytyy ensin tehdä kertolasku 2·(−7) ja jako kertolaskulla lausekkeessa . Muistamalla kuinka , löydämme 2·(−7)=−14. Ja suorittaa ensin lausekkeen toiminnot , sitten , ja suorita: .

Korvaamme saadut arvot alkuperäiseen lausekkeeseen: .

Mutta entä jos juurimerkin alla on numeerinen lauseke? Saadaksesi tällaisen juuren arvon, sinun on ensin löydettävä radikaalilausekkeen arvo noudattaen hyväksyttyä toimintojen suoritusjärjestystä. Esimerkiksi, .

Numeerisissa lausekkeissa juuret tulisi nähdä joinakin numeroina, ja on suositeltavaa korvata juuret välittömästi niiden arvoilla ja löytää sitten tuloksena olevan lausekkeen arvo ilman juuria suorittamalla toiminnot hyväksytyssä järjestyksessä.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys juurilla.

Ratkaisu.

Etsitään ensin juuren arvo . Tätä varten laskemme ensin olemassa olevan radikaalilausekkeen arvon −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Ja toiseksi löydämme juuren arvon.

Lasketaan nyt toisen juuren arvo alkuperäisestä lausekkeesta: .

Lopuksi voimme löytää alkuperäisen ilmaisun merkityksen korvaamalla juuret niiden merkityksillä: .

Vastaus:

Melko usein juurten sisältävän ilmaisun merkityksen löytämiseksi se on ensin muutettava. Esitetään esimerkin ratkaisu.

Esimerkki.

Mikä on ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Emme pysty korvaamaan kolmen juuria sen tarkalla arvolla, mikä estää meitä laskemasta tämän lausekkeen arvoa yllä kuvatulla tavalla. Voimme kuitenkin laskea tämän lausekkeen arvon suorittamalla yksinkertaisia ​​muunnoksia. Sovellettava neliön erotuskaava: . Ottaen huomioon, saamme . Alkuperäisen lausekkeen arvo on siis 1.

Vastaus:

.

Astinten kanssa

Jos kanta ja eksponentti ovat lukuja, niin niiden arvo lasketaan määrittämällä aste, esim. 3 2 =3·3=9 tai 8 −1 =1/8. On myös merkintöjä, joissa kanta ja/tai eksponentti ovat joitain lausekkeita. Näissä tapauksissa sinun on löydettävä lausekkeen arvo kannasta, lausekkeen arvo eksponenteista ja laskettava sitten itse asteen arvo.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo muodon potenssien avulla 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4.

Ratkaisu.

Alkuperäisessä lausekkeessa on kaksi potenssia 2 3·4−10 ja (1−1/2) 3,5−2·1/4. Niiden arvot on laskettava ennen muiden toimien suorittamista.

Aloitetaan potenssilla 2 3·4−10. Sen indikaattori sisältää numeerisen lausekkeen, lasketaan sen arvo: 3·4−10=12−10=2. Nyt löydät itse asteen arvon: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Kanta ja eksponentti (1−1/2) 3.5−2 1/4 sisältävät lausekkeita, joiden arvot lasketaan eksponentin arvon löytämiseksi. Meillä on (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Nyt palaamme alkuperäiseen lausekkeeseen, korvaamme siinä olevat asteet niiden arvoilla ja löydämme tarvitsemamme lausekkeen arvon: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Vastaus:

2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 =6.

On syytä huomata, että on yleisempiä tapauksia, joissa on suositeltavaa suorittaa alustava ilmaisun yksinkertaistaminen valtuuksilla pohjalla.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Tämän lausekkeen eksponenteista päätellen ei ole mahdollista saada tarkkoja eksponenttiarvoja. Yritetään yksinkertaistaa alkuperäistä ilmaisua, ehkä tämä auttaa löytämään sen merkityksen. Meillä on

Vastaus:

.

Lausekkeiden tehot kulkevat usein käsi kädessä logaritmien kanssa, mutta puhumme logaritmien ilmaisujen merkityksen löytämisestä yhdessä niistä.

Murtolukuja sisältävän lausekkeen arvon löytäminen

Numeeriset lausekkeet voivat sisältää murto-osia merkinnöissään. Kun sinun on löydettävä tällaisen lausekkeen merkitys, muut kuin murtoluvut tulee korvata niiden arvoilla ennen kuin jatkat muihin vaiheisiin.

Murtolukujen osoittaja ja nimittäjä (jotka eroavat tavallisista murtoluvuista) voivat sisältää sekä joitain lukuja että lausekkeita. Tällaisen murtoluvun arvon laskemiseksi sinun on laskettava lausekkeen arvo osoittajassa, laskettava lausekkeen arvo nimittäjässä ja laskettava sitten itse murto-osan arvo. Tämä järjestys selittyy sillä, että murto-osa a/b, jossa a ja b ovat joitain lausekkeita, edustaa olennaisesti muodon (a):(b) osamäärää, koska .

Katsotaanpa esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Selvitä lausekkeen merkitys murtoluvuilla .

Ratkaisu.

Alkuperäisessä numeerisessa lausekkeessa on kolme murtolukua Ja . Löytääksemme alkuperäisen lausekkeen arvon meidän on ensin korvattava nämä murtoluvut niiden arvoilla. Tehdään se.

Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät numeroita. Jos haluat selvittää tällaisen murtoluvun arvon, korvaa murtopalkki jakomerkillä ja suorita seuraava toiminto: .

Murtoluvun osoittajassa on lauseke 7−2·3, jonka arvo on helppo löytää: 7−2·3=7−6=1. Täten, . Voit siirtyä etsimään kolmannen murto-osan arvon.

Kolmas murto-osa osoittajassa ja nimittäjässä sisältää numeerisia lausekkeita, joten sinun on ensin laskettava niiden arvot, jolloin voit löytää itse murto-osan arvon. Meillä on .

On vielä korvattava löydetyt arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava loput toiminnot: .

Vastaus:

.

Usein, kun etsit fraktioiden arvoja, sinun on suoritettava yksinkertaistaa murtolausekkeita, joka perustuu toimintojen suorittamiseen murto-osien kanssa ja murtolukujen vähentämiseen.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Viiden juurta ei voida purkaa kokonaan, joten alkuperäisen lausekkeen arvon löytämiseksi yksinkertaistetaan sitä ensin. Tätä varten päästään eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä ensimmäinen murto: . Tämän jälkeen alkuperäinen lauseke saa muodon . Murtolukujen vähentämisen jälkeen juuret katoavat, jolloin voimme löytää alun perin annetun lausekkeen arvon: .

Vastaus:

.

Logaritmeilla

Jos numeerinen lauseke sisältää , ja jos niistä on mahdollista päästä eroon, tämä tehdään ennen muiden toimien suorittamista. Esimerkiksi, kun löydetään lausekkeen log 2 4+2·3 arvo, logaritmi log 2 4 korvataan sen arvolla 2, minkä jälkeen loput toiminnot suoritetaan tavallisessa järjestyksessä eli log 2 4+2 ·3=2+2·3=2+6=8.

Kun logaritmin etumerkin alla ja/tai sen pohjalla on numeerisia lausekkeita, löydetään ensin niiden arvot, minkä jälkeen logaritmin arvo lasketaan. Harkitse esimerkiksi lauseketta, jolla on muodon logaritmi . Logaritmin pohjalta ja sen etumerkin alta löytyy numeeriset lausekkeet: . Nyt löydämme logaritmin, jonka jälkeen suoritamme laskelmat: .

Jos logaritmeja ei lasketa tarkasti, niin sen alustava yksinkertaistaminen käyttämällä . Tässä tapauksessa sinun tulee hallita artikkelimateriaalia hyvin logaritmisen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo logaritmeilla .

Ratkaisu.

Aloitetaan laskemalla log 2 (log 2 256) . Koska 256 = 2 8, sitten log 2 256 = 8, log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 =3.

Logaritmit log 6 2 ja log 6 3 voidaan ryhmitellä. Logaritmien log 6 2+log 6 3 summa on yhtä suuri kuin tulologaritmin logaritmi (2 3), joten log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Katsotaan nyt murto-osaa. Aluksi kirjoitamme uudelleen logaritmin kantan nimittäjään tavallisen murtoluvun muodossa 1/5, jonka jälkeen käytämme logaritmien ominaisuuksia, joiden avulla voimme saada murtoluvun arvon:
.

Jäljelle jää vain korvaamalla saadut tulokset alkuperäisellä lausekkeella ja viimeistelemällä sen arvon löytäminen:

Vastaus:

Kuinka löytää trigonometrisen lausekkeen arvo?

Kun numeerinen lauseke sisältää tai jne., niiden arvot lasketaan ennen muiden toimien suorittamista. Jos trigonometristen funktioiden merkin alla on numeerisia lausekkeita, lasketaan ensin niiden arvot, minkä jälkeen löydetään trigonometristen funktioiden arvot.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Siirrymme artikkeliin, saamme ja cosπ=−1 . Korvaamme nämä arvot alkuperäiseen lausekkeeseen, se ottaa muodon . Löytääksesi sen arvon, sinun on ensin suoritettava eksponentio ja suoritettava sitten laskelmat: .

Vastaus:

.

On syytä huomata, että lausekkeiden arvojen laskeminen sinillä, kosinilla jne. vaatii usein etukäteen trigonometrisen lausekkeen muuntaminen.

Esimerkki.

Mikä on trigonometrisen lausekkeen arvo .

Ratkaisu.

Muunnetaan alkuperäinen lauseke käyttämällä , muotoa tässä tapauksessa tarvitsemme kaksoiskulmakosinikaavan ja summakosinikaavan:

Tekemämme muunnokset auttoivat meitä löytämään ilmaisun merkityksen.

Vastaus:

.

Yleinen tapaus

SISÄÄN yleinen tapaus numeerinen lauseke voi sisältää juuria, potteja, murtolukuja, mitä tahansa funktioita ja sulkeita. Tällaisten lausekkeiden arvojen löytäminen koostuu seuraavien toimien suorittamisesta:

• ensimmäiset juuret, potenssit, murtoluvut jne. korvataan niiden arvoilla,
• muut toimet suluissa,
• ja järjestyksessä vasemmalta oikealle, loput operaatiot suoritetaan - kerto- ja jakolasku, jota seuraa yhteen- ja vähennyslasku.

Luettelotoimenpiteet suoritetaan, kunnes saadaan lopullinen tulos.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Tämän ilmaisun muoto on melko monimutkainen. Tässä lausekkeessa näemme murtoluvut, juuret, potenssit, sinit ja logaritmit. Kuinka löytää sen arvo?

Liikkuessamme tietuetta vasemmalta oikealle, törmäämme lomakkeen murto-osaan . Tiedämme, että kun työskentelemme monimutkaisten murtolukujen kanssa, meidän on laskettava erikseen osoittajan arvo, erikseen nimittäjä ja lopuksi löydettävä murto-osan arvo.

Osoittimessa on lomakkeen juuri . Sen arvon määrittämiseksi sinun on ensin laskettava radikaalilausekkeen arvo . Tässä on sini. Voimme löytää sen arvon vasta lausekkeen arvon laskemisen jälkeen . Tämän voimme tehdä: . Siis mistä ja mistä .

Nimittäjä on yksinkertainen: .

Täten, .

Kun tämä tulos on korvattu alkuperäisellä lausekkeella, se saa muotoa . Tuloksena oleva lauseke sisältää asteen . Löytääksemme sen arvon meidän on ensin löydettävä indikaattorin arvo, meillä on .

Joten,.

Vastaus:

.

Jos ei ole mahdollista laskea juurien, potenssien jne. tarkkoja arvoja, voit yrittää päästä eroon niistä käyttämällä joitain muunnoksia ja palata sitten arvon laskemiseen määritetyn järjestelmän mukaisesti.

Rationaalisia tapoja laskea lausekkeiden arvot

Numeeristen lausekkeiden arvojen laskeminen vaatii johdonmukaisuutta ja tarkkuutta. Kyllä, on tarpeen noudattaa edellisissä kappaleissa tallennettua toimintosarjaa, mutta tätä ei tarvitse tehdä sokeasti ja mekaanisesti. Tarkoitamme tällä sitä, että ilmaisun merkityksen löytämisprosessi on usein mahdollista järkeistää. Esimerkiksi tietyt numerooperaatioiden ominaisuudet voivat merkittävästi nopeuttaa ja yksinkertaistaa lausekkeen arvon löytämistä.

Esimerkiksi tiedämme tämän kertolaskuominaisuuden: jos yksi tuotteen tekijöistä yhtä kuin nolla, silloin tuotteen arvo on nolla. Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme heti sanoa, että lausekkeen arvo 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) on yhtä suuri kuin nolla. Jos noudatettaisiin normaalia toimintojen järjestystä, olisi ensin laskettava suluissa olevien hankalien lausekkeiden arvot, mikä veisi paljon aikaa ja tulos olisi silti nolla.

On myös kätevää käyttää yhtäläisten lukujen vähennysominaisuutta: jos vähennät yhtä suuren luvun luvusta, tulos on nolla. Tätä ominaisuutta voidaan tarkastella laajemmin: ero kahden identtisen numeerisen lausekkeen välillä on nolla. Voit esimerkiksi löytää lausekkeen arvon laskematta sulkeissa olevien lausekkeiden arvoa (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), se on yhtä suuri kuin nolla, koska alkuperäinen lauseke on identtisten lausekkeiden erotus.

Identiteettimuunnokset voivat helpottaa lausekearvojen rationaalista laskemista. Esimerkiksi termien ja tekijöiden ryhmittely voi olla hyödyllistä, ja sitä käytetään yhtä usein. Joten lausekkeen 53·5+53·7−53·11+5 arvo on erittäin helppo löytää, kun tekijä 53 on otettu pois suluista: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Suora laskeminen kestäisi paljon kauemmin.

Tämän kohdan lopuksi kiinnitämme huomiota rationaaliseen lähestymistapaan fraktioiden arvojen laskemiseen - identtiset tekijät murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä peruutetaan. Esimerkiksi samojen lausekkeiden vähentäminen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä voit löytää välittömästi sen arvon, joka on yhtä suuri kuin 1/2.

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvon löytäminen

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvo löytyy tietyille kirjainten ja muuttujien arvoille. Tuo on, me puhumme kirjaimellisen lausekkeen arvon löytämisestä annetuille kirjainarvoille tai muuttujia sisältävän lausekkeen arvon löytämisestä valituille muuttujaarvoille.

Sääntö kirjaimellisen lausekkeen tai muuttujia sisältävän lausekkeen arvon löytäminen annetuille kirjainten arvoille tai valituille muuttujien arvoille on seuraava: sinun on korvattava annetut kirjainten tai muuttujien arvot alkuperäisellä lausekkeella ja laskettava tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvo, se on haluttu arvo.

Esimerkki.

Laske lausekkeen 0.5·x−y arvo kohdissa x=2.4 ja y=5.

Ratkaisu.

Löytääksesi lausekkeen vaaditun arvon, sinun on ensin korvattava muuttujien annetut arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava sitten seuraavat vaiheet: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Vastaus:

−3,8 .

Viimeisenä huomautuksena, toisinaan muuntaminen kirjaimellisille ja muuttujalausekkeille tuottaa niiden arvot riippumatta kirjainten ja muuttujien arvoista. Esimerkiksi lauseke x+3−x voidaan yksinkertaistaa, minkä jälkeen se saa muotoa 3. Tästä voimme päätellä, että lausekkeen x+3−x arvo on yhtä suuri kuin 3 mille tahansa muuttujan x arvolle sen sallittujen arvojen alueelta (APV). Toinen esimerkki: lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin 1 x:n kaikille positiivisille arvoille, joten muuttujan x sallittujen arvojen alue alkuperäisessä lausekkeessa on positiivisten lukujen joukko, ja tällä alueella yhtäläisyys pitää.

Bibliografia.

• Matematiikka: oppikirja 5 luokalle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematiikka. 6. luokka: koulutus. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [N. Ja Vilenkin ja muut]. - 22. painos, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: oppikirja 7 luokalle Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; muokannut S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M.: Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: oppikirja 8 luokalle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; muokannut S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M.: Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. luokka: koulutus. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; muokannut S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M.: Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 luokalle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. painos - M.: Koulutus, 2004. - 384 s. - ISBN 5-09-013651-3.

Sulkujen laajentaminen on eräänlainen lausekkeen muunnos. Tässä osiossa kuvataan sulkeiden avaamisen säännöt ja tarkastellaan myös yleisimpiä esimerkkejä ongelmista.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mikä on avaussulut?

Sulkuja käytetään osoittamaan järjestys, jossa toiminnot suoritetaan numeerisissa, kirjaimellisissa ja muuttujalausekkeissa. On kätevää siirtyä hakasulkeista lausekkeesta identtiseen yhtäläiseen lausekkeeseen ilman hakasulkuja. Korvaa esimerkiksi lauseke 2 · (3 + 4) muodon lausekkeella 2 3 + 2 4 ilman sulkuja. Tätä tekniikkaa kutsutaan avaussuluiksi.

Määritelmä 1

Laajentavat sulkeet viittaavat tekniikoihin sulkeiden poistamiseksi, ja sitä tarkastellaan yleensä lausekkeiden yhteydessä, jotka voivat sisältää:

• merkit “+” tai “-” ennen sulkuja, jotka sisältävät summia tai eroja;
• luvun, kirjaimen tai useiden kirjainten ja summan tai erotuksen tulo, joka merkitään sulkeisiin.

Näin olemme tottuneet pohtimaan hakasulkeiden avaamista kurssilla koulun opetussuunnitelma. Kukaan ei kuitenkaan estä meitä katsomasta tätä toimintaa laajemmin. Voimme kutsua sulkuja avaamiseksi siirtymistä lausekkeesta, joka sisältää negatiivisia lukuja suluissa, lausekkeeseen, jossa ei ole sulkeita. Voimme esimerkiksi siirtyä arvosta 5 + (− 3) − (− 7) arvoon 5 − 3 + 7. Itse asiassa tämä on myös sulkeiden avaus.

Samalla tavalla voidaan korvata muotoa (a + b) · (c + d) olevien lausekkeiden tulo summalla a · c + a · d + b · c + b · d. Tämä tekniikka ei myöskään ole ristiriidassa avaavien sulkeiden merkityksen kanssa.

Tässä on toinen esimerkki. Voimme olettaa, että lausekkeissa voidaan käyttää numeroiden ja muuttujien sijasta mitä tahansa lauseketta. Esimerkiksi lauseke x 2 · 1 a - x + sin (b) vastaa lauseketta ilman sulkeita muodossa x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).

Eräs seikka ansaitsee vielä erityistä huomiota, joka koskee merkintäpäätösten erityispiirteitä sulkuja avattaessa. Alkulauseke voidaan kirjoittaa hakasulkeilla ja hakasulkujen avaamisen jälkeen saatu tulos yhtälöksi. Esimerkiksi sen jälkeen, kun olet laajentanut sulkeita lausekkeen sijaan 3 − (5 − 7) saamme ilmaisun 3 − 5 + 7 . Voimme kirjoittaa molemmat lausekkeet yhtälöksi 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.

Toimintojen suorittaminen hankalia ilmaisuja käyttäen saattaa edellyttää välitulosten kirjaamista. Silloin ratkaisu on yhtäläisyyden ketjun muotoinen. Esimerkiksi, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 tai 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Sulkujen avaamisen säännöt, esimerkkejä

Aloitetaan sulkeiden avaamisen sääntöjen tarkastelu.

Yksittäisille numeroille suluissa

Suluissa olevat negatiiviset luvut löytyvät usein lausekkeista. Esimerkiksi (− 4) ja 3 + (− 4) . Myös suluissa olevilla positiivisilla numeroilla on paikkansa.

Muotoilkaamme sääntö yksittäisiä positiivisia lukuja sisältävien sulkeiden avaamiseksi. Oletetaan, että a on mikä tahansa positiivinen luku. Sitten voidaan korvata (a) a:lla, + (a) + a:lla, - (a) -a:lla. Jos a:n sijaan otamme tietyn luvun, niin säännön mukaan: luku (5) kirjoitetaan muodossa 5 , lauseke 3 + (5) ilman sulkuja saa muodon 3 + 5 , koska + (5) korvataan merkillä + 5 , ja lauseke 3 + (− 5) vastaa lauseketta 3 − 5 , koska + (− 5) korvataan − 5 .

Positiiviset luvut kirjoitetaan yleensä ilman sulkeita, koska sulut ovat tässä tapauksessa tarpeettomia.

Harkitse nyt sääntöä sulkujen avaamisesta, jotka sisältävät yhden negatiivisen luvun. + (− a) korvaamme kanssa − a, − (− a) korvataan + a:lla. Jos lauseke alkaa negatiivinen numero (-a), joka on kirjoitettu suluissa, sitten sulut jätetään pois ja sen sijaan (-a) jäännökset − a.

Tässä on joitain esimerkkejä: (− 5) voidaan kirjoittaa muodossa − 5, (− 3) + 0, 5 muuttuu − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) 4 − 3 , ja − (− 4) − (− 3) hakasulkeet ovat avauksen jälkeen muodossa 4 + 3, koska − (− 4) ja − (− 3) korvataan +4:llä ja +3:lla.

On ymmärrettävä, että lauseketta 3 · (− 5) ei voida kirjoittaa muodossa 3 · − 5. Tätä käsitellään seuraavissa kappaleissa.

Katsotaanpa, mihin sulkeiden avaamisen säännöt perustuvat.

Säännön mukaan ero a − b on yhtä suuri kuin a + (− b) . Numeroiden toimintojen ominaisuuksien perusteella voimme luoda yhtäläisyyksiä (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a mikä tulee olemaan reilua. Tämä yhtäläisyyksien ketju osoittaa vähennyksen merkityksen perusteella, että lauseke a + (− b) on ero a − b.

Vastakkaisten lukujen ominaisuuksien ja negatiivisten lukujen vähennyssääntöjen perusteella voidaan todeta, että − (− a) = a, a − (− b) = a + b.

On lausekkeita, jotka koostuvat numerosta, miinusmerkeistä ja useista sulkupareista. Yllä olevien sääntöjen avulla voit päästä eroon kiinnikkeistä peräkkäin siirtymällä sisemmistä kiinnikkeistä ulompiin tai vastakkaiseen suuntaan. Esimerkki tällaisesta lausekkeesta olisi − (− ((− (5)))) . Avataan kiinnikkeet, siirrytään sisältä ulos: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Tätä esimerkkiä voidaan analysoida myös päinvastaiseen suuntaan: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Alla a ja b voidaan ymmärtää ei vain numeroina, vaan myös mielivaltaisina numeerisina tai aakkoslausekkeina, joiden edessä on "+"-merkki, jotka eivät ole summia tai eroja. Kaikissa näissä tapauksissa voit soveltaa sääntöjä samalla tavalla kuin teimme suluissa oleville yksittäisille numeroille.

Esimerkiksi sulkujen avaamisen jälkeen lauseke − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) saa muotoa 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Miten teimme sen? Tiedämme, että − (− 2 x) on + 2 x, ja koska tämä lauseke tulee ensin, niin + 2 x voidaan kirjoittaa muodossa 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x ja − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

Kahden luvun tuotteissa

Aloitetaan sulkeiden avaamista koskevalla säännöllä kahden luvun tulossa.

Teeskennetäänpä sitä a ja b ovat kaksi positiivista lukua. Tässä tapauksessa kahden negatiivisen luvun tulo − a ja − b muodossa (− a) · (− b) voidaan korvata (a · b) , ja kahden luvun tulot muodon (− a) · b ja a · (− b) vastakkaisilla merkillä voidaan korvata (− a · b). Miinuksen kertominen miinuksella antaa plussan ja miinuksen kertominen plussalla, kuten plussan kertominen miinuksella antaa miinuksen.

Kirjallisen säännön ensimmäisen osan oikeellisuuden vahvistaa negatiivisten lukujen kertomissääntö. Säännön toisen osan vahvistamiseksi voimme käyttää lukujen kertomissääntöjä erilaisia ​​merkkejä.

Katsotaanpa muutama esimerkki.

Esimerkki 1

Tarkastellaan algoritmia sulkeiden avaamiseksi kahden negatiivisen luvun tulossa - 4 3 5 ja - 2, muotoa (- 2) · - 4 3 5. Voit tehdä tämän korvaamalla alkuperäisen lausekkeen arvolla 2 · 4 3 5 . Avataan sulut ja saadaan 2 · 4 3 5 .

Ja jos otamme negatiivisten lukujen osamäärän (− 4) : (− 2), niin merkintä sulkeiden avaamisen jälkeen näyttää 4: 2

Negatiivisten lukujen tilalle − a ja − b voivat olla mitä tahansa lausekkeita, joiden edessä on miinusmerkki ja jotka eivät ole summia tai eroja. Näitä voivat olla esimerkiksi tulot, osamäärät, murtoluvut, potenssit, juuret, logaritmit, trigonometriset funktiot jne.

Avataan sulut lausekkeeseen - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Säännön mukaan voidaan tehdä seuraavat muunnokset: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.

Ilmaisu (−3) 2 voidaan muuntaa lausekkeeksi (− 3 2) . Tämän jälkeen voit laajentaa sulkuja: – 32.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Lukujen jakaminen eri merkillä voi edellyttää myös sulkeiden alustavaa laajentamista: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 ja 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.

Sääntöä voidaan käyttää erimerkkisten lausekkeiden kerto- ja jakolaskuihin. Otetaan kaksi esimerkkiä.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2

Kolmen tai useamman numeron tuotteissa

Siirrytään tuotteisiin ja osamääriin, jotka sisältävät Suuri määrä numeroita. Hakasulkeiden avaamiseen sovelletaan tässä seuraavaa sääntöä. Jos negatiivisia lukuja on parillinen määrä, voit jättää sulkeet pois ja korvata luvut niiden vastakohtilla. Tämän jälkeen sinun on lisättävä tuloksena oleva lauseke uusiin hakasulkeisiin. Jos negatiivisia lukuja on pariton, jätä sulut pois ja korvaa luvut niiden vastakohtilla. Tämän jälkeen tuloksena oleva lauseke on sijoitettava uusiin hakasulkeisiin ja miinusmerkki sen eteen.

Esimerkki 2

Otetaan esimerkiksi lauseke 5 · (− 3) · (− 2) , joka on kolmen luvun tulo. Negatiivisia lukuja on kaksi, joten voimme kirjoittaa lausekkeen muodossa (5 · 3 · 2) ja avaa lopuksi sulut, jolloin saadaan lauseke 5 · 3 · 2.

Tulossa (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) viisi numeroa ovat negatiivisia. siksi (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Kun vihdoin avaamme sulut, saamme −2,5 3:2 4:1,25:1.

Yllä oleva sääntö voidaan perustella seuraavasti. Ensinnäkin voimme kirjoittaa tällaiset lausekkeet uudelleen tuloksi korvaamalla jakamisen kertomalla käänteisluvulla. Esitämme jokaisen negatiivisen luvun kertovan luvun tulona ja -1 tai -1 korvataan (− 1) a.

Kertomisen kommutatiivisen ominaisuuden avulla vaihdamme kertoimet ja siirrämme kaikki kertoimet yhtä suureksi − 1 , lausekkeen alkuun. Parillisen luvun tulo miinus yksi on yhtä suuri kuin 1 ja parittoman luvun tulo on yhtä suuri − 1 , jonka avulla voimme käyttää miinusmerkkiä.

Jos emme käyttäisi sääntöä, toimintaketju sulkeiden avaamiseksi lausekkeessa - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 näyttäisi tältä:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Yllä olevaa sääntöä voidaan käyttää avattaessa sulkeita lausekkeissa, jotka edustavat tuloja ja osamäärää miinusmerkillä, jotka eivät ole summia tai eroja. Otetaan esimerkiksi lauseke

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Se voidaan pelkistää lausekkeeksi ilman sulkeita x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.

Laajentuvat sulkeet, joita edeltää +-merkki

Harkitse sääntöä, jota voidaan soveltaa laajentamaan sulkeita, joita edeltää plusmerkki, ja näiden sulkeiden "sisältöä" ei kerrota tai jaeta millään luvulla tai lausekkeella.

Säännön mukaan sulut ja niiden edessä oleva merkki jätetään pois, kun taas suluissa olevien termien merkit säilytetään. Jos suluissa ei ole merkkiä ennen ensimmäistä termiä, sinun on laitettava plusmerkki.

Esimerkki 3

Esimerkiksi annamme lausekkeen (12 − 3 , 5) − 7 . Jättämällä sulut pois, pidämme termien merkit suluissa ja laitamme plusmerkin ensimmäisen termin eteen. Merkintä näyttää tältä (12 − ​​3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7. Annetussa esimerkissä ei tarvitse laittaa merkkiä ensimmäisen termin eteen, koska + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.

Esimerkki 4

Katsotaanpa toista esimerkkiä. Otetaan lauseke x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ja tehdään toiminnot sillä x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Tässä on toinen esimerkki sulkeiden laajentamisesta:

Esimerkki 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2

Miten sulut, joita edeltää miinusmerkki, laajennetaan?

Tarkastellaan tapauksia, joissa suluissa on miinusmerkki ja joita ei kerrota (tai jaeta) millään luvulla tai lausekkeella. "-"-merkin edeltävien sulujen avaamista koskevan säännön mukaan "-"-merkillä varustetut sulut jätetään pois ja kaikkien suluissa olevien termien merkit käännetään.

Esimerkki 6

Esim:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Muuttujia sisältävät lausekkeet voidaan muuntaa samalla säännöllä:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

saamme x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Sulkujen avaaminen, kun luku kerrotaan suluilla, lausekkeet suluilla

Tässä tarkastellaan tapauksia, joissa sinun on laajennettava sulkuja, jotka kerrotaan tai jaetaan jollakin luvulla tai lausekkeella. Kaavat, jonka muoto on (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) tai b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Missä a 1 , a 2 , … , a n ja b ovat joitain lukuja tai lausekkeita.

Esimerkki 7

Laajennetaan esimerkiksi lausekkeen sulkeita (3–7) 2. Säännön mukaan voimme suorittaa seuraavat muunnokset: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Saamme 3 · 2 − 7 · 2 .

Avaamalla sulut lausekkeeseen 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, saadaan 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Sulujen kertominen suluilla

Tarkastellaan kahden muodon (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) hakasulkeen tuloa. Tämä auttaa meitä saamaan säännön sulkujen avaamisesta suoritettaessa hakasulkeittain kertomista.

Annetun esimerkin ratkaisemiseksi merkitsemme lauseketta (b 1 + b 2) kuten b. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää sääntöä sulkujen kertomiseen lausekkeella. Saamme (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Suorittamalla käänteinen vaihto b komennolla (b 1 + b 2), käytä jälleen sääntöä lausekkeen kertomisesta hakasulkeella: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Useiden yksinkertaisten tekniikoiden ansiosta voimme päätyä kunkin ensimmäisen hakasulkeen termien tulojen summaan kunkin toisen hakasulkeen termillä. Sääntöä voidaan laajentaa mihin tahansa määrään sulkujen sisällä olevia termejä.

Muotoilkaamme säännöt hakasulkeiden kertomiseen: kertoaksesi kaksi summaa yhteen, sinun on kerrottava kukin ensimmäisen summan termi kullakin toisen summan ehdolla ja laskettava tulokset.

Kaava näyttää tältä:

(a 1 + a 2 + . . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Laajennamme lausekkeen (1 + x) · (x 2 + x + 6) sulkuja. Se on kahden summan tulo. Kirjoitetaan ratkaisu: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

On syytä mainita erikseen ne tapaukset, joissa suluissa on miinusmerkki plusmerkkien kanssa. Otetaan esimerkiksi lauseke (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Esitetään ensin suluissa olevat lausekkeet summina: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Nyt voidaan soveltaa sääntöä: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Avataan sulut: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Sulkujen laajentaminen useiden sulkeiden ja lausekkeiden tuotteissa

Jos lausekkeessa on suluissa vähintään kolme lauseketta, sulut on avattava peräkkäin. Sinun on aloitettava muunnos asettamalla kaksi ensimmäistä tekijää suluissa. Näissä suluissa voimme suorittaa muunnoksia edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Esimerkiksi sulut lausekkeessa (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .

Lauseke sisältää kolme tekijää kerralla (2 + 4) , 3 ja (5 + 7 8). Avaamme sulut peräkkäin. Laitetaan kaksi ensimmäistä tekijää toiseen hakasulkeeseen, jonka teemme punaiseksi selvyyden vuoksi: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Voimme suorittaa sulkujen kertomista luvulla koskevan säännön mukaisesti seuraavat toimet: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Kerro hakasulkeittain: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Kiinnike luontoissuorituksina

Asteita, joiden perustana ovat eräät hakasulkeisiin kirjoitetut lausekkeet, joissa on luonnollinen eksponentti, voidaan pitää useiden hakasulkeiden tulona. Lisäksi kahden edellisen kappaleen sääntöjen mukaan ne voidaan kirjoittaa ilman näitä sulkeita.

Harkitse lausekkeen muuntamisprosessia (a + b + c) 2 . Se voidaan kirjoittaa kahden hakasulkeen tulona (a + b + c) · (a + b + c). Kerrotaan hakasulkeittain ja saadaan a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.

Katsotaanpa toista esimerkkiä:

Esimerkki 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2

Sulujen jakaminen luvulla ja sulkujen jakaminen suluilla

Hakasulkeen jakaminen luvulla edellyttää, että kaikki suluissa olevat termit jaetaan luvulla. Esimerkiksi (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Jako voidaan ensin korvata kertolaskulla, jonka jälkeen voit käyttää asianmukaista sääntöä sulkujen avaamiseen tuotteessa. Sama sääntö pätee, kun sulku jaetaan suluilla.

Meidän on esimerkiksi avattava sulut lausekkeessa (x + 2) : 2 3 . Tee tämä korvaamalla ensin jako kertomalla käänteisluvulla (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Kerro hakasulku luvulla (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Tässä on toinen esimerkki suluissa jakamisesta:

Esimerkki 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Korvataan jako kertolaskulla: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.

Tehdään kertolasku: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Avaussulujen järjestys

Harkitse nyt edellä mainittujen sääntöjen soveltamisjärjestystä lausekkeissa yleisnäkymä, eli lausekkeissa, jotka sisältävät summia, joissa on eroja, tuloja osamäärällä, sulkuja luonnollisessa määrin.

Toimenpide:

• ensimmäinen askel on nostaa kiinnikkeet luonnolliseen voimaan;
• toisessa vaiheessa sulujen avaaminen teoksissa ja osamäärässä;
• Viimeinen vaihe on avata summien ja erojen sulut.

Tarkastellaan toimintojen järjestystä lausekkeen (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) esimerkin avulla. Muunnetaan lausekkeista 3 · (− 2) : (− 4) ja 6 · (− 7) , joiden tulee olla muotoa (3 2:4) ja (− 6 · 7) . Kun saadut tulokset korvataan alkuperäisellä lausekkeella, saadaan: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Avaa kiinnikkeet: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.

Käsiteltäessä lausekkeita, jotka sisältävät sulkeita suluissa, on kätevää tehdä muunnoksia tekemällä työskentely sisältä ulospäin.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tämä artikkeli käsittelee matematiikan sulkeita ja käsittelee tyyppejä ja sovelluksia, termejä ja käyttötapoja aineiston ratkaisemisessa tai kuvauksessa. Lopulta se päätetään vastaavia esimerkkejä yksityiskohtaisilla kommenteilla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hakasulkeiden perustyypit, merkintä, terminologia

Matematiikan tehtävien ratkaisemiseen käytetään kolmenlaisia ​​hakasulkuja: () , , ( ) . Vähemmän yleisiä ovat tämän tyyppiset sulut] ja [, joita kutsutaan takaiskuiksi tai< и >, eli kulman muodossa. Niiden käyttö on aina parillinen, eli missä tahansa lausekkeessa on avaus- ja sulkemissulut, niin se on järkevää. sulkujen avulla voit rajata ja määrittää toimintojen järjestyksen.

Kihara pariton hakasulku tyyppiä ( löytyy kun ratkaistaan ​​yhtälöjärjestelmiä, joka merkitsee annettujen joukkojen leikkauskohtaa, ja [ sulkumerkkiä käytetään niitä yhdistettäessä. Seuraavaksi tarkastellaan niiden sovellusta.

Sulkumerkit osoittavat toimintojen suoritusjärjestyksen

Sulujen päätarkoitus on osoittaa suoritettavien toimien järjestys. Tällöin lausekkeessa voi olla yksi tai useampi sulkupari. Säännön mukaan suluissa oleva toiminto suoritetaan aina ensin, sen jälkeen kerto- ja jakolasku ja myöhemmin yhteen- ja vähennyslasku.

Esimerkki 1

Katsotaanpa annettua lauseketta esimerkkinä. Jos esimerkki annetaan kuten 5 + 3 - 2, on selvää, että toiminnot suoritetaan peräkkäin. Kun sama lauseke kirjoitetaan hakasulkeilla, niiden järjestys muuttuu. Eli kun (5 + 3) - 2, ensimmäinen toiminto suoritetaan suluissa. Tässä tapauksessa muutoksia ei tapahdu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa 5 + (3 - 2), suluissa olevat laskutoimitukset suoritetaan ensin ja sen jälkeen yhteenlasku numerolla 5. Tässä tapauksessa se ei vaikuta alkuperäiseen arvoon.

Esimerkki 2

Katsotaanpa esimerkkiä, joka näyttää kuinka sulujen sijainnin muuttaminen voi muuttaa tulosta. Jos lauseke 5 + 2 · 4 annetaan, on selvää, että ensin suoritetaan kertolasku ja sen jälkeen yhteenlasku. Kun lauseke näyttää muotoa (5 + 2) · 4, suluissa oleva toiminto suoritetaan ensin, minkä jälkeen suoritetaan kertolasku. Ilmaisutulokset vaihtelevat.

Lausekkeet voivat sisältää useita sulkupareja, jolloin toimintojen suorittaminen alkaa ensimmäisestä. Lausekkeessa muotoa (4 + 5 · 2) − 0, 5: (7 − 2) : (2 + 1 + 12) on selvää, että ensin suoritetaan suluissa olevat operaatiot, sitten jako ja lopuksi vähennys.

On esimerkkejä, joissa on sisäkkäisiä kompleksisia sulkeita muotoa 4 6 - 3 + 8: 2 ja 5 (1 + (8 - 2 3 + 5) - 2)) - 4. Sitten toimintojen suorittaminen alkaa sisäsuluista. Seuraavaksi edistytään ulospäin.

Esimerkki 3

Jos sinulla on lauseke 4 · 6 - 3 + 8: 2, suluissa olevat vaiheet tehdään ilmeisesti ensin. Tämä tarkoittaa, että sinun tulee vähentää 3 6: sta, kertoa 4 ja lisätä 8. Lopuksi jaa 2:lla. Tämä on ainoa tapa saada oikea vastaus.

Kirjeessä voidaan käyttää sulkeita eri kokoja. Tämä tehdään mukavuuden ja kyvyn erottaa yksi pari toisesta. Ulommat sulut ovat aina isompi koko kuin sisäiset. Eli saamme lausekkeen muodossa 5 - 1: 2 + 1 2 + 3 - 1 3 · 2 · 3 - 4 . On harvinaista nähdä korostettuja hakasulkeita (2 + 2 · (2+ (5 · 4 − 4))) · (6: 2 - 3 · 7) · (5 - 3) tai neliöitä, esimerkiksi [ 3 + 5 · ( 3 - 1) ] · 7 tai kihara ( 5 + [ 7 - 12: (8 - 5) : 3 ] + 7 - 2 ): [ 3 + 5 + 6: (5 - 2 − 1) ] .

Ennen kuin jatkat ratkaisua, on tärkeää määrittää oikein toimintojen järjestys ja selvittää kaikki tarvittavat sulkuparit. Tätä varten sinun tulee lisätä eri tyyppejä kiinnikkeitä tai muuttaa niiden väriä. Hakasulkeen merkitseminen eri värillä on kätevä ratkaisu, mutta vie paljon aikaa, joten käytännössä käytetään useimmiten pyöreitä, kihara- ja hakasulkeita.

Negatiiviset luvut suluissa

Jos on tarpeen esittää negatiivisia lukuja, käytä lausekkeessa sulkeita. Merkintä, kuten 5 + (− 3) + (− 2) · (− 1) , 5 + - 2 3 , 2 5 7 - 5 + - 6 7 3 · (- 2) · - 3 , 5 on tarkoitettu järjestää negatiiviset luvut lausekkeessa.

Sulkuja ei käytetä negatiiviselle luvulle, kun se esiintyy minkä tahansa lausekkeen tai murtoluvun alussa. Jos meillä on esimerkki muodossa − 5 4 + (− 4) : 2, niin on selvää, että miinusmerkkiä ennen numeroa 5 ei voida sulkea hakasulkeisiin, vaan 3 - 0, 4 - 2, 2 3 + 7 + 3 - 1: 2 numerot 2, 2 kirjoitetaan alkuun, mikä tarkoittaa, että sulkuja ei myöskään tarvita. Hakasulkeilla voit kirjoittaa lausekkeen (− 5) 4 + (− 4): 2 tai 3 - 0, 4 - 2, 2 3 + 7 + 3 - 1: 2. Suluissa olevaa merkintää pidetään tiukempana.

Miinusmerkki voidaan sijoittaa paitsi numeron eteen myös muuttujien, potenssien, juurien, murtolukujen, funktioiden eteen, sitten ne tulee sulkea. Nämä ovat merkintöjä, kuten 5 · (− x) , 12: (− 22) , 5 · - 3 + 7 - 1 + 7: - x 2 + 1 3 , 4 3 4 - - x + 2 x - 1 , 2 · (- (3 + 2 · 4) , 5 · (- log 3 2) - (- 2 x 2 + 4) , sin x · (- cos 2 x) + 1

Sulkeet ilmauksille, joilla toimintoja suoritetaan

Sulkujen käyttö liittyy niiden toimien osoittamiseen lausekkeessa, joissa korotetaan potenssiin, otetaan derivaatta tai funktio. Niiden avulla voit järjestää ilmaisuja jatkoratkaisun helpottamiseksi.

Sulut ilmaisuissa, joissa on voimavaroja

Astetta sisältävää lauseketta ei aina pidä sulkea suluissa, koska aste on yläindeksi. Jos on merkintä muotoa 2 x + 3, niin on selvää, että x + 3 on eksponentti. Kun aste kirjoitetaan ^-merkillä, loput lausekkeesta tulee kirjoittaa suluilla, eli 2 ^ (x + 3) . Jos kirjoitat saman lausekkeen ilman sulkeita, saat täysin erilaisen lausekkeen. Kun 2 ^ x + 3, tulos on 2 x + 3.

Tutkinnon perusta ei vaadi sulkeita. Siksi merkintä on muotoa 0 3, 5 x 2 + 5, y 0, 5. Jos kannassa on murtoluku, voidaan käyttää sulkeita. Saadaan lausekkeet muodossa (0, 75) 2, 2 2 3 32 + 1, (3 x + 2 y) - 3, log 2 x - 2 - 1 2 x - 1.

Jos peruslauseketta ei ole sijoitettu sulkeisiin, eksponentti voi viitata koko lausekkeeseen, mikä johtaisi väärä päätös. Kun lauseke on muotoa x 2 + y ja -2 on sen aste, merkintä saa muotoa (x 2 + y) - 2. Ilman sulkuja lausekkeesta tulisi x 2 + y - 2 , joka on täysin erilainen lauseke.

Jos potenssin kanta on logaritmi tai trigonometrinen funktio, jossa on kokonaislukueksponentti, niin merkinnästä tulee sin, cos, t g, c t g, a r c sin, a r c cos, a r c t g, a r c c t g, log, ln tai l g. Kun kirjoitetaan lauseke muotoa sin 2 x, a r c cos 3 y, ln 5 e ja log 5 2 x näemme, että funktioiden edessä olevat sulut eivät muuta koko lausekkeen merkitystä, eli ne ovat ekvivalentteja. Saamme tietueita muodossa (sin x) 2, (a r c cos y) 3, (ln e) 5 ja loki 5 x 2 . On hyväksyttävää jättää sulkeet pois.

Sulut lausekkeissa, joissa on juuret

Sulkujen käyttö radikaalilausekkeessa on merkityksetöntä, koska muotoa x + 1 ja x + 1 olevat lausekkeet ovat ekvivalentteja. Sulkumerkit eivät muuta ratkaisua.

Sulut lausekkeissa, joissa on trigonometrisia funktioita

Jos funktioille, kuten sini, kosini, tangentti, kotangentti, arcsini, arkosiini, arktangentti, arkotangentti, on negatiivisia lausekkeita, sulkuja on käytettävä. Tämän avulla voit määrittää oikein, kuuluuko lauseke olemassa olevaan funktioon. Eli saamme tietueita muodossa sin (− 5) , cos (x + 2) , a r c t g 1 x - 2 2 3 .

Kun kirjoitat sin, cos, t g, c t g, a r c sin, a r c cos, a r c t g ja a r c c t g, älä käytä sulkuja annetulle numerolle. Kun tallenteessa on ilmaus, on järkevää laittaa ne. Eli sin π 3, t g x + π 2, a r c sin x 2, a r c t g 3 3 juurilla ja potenssilla, cos x 2 - 1, a r c t g 3 2, c t g x + 1 - 3 ja vastaavilla lausekkeilla.

Jos lauseke sisältää useita kulmia, kuten x, 2 x, 3 x ja niin edelleen, sulut jätetään pois. On sallittua kirjoittaa muodossa sin 2 x, c t g 7 x, cos 3 α. Epäselvyyden välttämiseksi lausekkeeseen voidaan lisätä sulkeita. Sitten saadaan merkintä muodosta sin (2 · x) : 2 sin 2 · x: 2 sijaan.

Sulkumerkit lausekkeissa logaritmilla

Useimmiten kaikki logaritmisen funktion lausekkeet on suljettu sulkeisiin lisätietoa varten oikea päätös. Eli saamme ln (e − 1 + e 1) , log 3 (x 2 + 3 · x + 7) , l g ((x + 1) · (x − 2)) . Sulkujen jättäminen pois on sallittua, kun on selvästi selvää, mihin lausekkeeseen logaritmi itse kuuluu. Jos on murtoluku, juuri tai funktio, voit kirjoittaa lausekkeita muodossa log 2 x 5, l g x - 5, ln 5 · x - 5 3 - 5.

Sulut sisällä

Jos rajoja on, käytä sulkuja edustamaan itse rajan ilmaisua. Eli summille, tuloille, osamäärälle tai eroille on tapana kirjoittaa lausekkeet sulkeisiin. Saamme, että lim n → 5 1 n + n - 2 ja lim x → 0 x + 5 x - 3 x - 1 x + x + 1: x + 2 x 2 + 3. Sulkujen pois jättäminen on odotettavissa, kun kyseessä on yksinkertainen murtoluku tai on selvää, mihin ilmaisuun merkki viittaa. Esimerkiksi lim x → ∞ 1 x tai lim x → 0 (1 + x) 1 x.

Sulkumerkit ja johdannainen

Kun etsit johdannaista, voit usein löytää sulkeiden käytön. Jos on monimutkainen lauseke, koko merkintä sijoitetaan sulkeisiin. Esimerkiksi (x + 1) " tai sin x x - x + 1 .

Integrandit suluissa

Jos sinun on integroitava lauseke, kirjoita se sulkeisiin. Tällöin esimerkki saa muotoa ∫ (x 2 + 3 x) d x , ∫ - 1 1 (sin 2 x - 3) d x , ∭ V (3 x y + z) d x d y d z .

Sulkumerkit, jotka erottavat funktion argumentin

Kun funktio on läsnä, sen osoittamiseen käytetään useimmiten sulkeita. Kun annetaan funktio f, jolla on muuttuja x, merkintä saa muotoa f (x) . Jos funktion argumentteja on useita, tällainen funktio saa muotoa F (x, y, z, t).

Sulkumerkit säännöllisin desimaalin

Pisteen käyttö johtuu sulkeiden käytöstä kirjoitettaessa. Itse desimaaliluvun piste on suluissa. Jos annetaan desimaalimurto muodosta 0, 232323... niin on selvää, että suluissa on 2 ja 3. Merkintä on muotoa 0, (23). Tämä on tyypillistä kaikille jaksollisen murtoluvun merkinnöille.

Suluissa numerovälejä

Numeeristen intervallien kuvaamiseen käytetään neljän tyyppistä hakasulkua: () , (] , [) ja . Aikavälit, joissa funktio on olemassa eli jolla on ratkaisu, kirjoitetaan suluissa. Sulku tarkoittaa, että numero ei sisälly määritelmäalueeseen, hakasulku tarkoittaa, että se on. Äärettömän läsnä ollessa on tapana kuvata sulkuja.

Toisin sanoen intervalleja kuvattaessa saadaan, että (0, 5) , [ − 0, 5, 12) , - 10 1 2 , - 5 2 3 , [ 5 , 700 ] , (− ∞ , − 4 ] , (− 3 , + ∞) , (− ∞ , + ∞) Kaikissa kirjallisuuksissa ei käytetä hakasulkuja samalla tavalla. On tapauksia, joissa voit nähdä merkinnän muodossa ] 0, 1 [, mikä tarkoittaa (0, 1) tai [ 0, 1 [, mikä tarkoittaa [ 0 , 1) , ja lausekkeen merkitys ei muutu.

Systeemien ja yhtälöiden ja epäyhtälöiden nimitykset

Yhtälö- ja epäyhtälöjärjestelmät kirjoitetaan yleensä käyttämällä muotoa ( . Tämä tarkoittaa, että kaikki epäyhtälöt tai yhtälöt yhdistyvät tähän hakasulkeeseen. Katsotaanpa esimerkkiä hakasulkeen käytöstä. Yhtälöjärjestelmä muotoa x 2 - 1 = 0 x 2 + x - 2 = 0 tai epäyhtälöt kahdella muuttujalla x 2 - y > 0 3 x + 2 y ≤ 3, cos x 1 2 x + π 3 = 0 2 x 2 - 4 ≥ 5 - järjestelmä joka koostuu kahdesta yhtälöstä ja yhdestä epäyhtälöstä.

Käyttö aaltosulkeet viittaa joukkojen leikkauskohdan kuvaamiseen. Ratkaiseessa järjestelmää, jossa on kihara aaltosulu, itse asiassa tulemme annettujen yhtälöiden leikkauspisteeseen. Hakasulku palvelee yhdistämistä.

Yhtälöt ja epäyhtälöt merkitään [ suluilla, jos joukkoa on kuvattava. Sitten saadaan esimerkkejä muodosta (x - 1) (x + 7) = 0 x - 2 = 12 + x 2 - x + 3 ja x > 2 x - 5 y = 7 2 x + 3 y ≥ 1

Löydät lausekkeita, joissa on sekä järjestelmä että joukko:

x ≥ 5 x< 3 x > 4 , 5

Kihara aaltosulke ilmaisemaan palakohtaista funktiota

Palloittainen funktio on kuvattu käyttämällä yhtä kiharaa aaltosuluketta, jossa on funktion määrittelevät kaavat, jotka sisältävät tarvittavat välit. Katsotaanpa esimerkkiä kaavasta, joka sisältää välit kuten x = x, x ≥ 0 - x, x< 0 , где имеется кусочная функция.

Hakasulkeet osoittavat pisteen koordinaatit

Jos haluat esittää koordinaattipisteet intervalleina, käytä sulkeita. Ne voivat sijaita joko koordinaattiviivalla tai suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä tai n-ulotteisessa avaruudessa.

Kun koordinaatti kirjoitetaan muodossa A (1), se tarkoittaa, että pisteen A koordinaatin arvo on 1, jolloin Q (x, y, z) sanoo, että piste Q sisältää koordinaatit x, y, z.

Hakasulkeet joukon elementtien luetteloimiseksi

Joukot määritellään luetteloimalla sen toimialueeseen sisältyvät elementit. Tämä tehdään aaltosulkeilla, joissa itse elementit erotetaan pilkuilla. Merkintä näyttää tältä: A = (1, 2, 3, 4). Voidaan nähdä, että sarja koostuu suluissa luetelluista arvoista.

Sulut ja vektorin koordinaatit

Kun tarkastellaan vektoreita koordinaattijärjestelmässä, käytetään vektorin koordinaattien käsitettä. Eli nimeäessään he käyttävät koordinaatteja, jotka on kirjoitettu luettelona suluissa.

Oppikirjoissa on kaksi merkintätapaa: a → 0 ; - 3 tai a → 0; - 3. Molemmat merkinnät ovat vastaavia ja niillä on koordinaattiarvot 0, - 3. Kolmiulotteisessa avaruudessa kuvattaessa lisätään yksi koordinaatti lisää. Tällöin merkintä näyttää tältä: A B → 0, - 3, 2 3 tai A B → 0, - 3, 2 3.

Koordinaattimerkintä voi olla joko vektorikuvakkeen kanssa itse vektorissa tai ilman sitä. Mutta koordinaatit kirjataan pilkuilla erotettuina luettelon muodossa. Merkintä on muotoa a = (2, 4, − 2, 6, 1 2), jossa vektori on merkitty viisiulotteisessa avaruudessa. Harvemmin näet kaksiulotteisen avaruuden merkinnän muodossa a = 3 - 7

Suluissa matriisielementtejä

Sulkujen toistuva käyttö on annettu matriiseissa. Kaikki elementit on kiinnitetty suluissa muodossa A = 4 2 3 - 3 0 0 12.

Hakasulkeiden käyttö on harvinaisempaa.
Sitten matriisi saa muotoa A = 4 2 3 - 3 0 0 12.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Tässä artikkelissa käsitellään matemaattisten lausekkeiden arvojen löytämistä. Aloitetaan yksinkertaisilla numeerisilla lausekkeilla ja tarkastellaan sitten tapauksia niiden monimutkaisuuden kasvaessa. Lopussa annamme lausekkeen, joka sisältää kirjainmerkinnät, suluissa, juuret, erikois matemaattisia merkkejä, asteet, funktiot jne. Perinteiseen tapaan tarjoamme koko teorian runsaiden ja yksityiskohtaisten esimerkkien kera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kuinka löytää numeerisen lausekkeen arvo?

Numeeriset lausekkeet auttavat muun muassa kuvaamaan ongelman tilaa matemaattisella kielellä. Yleisesti ottaen matemaattiset lausekkeet voivat olla joko hyvin yksinkertaisia, jotka koostuvat numeroparista ja aritmeettisista symboleista, tai erittäin monimutkaisia, sisältäen funktioita, tehoja, juuria, sulkeita jne. Osana tehtävää on usein tarpeen löytää tietyn ilmaisun merkitys. Miten tämä tehdään, käsitellään alla.

Yksinkertaisimmat tapaukset

Nämä ovat tapauksia, joissa lauseke sisältää vain numeroita ja aritmeettisia operaatioita. Tällaisten lausekkeiden arvojen löytämiseksi onnistuneesti tarvitset tietoa aritmeettisten toimintojen suoritusjärjestyksestä ilman sulkeita sekä kykyä suorittaa operaatioita eri numeroilla.

Jos lauseke sisältää vain numeroita ja aritmeettisia etumerkkejä " + " , " · " , " - " , " ÷ " , toiminnot suoritetaan vasemmalta oikealle seuraavassa järjestyksessä: ensin kerto- ja jakolasku, sitten yhteen- ja vähennyslasku. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki 1: Numeerisen lausekkeen arvo

Sinun on löydettävä lausekkeen 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 arvot.

Tehdään ensin kerto- ja jakolasku. Saamme:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Nyt suoritamme vähennyksen ja saamme lopullisen tuloksen:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Esimerkki 2: Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Ensin suoritetaan murtolukumuunnos, jako ja kertolasku:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Tehdään nyt yhteen- ja vähennyslaskua. Ryhmitetään murtoluvut ja tuodaan ne yhteiseen nimittäjään:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Vaadittu arvo on löydetty.

Suluissa olevat lausekkeet

Jos lauseke sisältää sulkeita, ne määrittelevät toimintojen järjestyksen kyseisessä lausekkeessa. Suluissa olevat toiminnot suoritetaan ensin ja sitten kaikki muut. Osoitetaan tämä esimerkillä.

Esimerkki 3: Numeerisen lausekkeen arvo

Etsitään lausekkeen arvo 0,5 · (0,76 - 0,06).

Lauseke sisältää sulkeita, joten suoritamme ensin suluissa vähennystoiminnon ja vasta sitten kertolaskutoiminnon.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Suluissa olevia sulkeita sisältävien lausekkeiden merkitys löydetään saman periaatteen mukaan.

Esimerkki 4: Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan arvo 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Suoritamme toimintoja alkaen sisimmistä suluista siirtyen ulompiin.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Kun etsit ilmaisujen merkityksiä suluilla, tärkeintä on seurata toimintojen järjestystä.

Ilmaisuja, joissa on juuret

Matemaattiset lausekkeet, joiden arvot meidän on löydettävä, voivat sisältää juurimerkkejä. Lisäksi itse lauseke voi olla juurimerkin alla. Mitä tehdä tässä tapauksessa? Ensin sinun on löydettävä lausekkeen arvo juuren alta ja sitten erotettava juuri tuloksena saadusta numerosta. Jos mahdollista, on parempi päästä eroon numeeristen lausekkeiden juurista korvaamalla ne numeerisilla arvoilla.

Esimerkki 5: Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan lausekkeen arvo juurilla - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Ensin lasketaan radikaalilausekkeet.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Nyt voit laskea koko lausekkeen arvon.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Usein juuria sisältävän lausekkeen merkityksen löytäminen vaatii usein ensin alkuperäisen lausekkeen muuntamista. Selvitetään tämä vielä yhdellä esimerkillä.

Esimerkki 6: Numeerisen lausekkeen arvo

Mikä on 3 + 1 3 - 1 - 1

Kuten näet, meillä ei ole mahdollisuutta korvata juuria tarkalla arvolla, mikä vaikeuttaa laskentaprosessia. Tässä tapauksessa voit kuitenkin käyttää lyhennettyä kertolaskua.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Täten:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ilmaisuja, joilla on voimia

Jos lauseke sisältää tehoja, niiden arvot on laskettava ennen kuin ryhdytään muihin toimiin. Tapahtuu, että itse eksponentti tai asteen kanta ovat lausekkeita. Tässä tapauksessa lasketaan ensin näiden lausekkeiden arvo ja sitten asteen arvo.

Esimerkki 7: Numeerisen lausekkeen arvo

Etsitään lausekkeen 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 arvo.

Aloitetaan laskeminen järjestyksessä.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Jäljelle jää vain suorittaa lisäystoiminto ja selvittää lausekkeen merkitys:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Usein on myös suositeltavaa yksinkertaistaa lauseketta käyttämällä asteen ominaisuuksia.

Esimerkki 8: Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan seuraavan lausekkeen arvo: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Eksponentit ovat jälleen sellaisia, ettei niiden tarkkoja numeerisia arvoja voida saada. Yksinkertaistetaan alkuperäinen lauseke löytääksemme sen arvon.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Lausekkeet murtoluvuilla

Jos lauseke sisältää murto-osia, niin tällaista lauseketta laskettaessa kaikki siinä olevat murtoluvut on esitettävä tavallisina murtolukuina ja laskettava niiden arvot.

Jos murto-osan osoittaja ja nimittäjä sisältävät lausekkeita, lasketaan ensin näiden lausekkeiden arvot ja itse murto-osan lopullinen arvo kirjoitetaan ylös. Aritmeettiset operaatiot suoritetaan normaalissa järjestyksessä. Katsotaanpa esimerkkiratkaisua.

Esimerkki 9: Numeerisen lausekkeen arvo

Etsitään murtolukuja sisältävän lausekkeen arvo: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Kuten näet, alkuperäisessä lausekkeessa on kolme murtolukua. Lasketaan ensin niiden arvot.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Kirjoitetaan lausekkeemme uudelleen ja lasketaan sen arvo:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Usein ilmaisujen merkitystä löydettäessä on kätevää vähentää murtolukuja. On olemassa lausumaton sääntö: ennen sen arvon löytämistä, on parasta yksinkertaistaa mikä tahansa lauseke maksimiin ja vähentää kaikki laskelmat yksinkertaisimpiin tapauksiin.

Esimerkki 10: Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan lauseke 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Emme voi täysin poimia viiden juuria, mutta voimme yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta muunnoksilla.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Alkuperäinen ilmaisu saa muotoa:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Lasketaan tämän lausekkeen arvo:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Lausekkeet logaritmeilla

Kun lausekkeessa on logaritmeja, niiden arvo lasketaan alusta, mikäli mahdollista. Esimerkiksi lausekkeeseen log 2 4 + 2 · 4 voit heti kirjoittaa muistiin tämän logaritmin arvon log 2 4:n sijaan ja suorittaa sitten kaikki toiminnot. Saamme: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Numeeriset lausekkeet löytyvät myös itse logaritmimerkin alta ja sen tyvestä. Tässä tapauksessa ensimmäinen asia, joka on tehtävä, on löytää niiden merkitykset. Otetaan lauseke log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Meillä on:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Jos logaritmin tarkkaa arvoa ei voida laskea, lausekkeen yksinkertaistaminen auttaa löytämään sen arvon.

Esimerkki 11: Numeerisen lausekkeen arvo

Etsitään lausekkeen log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 arvo.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Logaritmien ominaisuuden mukaan:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Käyttämällä uudelleen logaritmien ominaisuuksia, lausekkeen viimeiselle murto-osalle saadaan:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Nyt voit jatkaa alkuperäisen lausekkeen arvon laskemista.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Lausekkeet trigonometrisilla funktioilla

Sattuu niin, että lauseke sisältää sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin trigonometriset funktiot sekä niiden käänteisfunktiot. Arvo lasketaan ennen kuin kaikki muut aritmeettiset operaatiot suoritetaan. Muussa tapauksessa ilmaisu yksinkertaistuu.

Esimerkki 12: Numeerisen lausekkeen arvo

Etsi lausekkeen arvo: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Ensin lasketaan lausekkeeseen sisältyvien trigonometristen funktioiden arvot.

sin - 5 π 2 = - 1

Korvaamme arvot lausekkeeseen ja laskemme sen arvon:

tg 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Lausekkeen arvo on löydetty.

Usein löytääkseen ilmaisun merkityksen trigonometriset funktiot, se on ensin muutettava. Selitetäänpä esimerkillä.

Esimerkki 13: Numeerisen lausekkeen arvo

Meidän on löydettävä lausekkeen cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 arvo.

Muunnosta käytetään trigonometrisiä kaavoja kaksoiskulman kosinille ja summan kosinille.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 4 - 1 π 1-1 = 0.

Numeerisen lausekkeen yleinen tapaus

Yleensä trigonometrinen lauseke voi sisältää kaikki edellä kuvatut elementit: hakasulkeet, potenssit, juuret, logaritmit, funktiot. Muotoillaan yleissääntö löytää tällaisten ilmaisujen merkitys.

Kuinka löytää lausekkeen arvo

1. Juuret, potenssit, logaritmit jne. korvataan niiden arvoilla.
2. Suluissa olevat toiminnot suoritetaan.
3. Loput toiminnot suoritetaan järjestyksessä vasemmalta oikealle. Ensin - kerto- ja jakolasku, sitten - yhteen- ja vähennyslasku.

Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 14: Numeerisen lausekkeen arvo

Lasketaan lausekkeen arvo - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

Ilmaisu on melko monimutkainen ja hankala. Ei ollut sattumaa, että valitsimme juuri tällaisen esimerkin yrittäen sovittaa siihen kaikki edellä kuvatut tapaukset. Kuinka löytää sellaisen ilmaisun merkitys?

Tiedetään, että laskettaessa kompleksisen murtomuodon arvoa murto-osan osoittajan ja nimittäjän arvot löydetään ensin erikseen. Muutamme ja yksinkertaistamme tätä lauseketta peräkkäin.

Ensinnäkin lasketaan radikaalilausekkeen 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 arvo. Tätä varten sinun on löydettävä sinin arvo ja lauseke, joka on trigonometrisen funktion argumentti.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Nyt voit selvittää sinin arvon:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

Laskemme radikaalilausekkeen arvon:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Murtoluvun nimittäjällä kaikki on yksinkertaisempaa:

Nyt voimme kirjoittaa koko murtoluvun arvon:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Tämän huomioon ottaen kirjoitamme koko lausekkeen:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Lopullinen tulos:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Tässä tapauksessa pystyimme laskemaan juurien, logaritmien, sinien jne. tarkat arvot. Jos tämä ei ole mahdollista, voit yrittää päästä niistä eroon matemaattisten muunnosten avulla.

Lausekkeiden arvojen laskeminen rationaalisilla menetelmillä

Numeeriset arvot on laskettava johdonmukaisesti ja tarkasti. Tämä prosessi voidaan rationalisoida ja kiihdyttää käyttämällä lukujen operaatioiden erilaisia ​​ominaisuuksia. Tiedetään esimerkiksi, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Kun tämä ominaisuus otetaan huomioon, voidaan heti sanoa, että lauseke 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 on yhtä suuri kuin nolla. Samanaikaisesti ei ole ollenkaan tarpeen suorittaa toimintoja yllä olevassa artikkelissa kuvatussa järjestyksessä.

On myös kätevää käyttää yhtäläisten lukujen vähennysominaisuutta. Suorittamatta mitään toimenpiteitä voit määrätä, että lausekkeen 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 arvo on myös nolla.

Toinen menetelmä prosessin nopeuttamiseksi on identiteettimuunnosten käyttö, kuten termien ja tekijöiden ryhmittely ja vähennys yhteinen kerroin suluista pois. Rationaalinen lähestymistapa murtolukuja sisältävien lausekkeiden laskemiseen on vähentää samoja lausekkeita osoittajassa ja nimittäjässä.

Otetaan esimerkiksi lauseke 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Suorittamatta suluissa olevia operaatioita, vaan murtolukua pienentämällä voidaan sanoa, että lausekkeen arvo on 1 3 .

Muuttujien lausekkeiden arvojen löytäminen

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvo löytyy tietyille kirjainten ja muuttujien arvoille.

Muuttujien lausekkeiden arvojen löytäminen

Jos haluat löytää kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujia sisältävän lausekkeen arvon, sinun on korvattava asettaa arvoja kirjaimet ja muuttujat ja laske sitten tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvo.

Esimerkki 15: Muuttujia sisältävän lausekkeen arvo

Laske lausekkeen 0, 5 x - y arvo, kun x = 2, 4 ja y = 5.

Korvaamme muuttujien arvot lausekkeeseen ja laskemme:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

Joskus voit muuttaa lausekkeen niin, että saat sen arvon riippumatta siihen sisältyvien kirjainten ja muuttujien arvoista. Tätä varten sinun on päästävä eroon lausekkeen kirjaimista ja muuttujista, jos mahdollista, käyttämällä identtisiä muunnoksia, aritmeettisten operaatioiden ominaisuuksia ja kaikkia muita mahdollisia menetelmiä.

Esimerkiksi lausekkeen x + 3 - x arvo on luonnollisesti 3, eikä tämän arvon laskemiseksi ole välttämätöntä tietää muuttujan x arvoa. Tämän lausekkeen arvo on kolme kaikille muuttujan x arvoille sen sallittujen arvojen alueelta.

Vielä yksi esimerkki. Lausekkeen x x arvo on yhtä suuri kuin yksi kaikille positiivisille x:ille.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Numeerinen lauseke– tämä on mikä tahansa tietue numeroista, aritmeettisista symboleista ja sulkeista. Numeerinen lauseke voi koostua yksinkertaisesti yhdestä numerosta. Muista, että aritmeettiset perusoperaatiot ovat "yhteenlasku", "vähennys", "kerto" ja "jako". Nämä toiminnot vastaavat merkkejä “+”, “-”, “∙”, “:”.

Tietenkin, jotta voimme saada numeerisen lausekkeen, numeroiden ja aritmeettisten symbolien tallentamisen on oltava mielekästä. Joten esimerkiksi tällaista merkintää 5: + ∙ ei voida kutsua numeeriseksi lausekkeeksi, koska se on satunnainen symbolijoukko, jolla ei ole merkitystä. Päinvastoin, 5 + 8 ∙ 9 on jo todellinen numeerinen lauseke.

Numeerisen lausekkeen arvo.

Sanotaan heti, että jos suoritamme numeerisessa lausekkeessa ilmoitetut toimet, niin tuloksena saamme numeron. Tätä numeroa kutsutaan numeerisen lausekkeen arvo.

Yritetään laskea, mitä saamme esimerkimme toimien suorittamisen seurauksena. Aritmeettisten operaatioiden suoritusjärjestyksen mukaan suoritetaan ensin kertolasku. Kerro 8 9:llä. Saamme 72. Lisää nyt 72 ja 5. Saamme 77.
Eli 77- merkitys numeerinen lauseke 5 + 8 ∙ 9.

Numeerinen tasa-arvo.

Voit kirjoittaa sen näin: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Tässä käytimme ensimmäistä kertaa “=”-merkkiä (”Yhtäsuuruus”). Sellaista merkintää, jossa kaksi numeerista lauseketta erotetaan ”=”-merkillä, kutsutaan numeerinen tasa-arvo. Lisäksi, jos tasa-arvon vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, niin tasa-arvo on ns. uskollinen. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – oikea tasa-arvo.
Jos kirjoitamme 5 + 8 ∙ 9 = 100, niin tämä on jo väärää tasa-arvoa, koska tämän tasa-arvon vasemman ja oikean puolen arvot eivät enää täsmää.

On huomattava, että numeerisessa lausekkeessa voimme käyttää myös sulkeita. Sulkeet vaikuttavat toimintojen suoritusjärjestykseen. Joten esimerkiksi muokataan esimerkkiämme lisäämällä sulkumerkit: (5 + 8) ∙ 9. Nyt sinun on ensin lisättävä 5 ja 8. Saamme 13. Ja sitten kerrotaan 13 9:llä. Saamme 117. + 8) ∙ 9 = 117.
117 – merkitys numeerinen lauseke (5 + 8) ∙ 9.

Jotta voit lukea lausekkeen oikein, sinun on määritettävä, mikä toiminto suoritetaan viimeisenä laskeaksesi tietyn numeerisen lausekkeen arvon. Niin jos viimeinen toimenpide vähennyslaskua, lauseketta kutsutaan "eroksi". Vastaavasti, jos viimeinen toimenpide on summa - "summa", jako - "osamäärä", kertolasku - "tulo", eksponentio - "teho".

Esimerkiksi numeerinen lauseke (1+5)(10-3) kuuluu näin: "lukujen 1 ja 5 summan ja lukujen 10 ja 3 erotuksen tulo."

Esimerkkejä numeerisista lausekkeista.

Tässä on esimerkki monimutkaisemmasta numeerisesta lausekkeesta:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Tämä numeerinen lauseke käyttää alkuluvut, tavallisia ja desimaalilukuja. Myös yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskumerkkejä käytetään. Murtoviiva korvaa myös jakomerkin. Näennäisestä monimutkaisuudesta huolimatta tämän numeerisen lausekkeen arvon löytäminen on melko yksinkertaista. Tärkeintä on pystyä suorittamaan operaatioita murtoluvuilla sekä tekemään laskelmia huolellisesti ja tarkasti tarkkailemalla toimintojen suoritusjärjestystä.

Suluissa on lauseke $\frac(1)(4)+3.75$ . Muunna desimaaliluku 3,75 yhteiseksi murtoluvuksi.

3,75 $=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Niin, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Seuraavaksi murtoluvun osoittajassa \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] meillä on lauseke 1.25+3.47+4.75-1.47. Tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi sovellamme kommutatiivista yhteenlaskulakia, joka sanoo: "Summa ei muutu vaihtamalla termien paikkoja." Eli 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

Murtoluvun nimittäjässä lauseke 4 $\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Saamme $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1 $

Milloin numeerisilla lausekkeilla ei ole järkeä?

Katsotaanpa toista esimerkkiä. Murtoluvun nimittäjässä $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ lausekkeen $3\centerdot 3-9$ arvo on 0. Ja kuten tiedämme, nollalla jakaminen on mahdotonta. Siksi murto-osalla $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ei ole merkitystä. Numeeristen ilmaisujen, joilla ei ole merkitystä, sanotaan olevan "ei merkitystä".

Jos käytämme numeroiden lisäksi kirjaimia numeerisessa lausekkeessa, niin meillä on