Toimintoalue (funktioarvojen joukko). Tarvittavat käsitteet ja esimerkit löytämisestä. Merkitys

Jonkin kielen toinen ilmaus (sana, lause, merkki jne.). Kielellisten ilmaisujen merkityksiä tutkitaan lingvistiikassa, logiikassa ja semiotiikassa.

3) Merkitys fyysinen määrä- arvio tästä määrästä esimerkiksi tietyn sille hyväksyttyjen yksikkömäärän muodossa. 3 kg on tietyn kappaleen massan arvo jne.

4) Tietojenkäsittelytieteen merkitys, katso Nimi tietojenkäsittelytieteessä.

Suuri Ensyklopedinen sanakirja. 2000 .

Katso mitä "MEANING" on muissa sanakirjoissa:

Sisältö, joka ilmaistaan ​​yhdellä tai toisella kielellisellä ilmaisulla, sanalla, lauseella, merkillä jne. Kysymystä kielellisten ilmaisujen merkityksestä tutkivat lingvistiikka, semiotiikka ja looginen semantiikka. Tehdään ero objektiivisen, semanttisen ja ekspressiivisen kielen välillä... Filosofinen tietosanakirja

Merkitys, syy; paino, tärkeys, auktoriteetti, arvokkuus, vahvuus, arvo. Todellinen, kuvaannollinen, suora, oikea, tiukka, kuvaannollinen, kirjaimellinen, sanan laaja merkitys. Tämä tyttö on taiteilija sanan täydessä merkityksessä. Turg. Lain mieli (prot.:).... ... Synonyymien sanakirja

Yksi tärkeimmistä kulttuurin elementit sekä tapa, normi, arvo ja merkitys; spesifisesti kulttuurinen keino yhdistää ihminen ulkomaailmaan tai yleensä subjekti johonkin esineeseen merkkien avulla. Jos talouselämässä toimintaa...... Kulttuuritutkimuksen tietosanakirja

merkitys- yhteisen toiminnan ja kommunikoinnin aikana hankitun sosiohistoriallisen kokemuksen subjektin yleistetty leimausmuoto, joka esiintyy toimintamalleissa objektivisoituneiden käsitteiden muodossa, sosiaalisia rooleja, normit ja arvot.… … Suuri psykologinen tietosanakirja

ARVO, arvot, ks. (kirja). 1. Merkitys, mitä tietty esine (Sana, ele, merkki) tarkoittaa. Sanalla tieto on useita merkityksiä. Sana sairas substantiivina. Tämän eleen merkitystä oli vaikea määrittää. 2. Tärkeys, ... ... Sanakirja Ushakova

merkitys- MERKITYS, MERKITYS, MERKITYS ranska. merkitsevä, merkitsevä, MERKITTÄVÄ. Tämän tieteen klassikko F. de Saussure perusti modernin kielitieteen peruskäsitteet merkin kuvaamiseksi. Tiedemiehen määritelmän mukaan merkitsijät/merkityt ovat... ... Postmodernismi. Termien sanasto.

MERKITYS, tietyn kielen tiettyyn ilmaisuun (sana, lause, merkki jne.) liittyvä sisältö. Kielellisten ilmaisujen merkitystä tutkitaan lingvistiikassa, logiikassa ja semiotiikassa... Nykyaikainen tietosanakirja

Kyltin tai merkkisarjan sisältöpuoli: kieli, tilanne, toiminta, idea tai esine. Englanniksi: Merkitys Englannin synonyymit: Signifiance, Meaning Katso myös: Meanings of Signs Financial Dictionary Finam... Taloussanakirja

merkitys- MEANING ihanteellisia konstruktioita, joissa esitetään kumulatiivisen sosiaalisen kokemuksen yleistysmuodot. 3. viittaa merkin, symbolin, kuvan, ilmaisuliikkeen, rituaalikäyttäytymisen jne. sisältöön. invariantissaan…… Epistemologian ja tiedefilosofian tietosanakirja

Merkitys- MERKITYS, tietyn kielen tiettyyn ilmaisuun (sana, lause, merkki jne.) liittyvä sisältö. Kielellisten ilmaisujen merkitystä tutkitaan lingvistiikassa, logiikassa ja semiotiikassa. ... Kuvitettu tietosanakirja

Kirjat

• Katariina II:n hallituskauden merkitys V.S. Ikonnikov. Katariina II:n hallituskauden merkitys: Lue. idässä kronikon Nestorin saari 17.11. 1896 / Op. V. S. Ikonnikova W 188/212 J 28/68 A 239/398: Kiova: typ. Imp. University of St. Vladimir, 1897: Op.…
• Sotaan valmistautumisen tärkeys yleensä ja erityisesti strategisten operaatioiden valmistelu, Leer. Sotaan valmistautumisen merkitys yleisesti ja strategisten valmistelutoimien merkitys erityisesti / Op. G. A. Leera, prof. Akateemikko Gene. pääkonttori D 7/230? 7/122: Pietari: tyyp. V. Bezobrazova ja...

Määritelmä
Toiminto y = f (x) kutsutaan laiksi (sääntö, mapping), jonka mukaan joukon X jokainen alkio x liittyy yhteen ja vain yhteen joukon Y alkioon y.

Joukkoa X kutsutaan toiminnon toimialue.
Elementtijoukko y ∈ Y, joilla on esikuvat joukossa X, kutsutaan joukko funktioarvoja(tai arvoalue).

Verkkotunnus funktioita kutsutaan joskus määritelmä asetettu tai monia tehtäviä toimintoja.

Elementti x ∈ X nimeltään funktion argumentti tai itsenäinen muuttuja.
Elementti y ∈ Y nimeltään funktion arvo tai riippuva muuttuja.

Itse kartoitus f on nimeltään toiminnolle ominaista.

Ominaisuudella f on se ominaisuus, että jos kahdella alkiolla ja määritelmäjoukosta on samat arvot: , niin .

Ominaisuutta ilmaiseva symboli voi olla sama kuin funktion arvoelementin symboli. Eli voit kirjoittaa sen näin: . On syytä muistaa, että y on elementti funktioarvojen joukosta ja on sääntö, jonka mukaan elementti x liittyy elementtiin y.

Itse funktion laskentaprosessi koostuu kolmesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa valitsemme elementin x joukosta X. Seuraavaksi sääntöä käyttäen elementti x liitetään joukon Y elementtiin. Kolmannessa vaiheessa tämä elementti määrätään muuttujalle y.

Toiminnon yksityinen arvo kutsua funktion arvoa, kun sen argumentille on valittu (tietytty) arvo.

Funktion f kuvaaja kutsutaan parijoukoksi.

Monimutkaiset toiminnot

Määritelmä
Olkoon funktiot ja annettu. Lisäksi funktion f määritelmäalue sisältää joukon funktion g arvoja. Tällöin jokainen funktion g määritelmäalueen alkio t vastaa elementtiä x ja tämä x vastaa y:tä. Tätä kirjeenvaihtoa kutsutaan monimutkainen toiminto : .

Monimutkaista funktiota kutsutaan myös toimintojen koostumus tai päällekkäisyys ja joskus merkitty seuraavasti: .

Matemaattisessa analyysissä on yleisesti hyväksyttyä, että jos funktion ominaisuus on merkitty yhdellä kirjaimella tai symbolilla, se määrittää saman vastaavuuden. Muilla tieteenaloilla on kuitenkin toinen merkintätapa, jonka mukaan kartoituksia, joilla on sama ominaisuus, mutta eri argumentit, pidetään erilaisina. Toisin sanoen kartoituksia pidetään erilaisina. Otetaan esimerkki fysiikasta. Oletetaan, että harkitsemme liikemäärän riippuvuutta koordinaateista. Ja olkoon koordinaattien riippuvuus ajasta. Tällöin impulssin riippuvuus ajasta on monimutkainen funktio. Mutta lyhyyden vuoksi se on nimetty seuraavasti: . Tällä lähestymistavalla ja - tällä erilaisia ​​toimintoja. klo identtiset arvot argumentit voivat antaa erilaisia ​​merkityksiä. Tätä merkintää ei hyväksytä matematiikassa. Jos vähennys vaaditaan, sinun tulee syöttää uusi ominaisuus. Esimerkiksi . Sitten on selvästi nähtävissä, että ja on erilaisia ​​toimintoja.

Kelvolliset toiminnot

Toiminnon verkkoalue ja sen arvojen joukko voivat olla mikä tahansa joukko.
Esimerkiksi numerosarjat ovat toimintoja, joiden toimialue on luonnollisten lukujen joukko ja arvot ovat reaali- tai kompleksilukuja.
Ristitulo on myös funktio, koska kahdelle vektorille ja vektorilla on vain yksi arvo. Tässä määritelmäalue on kaikkien mahdollisten vektoriparien joukko. Arvojoukko on kaikkien vektorien joukko.
Boolen lauseke on toiminto. Sen määritelmäalue on joukko todellisia lukuja(tai mikä tahansa joukko, jossa vertailuoperaatio elementillä "0" on määritelty). Arvojoukko koostuu kahdesta elementistä - "true" ja "false".

Numeerisilla funktioilla on tärkeä rooli matemaattisessa analyysissä.

Numeerinen toiminto on funktio, jonka arvot ovat reaali- tai kompleksilukuja.

Todellinen tai todellinen toiminto on funktio, jonka arvot ovat reaalilukuja.

Maksimi ja minimi

Reaaliluvuilla on vertailutoiminto. Siksi todellisen funktion arvojen joukko voi olla rajoitettu ja niillä on suurimmat ja pienimmät arvot.

Varsinaista funktiota kutsutaan rajoitettu ylhäältä (alhaalta), jos on sellainen luku M, että epäyhtälö pätee kaikkiin:
.

Numerofunktiota kutsutaan rajoitettu, jos on luku M, joka kaikille:
.

Enintään M (minimi m) funktio f, jossain joukossa X, funktion arvoa kutsutaan tietylle argumentin arvolle, jolle kaikille,
.

Yläreuna tai tarkka yläraja Ylhäältä rajattu todellinen funktio on pienin luku, joka rajoittaa sen arvoalueen ylhäältä. Tämä on siis luku s, jolle kaikille ja mille tahansa on argumentti, jonka funktion arvo ylittää arvon s′: .
Funktion yläraja voidaan merkitä seuraavasti:
.

Ylärajallisen funktion yläraja

Alareuna tai tarkka alaraja Alhaalta rajattu todellinen funktio on suurin luku, joka rajoittaa sen arvoalueen alhaalta. Tämä on siis luku i, jolle kaikille ja kaikille on argumentti, jonka funktion arvo on pienempi kuin i′: .
Toiminnon infim voidaan ilmaista seuraavasti:
.

Alarajallisen funktion infimum on piste äärettömyydessä.

Siten millä tahansa todellisella funktiolla ei-tyhjässä joukossa X on ylempi ja alareuna. Mutta jokaisella funktiolla ei ole maksimi- ja minimiarvoa.

Esimerkkinä voidaan harkita avoimelle aikavälille määritettyä funktiota.
Sitä rajoittaa tällä aikavälillä ylhäältä arvo 1 ja alla - arvo 0 :
kaikille .
Tällä funktiolla on ylä- ja alaraja:
.
Mutta sillä ei ole enimmäis- ja vähimmäismäärää.

Jos tarkastelemme samaa funktiota segmentillä, niin tässä joukossa se on rajoitettu ylä- ja alapuolelta, sillä on ylä- ja alaraja ja sillä on maksimi ja minimi:
kaikille ;
;
.

Monotoniset toiminnot

Kasvavien ja laskevien funktioiden määritelmät
Olkoon funktio määritelty jollain reaalilukujoukolla X. Funktiota kutsutaan tiukasti kasvava (tiukasti laskeva)
.
Funktiota kutsutaan ei-laskeva (ei-nouseva), jos kaikille sellaisille, että seuraava epäyhtälö pätee:
.

Monotonisen funktion määritelmä
Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen, jos se on ei-laskeva tai ei-nouseva.

Moniarvoiset toiminnot

Esimerkki moniarvoisesta funktiosta. Eri värejä sen haarat on merkitty. Jokainen haara on funktio.

Kuten funktion määritelmästä seuraa, jokainen määritelmäalueen elementti x liittyy vain yhteen elementtiin arvojoukosta. Mutta on olemassa kuvauksia, joissa elementillä x on useita tai ääretön määrä kuvia.

Harkitse esimerkkinä funktiota arcsininen: . Se on funktion käänteinen sinus ja se määritetään yhtälöstä:
(1) .
Väliin kuuluvan riippumattoman muuttujan x tietylle arvolle tämä yhtälö täyttyy äärettömän monella y:n arvolla (katso kuva).

Asetetaan rajoitus yhtälön (1) ratkaisuille. Antaa
(2) .
Tällä ehdolla aseta arvo, yhtälölle (1) on vain yksi ratkaisu. Toisin sanoen yhtälön (1) määrittelemä vastaavuus ehdon (2) yhteydessä on funktio.

Ehdon (2) sijasta voit asettaa lomakkeelle minkä tahansa muun ehdon:
(2.n) ,
missä n on kokonaisluku. Tämän seurauksena jokaiselle n:n arvolle saamme oman funktiomme, joka on erilainen kuin muut. Joukko vastaavia toimintoja On moniarvoinen funktio. Ja funktio, joka määritetään funktiosta (1) ehdolla (2.n) on moniarvoisen funktion haara.

Tämä on joukko toimintoja, jotka on määritetty tietylle joukolle.

Moniarvoinen funktiohaara on yksi moniarvoisen funktion funktioista.

Yksiarvoinen funktio on toiminto.

Viitteet:
O.I. Besov. Matemaattisen analyysin luentoja. Osa 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudrjavtsev. Hyvin matemaattinen analyysi. Osa 1. Moskova, 2003.
CM. Nikolsky. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 1983.

Funktio on malli. Määritellään X itsenäisen muuttujan arvojoukoksi // riippumaton tarkoittaa mitä tahansa.

Funktio on sääntö, jonka avulla jokaiselle joukon X riippumattoman muuttujan arvolle voidaan löytää riippumattoman muuttujan yksilöllinen arvo. // eli jokaista x:ää kohti on yksi y.

Määritelmästä seuraa, että on olemassa kaksi käsitettä - riippumaton muuttuja (jonka merkitsemme x:llä ja se voi saada minkä tahansa arvon) ja riippuvainen muuttuja (jota merkitsemme y:llä tai f (x) ja se lasketaan funktiosta, kun korvaamme x).

ESIMERKKI y=5+x

1. Riippumaton on x, mikä tarkoittaa, että otamme minkä tahansa arvon, olkoon x=3

2. Lasketaan nyt y, mikä tarkoittaa y=5+x=5+3=8. (y riippuu x:stä, koska minkä tahansa x:n korvaamme, saamme y:n)

Muuttujan y sanotaan olevan toiminnallisesti riippuvainen muuttujasta x ja sitä merkitään seuraavasti: y = f (x).

ESIMERKIKSI.

1.y = 1/x. (kutsutaan hyperboliksi)

2. y=x^2. (kutsutaan paraabeliksi)

3.y=3x+7. (kutsutaan suoraksi)

4. y= √ x. (kutsutaan paraabelihaaraksi)

Riippumatonta muuttujaa (jonka merkitsemme x:llä) kutsutaan funktion argumentiksi.

Toimintoalue

Kaikkien arvojen joukkoa, jonka funktion argumentti ottaa, kutsutaan funktion toimialueeksi ja sitä merkitään D(f) tai D(y).

Tarkastellaan D(y) arvoa 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) ja (0;+∞) //koko joukko reaalilukuja nollaa lukuun ottamatta.

2. D (y)= (∞; +∞)//kaikki reaalilukujen lukumäärä

3. D (y)= (∞; +∞)//kaikki reaalilukujen lukumäärä

4. D (y) = . Etsitään tämän segmentin funktion suurin ja pienin arvo.

Derivaata on positiivinen kaikille x:ille väliltä (-1; 1), eli arsinifunktio kasvaa koko määritelmäalueen yli. Näin ollen se ottaa pienimmän arvon, kun x = -1, ja suurimman, kun x = 1.

Olemme saaneet arcsinifunktion alueen .

Esimerkki.

Etsi funktioarvojen joukko segmentillä.

Ratkaisu.

Etsitään funktion suurin ja pienin arvo tietyltä segmentiltä.

Määritetään segmenttiin kuuluvat ääripisteet:

Laskemme alkuperäisen funktion arvot janan päissä ja pisteissä :

Siksi intervallin funktion arvojen joukko on intervalli .

Nyt näytämme kuinka löytää jatkuvan funktion y = f(x) arvojen joukko väliltä (a; b) , .

Ensin määritetään funktion ääripisteet, ääriarvot, funktion kasvu- ja laskuvälit tietyllä aikavälillä. Seuraavaksi lasketaan intervallin päissä ja (tai) rajat äärettömyydessä (eli tutkitaan funktion käyttäytymistä intervallin rajoilla tai äärettömässä). Nämä tiedot riittävät funktioarvojen joukon löytämiseen tällaisilla aikaväleillä.

Esimerkki.

Määritä funktioarvojen joukko välille (-2; 2) .

Ratkaisu.

Etsitään funktion ääripisteet, jotka osuvat väliin (-2; 2):

Piste x = 0 on maksimipiste, koska derivaatta muuttaa etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin kulkiessaan sen läpi ja funktion kuvaaja siirtyy kasvavasta laskevaan.

funktiolla on vastaava maksimi.

Selvitetään funktion käyttäytyminen, kun x pyrkii -2:een oikealla ja kun x pyrkii 2:een vasemmalla, eli löydämme yksipuoliset rajat:

Mitä saimme: kun argumentti muuttuu arvosta -2 nollaan, funktion arvot kasvavat miinus äärettömästä miinus neljäsosaan (funktion maksimi kohdassa x = 0), kun argumentti muuttuu nollasta 2:ksi, funktioarvot pienenevät miinus äärettömyyteen. Siten välin (-2; 2) funktioarvojen joukko on .

Esimerkki.

Määritä tangenttifunktion y = tgx arvot välissä.

Ratkaisu.

Välin tangenttifunktion derivaatta on positiivinen , mikä osoittaa toiminnan lisääntymistä. Tutkitaan funktion käyttäytymistä intervallin rajoilla:

Näin ollen, kun argumentti muuttuu arvosta arvoon, funktion arvot kasvavat miinus äärettömästä plus äärettömään, eli tämän välin tangenttiarvojen joukko on kaikkien reaalilukujen joukko.

Esimerkki.

Etsi luonnollisen logaritmifunktion alue y = lnx.

Ratkaisu.

Luonnollinen logaritmifunktio määritellään argumentin positiivisille arvoille . Tällä aikavälillä derivaatta on positiivinen , tämä osoittaa sen toiminnon lisääntymistä. Etsitään funktion yksipuolinen raja, koska argumentti pyrkii nollaan oikealla ja raja x:llä plus äärettömään:

Näemme, että kun x muuttuu nollasta plus äärettömään, funktion arvot kasvavat miinus äärettömästä plus äärettömään. Siksi luonnollisen logaritmifunktion alue on koko reaalilukujen joukko.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Tämä toiminto on määritelty kaikille todellisia arvoja x. Määritetään funktion ääripisteet sekä kasvu- ja laskuvälit.

Näin ollen funktio pienenee kohdassa , kasvaa kohdassa , x = 0 on maksimipiste, funktion vastaava maksimi.

Katsotaanpa funktion käyttäytymistä äärettömässä:

Siten äärettömyydessä funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti nollaa.

Huomasimme, että kun argumentti muuttuu miinus äärettömästä nollaan (maksimipiste), funktion arvot kasvavat nollasta yhdeksään (funktion maksimiarvoon), ja kun x muuttuu nollasta plus äärettömään, funktio arvot laskevat yhdeksästä nollaan.

Katso kaaviokuva.

Nyt on selvästi nähtävissä, että funktion arvoalue on .

Funktion y = f(x) arvojen joukon löytäminen intervalleilta vaatii samanlaista tutkimusta. Emme käsittele näitä tapauksia nyt yksityiskohtaisesti. Tapamme heidät jälleen alla olevissa esimerkeissä.

Olkoon funktion y = f(x) määritelmäalue useiden intervallien liitto. Kun löydetään tällaisen funktion arvoalue, määritetään kunkin intervallin arvojoukot ja otetaan niiden liitto.

Esimerkki.

Etsi funktion alue.

Ratkaisu.

Funktiomme nimittäjä ei saa mennä nollaan, eli .

Etsitään ensin joukko funktioarvoja avoimelta säteeltä.

Johdannainen funktiosta on negatiivinen tällä välillä, eli funktio pienenee sillä.

Huomasimme, että koska argumentti pyrkii miinus äärettömään, funktion arvot lähestyvät asymptoottisesti yksikköä. Kun x muuttuu miinus äärettömästä kahteen, funktion arvot pienenevät yhdestä miinus äärettömyyteen, eli tarkasteltavalla aikavälillä funktio saa joukon arvoja. Emme sisällytä yhtenäisyyttä, koska funktion arvot eivät saavuta sitä, vaan vain asymptoottisesti pyrkivät siihen miinus äärettömyydessä.

Jatketaan samalla tavalla avoimen palkin kohdalla.

Tällä aikavälillä funktio myös pienenee.

Tämän intervallin funktioarvojen joukko on joukko .

Siten funktion haluttu arvoalue on joukkojen liitto ja .

Graafinen kuva.

Erityistä huomiota tulee kiinnittää jaksollisiin toimintoihin. Jaksollisten funktioiden arvoalue on sama kuin tämän funktion jaksoa vastaavan aikavälin arvot.

Esimerkki.

Etsi sinifunktion y = sinx alue.

Ratkaisu.

Tämä funktio on jaksollinen kahden pi:n jaksolla. Otetaan segmentti ja määritellään sille arvojoukko.

Segmentti sisältää kaksi ääriarvopistettä ja .

Laskemme funktion arvot näissä pisteissä ja segmentin rajoilla, valitse pienin ja suurin arvo:

Siten, .

Esimerkki.

Etsi funktion alue .

Ratkaisu.

Tiedämme, että kaarikosinin alue on segmentti nollasta pi:iin, eli tai toisessa postauksessa. Toiminto voidaan saada arccosxista siirtämällä ja venyttämällä pitkin abskissa-akselia. Tällaiset muunnokset eivät vaikuta arvoalueeseen, joten . Toiminto saatu venytetään kolme kertaa Oy-akselia pitkin, eli . Ja transformaation viimeinen vaihe on neljän yksikön siirtyminen alaspäin ordinaatalla. Tämä johtaa meidät kaksinkertaiseen eriarvoisuuteen

Siten vaadittu arvoalue on .

Annetaan ratkaisu toiseen esimerkkiin, mutta ilman selityksiä (niitä ei vaadita, koska ne ovat täysin samanlaisia).

Esimerkki.

Määritä toimintoalue .

Ratkaisu.

Kirjoitetaan alkuperäinen funktio muotoon . Tehofunktion arvoalue on intervalli. Tuo on, . Sitten

Siten, .

Kuvan täydentämiseksi meidän pitäisi puhua sellaisen funktion arvoalueen löytämisestä, joka ei ole jatkuva määritelmäalueella. Tässä tapauksessa jaamme määritelmäalueen intervalleiksi katkaisupisteiden mukaan ja löydämme arvojoukot jokaisesta niistä. Yhdistämällä tuloksena olevat arvojoukot saamme alkuperäisen funktion arvoalueen. Suosittelemme muistamaan