Теория множеств. "элементы теории множеств"

Теория множеств строится поверх исчисления предикатов подобно формальной арифметике. Мы добавим к исчислению предикатов один новый двуместный предикат - отношение принадлежности \in . Еще несколько предикатов мы выразим внутри теории множеств.

Для изучения теории множеств мы также введем новую связку в исчисление предикатов - эквивалентность. a \leftrightarrow b:= a \rightarrow b \& b \rightarrow a .

Аксиома фундирования исключает множества, которые могут принадлежать сами себе (возможно, через цепочку принадлежностей):

X \in Y \in Z \in X

Ясно, что данная аксиома перекрывает аксиому выделения. Наличие аксиомы подстановки отличает аксиоматику Цермело-Френкеля от аксиоматики Цермело.

На бинарных отношениях естественным образом вводятся отношения рефлексивности, симметричтности и транзитивности.

Также можно ввести понятие максимума, минимума, верхней грани, супремума.

Рассмотрим ординалы подробнее. Для начала рассмотрим конечные ординалы: 0:= \emptyset ; 1:= \{\emptyset\} ; 2:= 1 \cup \{1\} и т.п. Существование этих ординалов легко доказать.

Помимо конечных, бывают бесконечные ординалы. Например, таковым является множество N из аксиомы бесконечности. Заметим, что N \cup \{N\} - это новый ординал, не равный исходному.

Минимальный предельный ординал мы обозначим \omega . Ясно, что любое натуральное число меньше, чем \omega .

Операцию x \cup \{x\} можно выбрать за операцию прибавления 1. Для ординалов можно определить арифметические операции (+) , (\cdot)\lt tex\gt . Получится некоторое обобщение натуральных чисел со странными свойствами. Скажем, будет справедливо \lt tex\gt 1 + \omega = \omega .

Ординалы становятся важными, например, при доказательстве утверждений с помощью трансфинитной индукции: пусть есть некоторое утверждение P(x) , определенное на ординалах. Пусть мы можем показать, что из того, что P(y) справедливо на всех ординалах y \lt z , следует, что P(z) тоже справедливо. Тогда P(x) верно для любого ординала. Трансфинитная индукция есть обобщение обычной индукции. Например, с ее помощью доказана непротиворечивость формальной арифметики.

Все натуральные числа являются кардинальными. Также, например \omega — кардинальное число (еще оно обозначается как \aleph_0 , если речь идет о мощности множеств). 2^\omega — кардинальное число \aleph_1 , соответствует мощности континуум.

Есть ли какое-нибудь кардинальное число между \aleph_0 и \aleph_1 ? Континуум-гипотеза (что никаких других кардинальных чисел между ними нет) была высказана довольно давно, и длительное время была одной из главных проблем в теории множеств. Сначала Геделем было показано, что континуум-гипотеза не противоречит ZF. Утверждение о том, что и отрицание континуум-гипотезы не противоречит ZF, было доказано через 30 лет Коэном.

В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC -- теория Цермело -- Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более -- о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.

Аксиомы теории множеств

Сейчас у нас имеются все средства, чтобы сформулировать систему аксиом теории множеств ZFC, в рамках которой можно изложить все общепринятые в современной математике способы рассуждений и не проходит ни один из известных теоретико-множественных парадоксов. Эта система позволяет строить все математические объекты исходя из пустого множества. Представим систему аксиом, Цермело -- Френкеля (ZF).

Аксиома существования пустого множества: Существует пустое множество;

Аксиома существования пары: Если существуют множества а и b, то существует множество a, b ;

Аксиома суммы: Если существует множество X, то существует множество X=a a b для некоторого b X;

Аксиома бесконечности: Существует множество = 0, 1,…,n,… , где 0 = , n + 1 = n n ;

Аксиома множества всех подмножеств: Если существует множество А, то существует множество:

6. Аксиома замены: Если P(x, у) -- некоторое условие на множества x, у , такое, что для любого множества x существует не более одного множества у , удовлетворяющего Р(х, у), то для любого множества а существует множество {b P(c,b) для некоторого с а};

7. Аксиома экстенсиональности:

Два множества, имеющие одинаковые элементы, равны, любое множество определяется своими элементами:

8. Аксиома регулярности:

Всякое непустое множество x имеет элемент а х, для которого

Из аксиомы регулярности следует, что каждое множество получается на некотором шаге "регулярного процесса" образования множества всех подмножеств, начинающегося с и подобного построению натуральных чисел из пустого множества по аксиоме бесконечности. Это означает, что любой элемент любого множества является множеством, сконструированным из пустого множества.

Покажем, как аксиоматика ZF позволяет определять теоретико-множественные операции.

1. Определим множество A В, исходя из множеств А к В. По аксиоме существования пары образуется множество {А, В}. С помощью аксиомы суммы получаем множество {A, B}, которое по определению совпадает с множеством A B.

2. Пересечение А В множеств А и В определяется по аксиоме замены с помощью следующего свойства Р(х, у): х = у и х А. Имеем множество {b P(c,b) и с В} = {b с = b и с А и с В} = {c с А и с В}.

3. Покажем, что из аксиом 5 и 6 следует существование множества А 2 = {(a, b) a, b А} для любого множества А. Так как (a, b) = , то А 2 P(Р(А)). Пусть свойство Р(х, у) означает, что существуют такие a, b А, что x = и y = х. Тогда множество А 2 равно {b P(c,b), c Р(Р(А))} и по аксиоме 6 оно существует.

Система аксиом ZFC образуется из ZF добавлением одной из следующих двух эквивалентных аксиом, которые, с одной стороны, являются наименее "очевидными", а с другой -- наиболее содержательными,

1. Аксиома выбора.

Для любого непустого множества А существует такое отображение: Р(А) {} A, что (Х) X |для всех X А, X .

2. Принцип полного упорядочения. Для любого непустого множества А существует бинарное отношение на А, для которого A, вполне упорядоченное множество.

В системе ZFC справедлив принцип трансфинитной индукции, являющийся обобщением принципа полной индукции: если A, - вполне упорядоченное множество, Р(х) -- некоторое свойство, то справедливость свойства Р(х) на всех элементах х А следует из того, что для любого z А выполнимость свойства Р на элементах у, где у < z, влечет выполнимость P(z):

• a}, {a, b
• а}, {а, b

Современная теория множеств строится на системе аксиом - утверждений, принимаемых без доказательства, - из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств. Система аксиом является стандартной системой аксиом для теории множеств. К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело - Френкеля с аксиомой выбора.

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мно­жеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснова­ния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание состав­ляют те фунда­ментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся тео­рий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном явля­ется системой того же типа, что и система, предложенная перво­начально фон Нейманом (1925), (1928), а затем тщательно пере­смотренная и упрощенная Р. Робинсоном (1937), Бернайсом (1937-1954) и Гёделем (1940). (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными от­клонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса (1937-1954) и Гёделя (1940), мы бу­дем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латин­ские буквы X1, Х2, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для обо­значения произвольных переменных.) Мы вве­дем также сокращенные обо­значения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак пони­мается как символ отношения принадлежности.
Следующим образом определим равенство:
Определение. Х=Y служит сокращением для формулы.
Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они со­стоят из одних и тех же элементов.
Определение. служит сокращением для формулы (включение).
Определение. XY служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (соб­ствен­ное включение).
Из этих определений легко следует
Предложение 1.
(а) Х = Y (X Y & Y X);
(b) Х = Х;
(с) Х = Y Y = Х;
(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);
(е) Х = Y (ZX ZY).
Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, од­нако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы - это совокупности, со­ответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхо­ди­мых в математике классов и являются, достаточно скром­ными, чтобы из них нельзя было вы­вести противоречие). (Эта «ин­терпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)
Назовем класс множеством, если он является элементом какого-ни­будь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным клас­сом.
Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множе­ство).
Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собствен­ный класс).
В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоя­щему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми мате­матики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как соб­ственные классы мыслятся как чудовищно необъят­ные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.
Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о пред­метах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что мате­матика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная мо­дификация системы NBG позволяет при­ме­нить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский ).
Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специаль­ных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x1 A (x1) бу­дет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что упот­ребленная в этом определении переменная X должна быть отлич­ной от пе­ременных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употреб­ляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)
П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокра­щением для
ХXj (М(Xj)Y(M(Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))).

Х = Y (XZYZ).
Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

xyzu (u z u = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля­ются единственными его элементами.

х y (у х), т. е. су­ществует множество, не содержащее никаких элементов.
Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е. 1x y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчи­няв ее следующему условию.
Определение. y (y 0).
Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозна­чения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мно­жеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не яв­ляется множеством. Можно доказать, что
NBG 1Z((M(X)&M(Y)&u (u Z u = X u = Y)) ((M(X) M(Y))&Z=0)).
Этим оправдано введение пары {X, Y}:
Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и {X, Y} u = X u = Y))
((M(X) M(Y)) & {X, Y} = 0).
Можно до­казать, что NBG x y u (u {х, у} u = x u = y) и NBG x y (M({х, у})).
Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченной па­рой классов Х и Y.
Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.
Предложение 3.
NBG x y u v ().
Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в про­тивном случае {и, v} = {х, у} и, сле­довательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.
Oбобщим понятие упорядоченной пары до понятия упо­ря­доченной n-ки.
Определение
= Х,
Так, например, и
В дальнейшем индекс NBG в записи NBG опускается.
Нетрудно дока­зать следующее обобщение предложения 3.

Эти аксиомы утвер­ждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущест­вуют соответствующие классы всех множеств, обладаю­щих этими свойствами.
А к с и о м а В1. X u v (X u v) (- отношение).
А к с и о м а В2. X Y Z u (u Z u X & u Y)
(пересечение).
А к с и о м а В3. X Z u (u Z u X) (дополнение).
А к с и о м а В4. X Z u (u Z v (X)) (область
определения).
А к с и о м а В5. X Z u v (Z u X).
А к с и о м а В6. X Z u v w (Z X).
А к с и о м а В7. X Z u v w (Z X).
С помощью аксиом В2-В4 можно доказать
X Y 1Z u (u Z u X & u Y),
X 1Zu (u Z u x),
X 1Zu (u Z v (X)).
Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.
Определения
u (u X ∩ Y u X & u Y) (пересечение классов Х и Y).
u (u u X) (дополнение к классу X).
u (u D (X) v (X)) (об­ласть определения класса X).
(объединение классов Х и Y).
V = (универсальный класс).
X − Y = X ∩
Общая теорема о существовании классов.
Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, перемен­ные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym . Назовём такую фор­мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
Zx1 …xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та­ких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая та­кая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою оче­редь эквивалентно формуле x (z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор­мулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u (z (z u z X) & u X). Доказа­тельство проведем теперь индук­цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за­писанную с ограниченными пере­менными для множеств).
1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W1 такой, что
xixj (W1 xi xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что
xixj (W2 xj xi),
и тогда, в силу
XZ u v (Z X),
существует класс W3 такой, что
xixj (W3 xj xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что
xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
XZ v1…vkuw (Z X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что
x1… xi-1xixj (Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Далее, на основании
XZ v1…vmx1…xn (
ZX)
там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что
x1 … xi xi+1 … xj (Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя
XZ v1…vmx1…xn (Z X)
(1)
там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что
x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и
XZ x v1…vm (Z x X).
2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ со­держит s логических связок и кванторов.
(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1…xn (W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Теперь остается положить Z = .
(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что
x1…xn (Z1 ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и
x1…xn (Z2 θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Искомым классом Z в этом случае будет класс.
(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1…xnx (W ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Применим сперва
XZ x1 … xn (Z y (X)).
при X = и получим класс Z1 такой, что
x1 … xn (Z1x ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно x ψ.
Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула uv (X = & u Y1 & v Y2). Здесь кванторы связывают только перемен­ные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)), а на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву:
Определение. x (x Y1 Y2 uv (x = & u Y1 & v Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).
Определения. X2 обозначает X X (в частности, V2 обозначает класс всех упо­рядоченных пар).
Xn обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех упо­рядоченных n-ок).
Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).
2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Zx (x Z x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.
Определение. x (x P (Y) x Y). (P (Y): класс всех под­множеств класса Y.)
3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X v & v Y).
По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объем­ности, 1Zx (x Z v (x v & v Y)), т.е. существует един­ственный класс Z, элементами которого являются все элементы элемен­тов класса Y и только они.
Определение. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y)
4. Пусть φ (X) есть u (X =). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x Z u (x =)).
Определение. x (x I u (x =)). (Отношение тож­дества.)
Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)
1W(W Vn & x1…xn (W
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его един­ственность вытекает из аксиомы объемности.
Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок, удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) x1…xn (u = & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим u (u φ (x, Y1, …, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).
Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим (Y) сокращенно через, тогда V2 & x1x2(Y Y). Назовем обратным отношением класса Y.
2. Пусть φ есть v (Y). Обозначим через R(Y) выражение (v (Y)). Тогда u (u R(Y) v (Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, R(Y) = D().
Заметим, что аксиомы В1 - В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных клас­сов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

xyu (u y v (u v & v x)).
Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов мно­жества х является также множеством, т. е. x (M((х))). Множество и (х) обозначают также через и v.
Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

xyu (u y u x).
Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем назы­вать множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, x (M(P (х))).
Примеры.
P (0) = {0}.
P ({0}) = {0, {0}}.
P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.
Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая ак­сиома выделения.

xY zu (u z u x & u Y).
Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y су­ществует множество, со­стоящее из элементов, общих для х и Y. Следо­вательно, xY (M (x ∩ Y)), т. е. пересече­ние множества с классом есть множество.
Предложение 5. xY (Y x M (Y)) (т. е. подкласс множе­ства есть множество).
Доказательство. x (Y x Y ∩ x = Y) и x (M (Y ∩ x)).
Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответ­ст­вующий класс (предло­жение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих дан­ной предика­тивной формуле A(у), есть множество.
Однако для полного развития теории множеств потребуется ак­сиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько оп­ределений.
Определения Un (X) означает xyz (X & X y = z).
(X однозначен.)
Fnc (X) означает X V2 & Un (X). (X есть функция.)
Y 1 X означает X ∩ (Y V). (Огра­ничение Х областью Y.)
Un1 (X) означает Un (X) & Un (). (X взаимно однозначен.)
X‘Y
Если существует единственное z такое, что X, то z = X‘y; в про­тивном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у - множество из области определения X, то X‘y есть значе­ние этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функ­циональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соот­ветствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение неко­торой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).
X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть об­ласть значений класса X, ограниченного областью Y.)

{\slider}{slider=- Аксиома замещения.}

x (Un (X) yu (u y v (X & v X))).
Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалент­ное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то об­ласть значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множест­вом, также есть множество.
Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных мно­жеств.

x (0 x & u (u x u {u} x)).
Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 x, и если и x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} x, {0, {0}} x, {0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …
Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), акси­ому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом суще­ствования классов В1-В7.
Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x x) ,т. е. х (х Y х х). (Такой класс Y суще­ствует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокра­щенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X) (X Y X X)). Допустим M(Y). Тогда Y Y Y Y, что, в силу тавтологии (A A) A & & A, влечет Y Y Y Y. Отсюда по теореме дедукции получаем M(Y)(Y Y Y Y), а затем, в силу тавтологии (B (A & A)) B , получаем и М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных пара­доксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).
Определения X Irr Y означает y (y Y X) & Rel (X).
(X есть иррефлексивное отношение на Y.)
X Tr Y означает Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &
& X &X & X X).
(X есть транзитивное отношение на Y.)
X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).
(X частично упорядочивает Y.)
X Con Y означает Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v
X X).
X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).
(X упорядочивает Y.)
X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &
& Z ≠ 0 y (y Z & v (v Z & v ≠ y X &
& X))).
(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.
Следующие формулы эквивалентны:
Аксиома выбора (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y y (такая функция называется выбирающей функцией для х).
Мультипликативная аксиома (Mult): Для любого мно­жества х непустых и попарно непересекающихся множеств, сущест­вует множество у (называемое выбирающим множеством для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.
u (u x u ≠ 0 & v (v x & v ≠ u v ∩ u = 0))
yu (u x 1w (w u ∩ y)).
Принцип в полне упорядочения (W. O.): Всякое мно­жество может быть вполне упорядочено. x y (y We x).
Трихотомия (Trich): xy (x y y x).
Лемма Цорна (Zorn): Если в частично упорядоченном мно­жестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.
xy ((y Part x) & u (u x & y Tot u v (v x &w (w u w =
= v y))) v (v x &w (w x y))).
Доказательство.
1. (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х α и y β. Но так как α β или β α, то либо x y, либо y x.
2. Trich (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число α, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа α, и вполне упо­рядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.
3. (W. O.) Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и (х).)
4. Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u {и}. Пусть х1 -область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основа­нии Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u х, то и {и} х1 и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f‘ u = v является искомой выбираю­щей функцией для х.
5. АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое мно­жество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выпол­нялось F‘0 = b и F‘α = f‘u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ α относительно упорядочения у, что v х и v F‘‘ α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v мно­жества F‘‘ β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не при­надлежащих F‘‘ β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однознач­ной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством мно­жества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α

Здесь мы введем аксиомы, на которых будет основано все наше дальнейшее изложение теории множеств. Эти аксиомы позволяют строить новые множества из уже имеющихся множеств, и в этом смысле они не отличаются от аксиом, приведенных в главе I. Существенное различие заключается в том, что здесь мы будем рассматривать множества, у которых элементы сами являются множествами, то есть будем рассматривать семейство множеств (A, B, X, Y, …).

Повторим, прежде всего, аксиому объемности.

I . Аксиома объемности.

Если множества A и B составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.

С помощью символов эту аксиому можно записать в виде:

II . Аксиома существования пустого множества.

Существует такое множество
, что ни один элемент x ему не принадлежит:

.

II ".Аксиома пары.

Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются a и b :

.

III . Аксиома суммы. Для каждого семейства множеств
существует множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству
, принадлежащему
: .

Согласно аксиоме I, существует не более одного такого множества S .

Действительно, если

для произвольного x

и, согласно аксиоме I,
.

Так как, аксиома III утверждает существование по крайней мере одного такого множества S , то отсюда следует, что для каждого
множестваS определено однозначно. Назовем его суммой множеств , принадлежащих семейству
, и будем обозначатьS (A ) или
.

IV . Аксиома степени. Для каждого множества A существует семейство множеств P , элементами которого являются все подмножества множества A и только они:
.

Легко доказать, что множество A однозначно определяет семейство P . Оно (P ) называется его (A ) степенью и обозначается
.

V . Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств A , которому принадлежит O и, если
, то в A найдется элемент Y , состоящий из всех элементов множества X и самого множества X :

.

Таким образом, семейству A принадлежит множество O , множество N 1 , единственными элементами которого являются O и N 1 , и так далее.

VI . Аксиома выбора. Для каждого семейства A пустых непересекающихся множеств существует множество B , имеющее один общий элемент с каждым из множеств
:

Чтобы облегчить чтение этого выражения, заметим, что высказывательная функция утверждает существование такого элементаx , что условия
и
эквивалентны. Поэтому элементx – единственный элемент произведения
, и рассматриваемая высказывательная функция утверждает, что это произведение имеет только один элемент.

Для произвольной высказывательной функции Ф(x ) примем следующую аксиому:
.

- это аксиома зависит от остальных, поэтому мы не даем ей отдельного номера.

. Аксиома выделения для высказывательной функции Ф. Для произвольного множества A существует множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A , которые (будучи подставлены на место переменных x ) удовлетворяют Ф.

Символически эту аксиому можно записать в следующем виде (полагая, что переменная B не встречается в Ф ):

Если в Ф(x ) встречаются (свободные) переменные, отличные от x , то они играют роль параметров, от которых зависит B .

Очевидно, что множество B однозначно определяется высказывательной функцией Ф(x ) , множеством A и выбором переменной x .

Мы будем обозначать его
или
и читать: «множество техx из A , которые удовлетворяют Ф(x ) ».

Для каждой высказывательной функции, не содержащей переменных x и B , примем следующую аксиому.

. Аксиома замены для высказывательной функции Ф. Если для каждого x существует единственный элемент y , такой, что выполняется Ф( x ), то для каждого множества A существует множество B , состоящее из тех и только тех элементов y , которые при некотором
выполняют Ф( x ).

Положим интуитивный смысл этой аксиомы. Допустим, что условие аксиомы истинно, то есть для каждого x существует только один элемент y , выполняющий Ф(x ) . Назовем этот элемент y последователем элемента x . Аксиома
утверждает, что тогда для каждого множестваA существует множество B , состоящее из всех последователей элементов множества A и только из них.

Например, пусть
, тогда последователем множестваX будем множество 2 x . Аксиома замены утверждает, что для каждого семейства множества A существует семейство множеств B , элементами которого является множество 2 x , где
.

Аксиомы I – VI и все аксиомы
(а из число бесконечно), гдеФ – произвольная высказывательная функция из класса , образуют (бесконечную) систему аксиом, которую мы будем обозначать
. Опуская в
аксиому выбора (VI), получаем новую систему аксиом и обозначим ее .

Роль, которую в теории множеств играют отдельные аксиомы, можно полностью оценить только после знакомства с их следствиями. Здесь мы сделаем только несколько общих заключений.

Аксиомы в математических теориях могут играть двоякую роль.

В одних случаях аксиомы полностью характеризуют теорию, то есть они в каком-то смысле определяют первичные понятия этой теории.

Например, в теории групп мы определяем группу как множество с операциями, удовлетворяющими аксиомам этой теории.

В других случаях аксиомы формализуют только некоторые свойства первичных понятий теории и тогда их цель не в том, чтобы дать полное описание первичных понятий, а скорее в том, чтобы дать систематизацию интуитивного смысла этих понятий.

Именно вот такое назначение и будут иметь аксиомы в дальнейших разделах теории множеств.

Аксиомы III, IV, VI,
являются так называемымиусловными аксиомами существования : они позволяют делать заключения о существовании определенных множеств при условии, что существуют другие множества.

Конструкции, осуществляемые на основе аксиом III, IV, VI,
, однозначны.

В то же время аксиома VI не определяет однозначно множество, существование которого она утверждает: для данного семейства A непустых непересекающихся множеств существует, вообще говоря, много множеств B удовлетворяющих аксиоме выбора.

Аксиомы II и V заслуживают названия абсолютных аксиом существования: они постулируют существование некоторых множеств и не ограничены никакими условиями.

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле термин "А. т. м." может служить для обозначения к.-л. формальной аксиоматич. теории, направленной на построение нек-рого фрагмента содержательной ("наивной") теории множеств.

Теория множеств, возникшая на рубеже 19-20 вв., уже в самом начале своего развития натолкнулась на парадоксы. Открытие таких фундаментальных парадоксов, как Рассела и Кантора (см. Антиномия ), вызвало широкую дискуссию и способствовало коренному пересмотру логико-математич. принципов. Аксиоматич. в теории множеств можно рассматривать как инструмент более детального изучения положения дел в создавшейся ситуации.

Построение формальной А. т. м. начинается с точного описания языка, на к-ром формулируются утверждения. Затем принципы "наивной" теории множеств выражаются на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже дано краткое описание нек-рых наиболее распространенных систем А. т. м. Важную роль при этом играет язык, содержащий следующие исходные символы: 1) переменные к-рые в языке играют роль общих имен множеств; 2) предикатные символы е (знак принадлежности) и = (знак равенства); 3) дескрипции (означающий "такой , что..."); 4) логические связки и кванторы: (эквивалентно), (влечет), (или), (и), (не), (для всех), (существует); 5) скобки (,). Выражения языка делятся на термы и формулы. Термы являются именами множеств, а формулы выражают суждения. Термы и формулы образуются согласно следующим правилам.

П1. Если - переменные или термы, то и суть формулы.

П2. Если Аи В - формулы и х - переменная, то суть формулы и - терм; переменная хесть терм.

Упорядоченная пара хи у:

Объединение хи у :

Пересечение хи у:

Объединение всех элементов х:

Декартово х и у :

wесть функция:

Значение функции на элементе х:

zесть стандартное бесконечное множество:

Следующая аксиоматич. А наиболее полно отражает принципы "наивной" теории множеств. Аксиомы А:

А1. объемности:

("если множества уи z содержат одни и те же элементы, то они равны");

А2. аксиомы свертывания:

где А - произвольная формула, не содержащая в качестве параметра у("существует множество у, содержащее те и только те элементы х, для к-рых А" ).

Описанная система противоречива. Если в А2 в качестве Авзять формулу то из формулы легко выводится , что противоречиво.

Аксиоматич. системы теории множеств можно разделить на следующие четыре группы.

а) Построение аксиоматич. систем первой группы направлено на такое ограничение аксиом свертывания, к-рое обеспечивает наиболее естественный способ формализации обычных математич. доказательств и в то же время позволяет избежать известных парадоксов. Первой аксиоматикой такого рода была система Z Цермело (Е. Zermelo, 1908). Однако в системе Z невозможно естественным образом формализовать нек-рые разделы математики, и А. Френкель (A. Fraenkel, 1922) предложил пополнить Z новым принципом, названным им аксиомой подстановки. Полученная система наз. системой Цермело- Френкеля и обозначается ZF.

б) Вторую группу составляют системы, аксиомы к-рых выбраны в связи с к.-л. объяснением парадоксов, напр, как следствий непредикативных определений. Сюда относятся: разветвленная теория типов Рассела, простая теория типов Т, теории типов с трансфинитными индексами (см. Типов теория ).

в) Третья характеризуется использованием нестандартных средств логич. вывода, многозначных логик, дополнительных условий на доказательства, бесконечных правил вывода. Системы, относящиеся к этому направлению, наименее развиты.

г) Четвертая группа включает модификации систем первых трех групп, преследующие определенные логич. или математич. цели. Укажем только на системы NBG Неймана - Гёделя - Бернайса (J. Neumann - К. Godel-Р. Bernays, 1925) и NF Куайна (W. Quine, 1937). Построение системы NBG вызвано желанием иметь конечное аксиом для теории множеств, основанной на системе ZF. В NF реализуется стремление преодолеть понятий, имеющее место в теории типов.

Системы Z, ZF, NF можно формулировать в описанном выше языке. Правила вывода, а также так наз. логические аксиомы у этих систем совпадают и образуют прикладное предикатов 1-й ступени с равенством и оператором дескрипции. Укажем только аксиомы для равенства и оператора дескрипции:

где (х) - формула, не содержащая связанной переменной у(т. е. не имеющая вхождений вида iy), и (у).получается из формулы (х).заменой нек-рых свободных вхождений переменной хна у; где х означает "существует одно и только одно х", а формула получается из формулы (х).заменой всех свободных вхождений переменной хна терм Квантор выразим через кванторы и равенство.

Нелогические аксиомы системы Z:

Z1. аксиома объемности А1;

Z2. аксиома пары:

("существует множество {х, у}" );Z3. аксиома суммы:

("существует множество z"); Z4. аксиома степени:

("существует множество Pz" );Z5. аксиома выделения:

("существует подмножество z, состоящее из тех элементов х, для к-рых имеет место (х)");аксиомы Z2 -Z5 являются примерами аксиом свертывания; Z6. аксиома бесконечности:

Z7. аксиома выбора:

("для всякого множества существует выбирающая из каждого непустого элемента хмножества z единственный элемент "). К этим аксиомам добавляют еще аксиому фундирования: Z8.

цель к-рой - постулировать, что не существует убывающих цепей Аксиома Z8 позволяет упростить построения в Z. Добавление этой аксиомы не вносит противоречия.

В системе Z можно развивать арифметику, анализ, рассматривать кардинальные числа, меньшие Однако если определить стандартным образом, то доказать в Z существование и более высоких кардиналов уже невозможно.

Система ZF получается из Z добавлением аксиом подстановки Френкеля, к-рым можно придать аксиом свертывания:

("существует множество у, состоящее из когда vпробегает все элементы множества z"). Иначе говоря, уполучается из z, если каждый элемент у из z заменить на

Система ZF является очень сильной теорией. Все обычные математич. теоремы формализуются в ZF.

Система NBG получается из системы ZF добавлением нового типа переменных - классовых переменных X, Y, Z, ... и конечного числа аксиом образования классов, позволяющих доказать формулы вида

где (х) - формула системы NBG, не содержащая связанных классовых переменных и символа i. Поскольку по каждой формуле (х).можно образовать , то бесконечное число аксиом ZF удается заменить конечным числом аксиом, содержащих классовую переменную. Аксиома выбора имеет вид:

и утверждает существование единой для всех множеств функции выбора, являющейся классом.

Система NF имеет наиболее простую аксиоматику, а именно: 1) аксиому объемности и 2) те аксиомы свертывания, в к-рых формулу Аможно стратифицировать, т. е. приписать всем переменным формулы Аверхние индексы таким образом, чтобы получилась формула теории типов Т, т. е. в подформулах вида хeуиндекс у хна единицу меньше, чем у y.

Система NF обладает следующими особенностями:

а) выбора аксиома и обобщенная континуум-гипотеза опровержимы;

б) бесконечности аксиома доказуема;

в) аксиома объемности играет весьма существенную роль. Так, если аксиому объемности заменить несколько более слабой аксиомой:

допускающей много пустых множеств, а аксиомы свертывания NF оставить без изменения, то получится довольно слабая теория, именно: уже в формальной арифметике можно доказать полученной системы.

Ниже приведены результаты о соотношениях между описанными системами.

(a) Всякая формула ZF доказуема в NBG тогда и только тогда, когда она доказуема в ZF.

(b) В ZF можно установить непротиворечивость Z, пополненной любым конечным числом примеров схемы аксиом подстановки ZF9. Таким образом, ZF значительно сильнее Z.

(g) В Z доказуема непротиворечивость Т, так что Z сильнее Т.

(d) NF не слабее Т в том смысле, что в NF можно развить всю теорию типов.

Аксиоматич. подход к теории множеств позволил придать точный смысл утверждению о принципиальной неразрешимости нек-рых математич. проблем и строго доказать его. Общая применения аксиоматич. метода здесь такова. Рассматривается формальная аксиоматич. система S теории множеств (как правило, это ZF или нек-рые ее модификации), настолько универсальная, чтобы она содержала все обычные способы рассуждения классич. математики и все обычные математич. факты могли бы в ней быть выведены. Данная проблема Аможет быть записана в виде формулы в языке S. Затем математич. методами устанавливается, что в Sневозможно вывести ни А, ни отрицание А. Отсюда следует, что проблема Ане может быть разрешена (в ту или иную сторону) средствами теории S, но так как теория Sопределялась в расчете охватить все обычные методы рассуждения, то полученный результат свидетельствует о том, что Ане может быть разрешена обычными методами рассуждения, т. е. свидетельствует о "трансцендентности" А.

Результаты о невыводимости в теории Sдоказываются, как правило, в предположении о непротиворечивости S или нек-рого естественного расширения S. Это связано с тем, что, с одной стороны, проблема может быть невыводима в Sтолько при непротиворечивости S, последнее же не может быть установлено средствами S (согласно Гёделя теореме о неполноте ), т. е. не может быть доказано обычными методами. С другой стороны, непротиворечивость Sявляется обычно весьма правдоподобной гипотезой. Сама теория Sопределяется в расчете на выполнение этой гипотезы.

Далее, аксиоматич. подход к теории множеств позволил точно поставить и решить проблемы, связанные с эффективностью в теории множеств, интенсивно обсуждавшиеся особенно в первый развития теории множеств в работах Р. Бэра (R. Baire), Э. Бореля (Е. Borel), А. Лебега (Н. Lebesgue), С. Н. Бернштейна, Н. Н. Лузина, В. Серпинского А именно, говорят, что теоретико-множественный , удовлетворяющий свойству задается эффективно в аксиоматич. теории S, если может быть построена формула (х).теории S, про к-рую в Sможно доказать, что ей удовлетворяет единственный объект, и этот объект удовлетворяет свойству Это определение дает возможность точно доказать, что для нек-рых свойств в теории Sневозможно эффективно указать объект, удовлетворяющий свойству в то время как существование этих объектов в S может быть установлено. Но поскольку теория Sвыбирается достаточно универсальной, то неэффективность существования нек-рых объектов в Sсвидетельствует и о невозможности эффективно установить их существование обычными математич. средствами.

Наконец, методы А. т. м. позволили решить трудных проблем и в классич. ветвях математики: теории кардинальных и ординальных чисел, дескриптивной теории множеств, топологии.

Ниже приведены нек-рые из результатов в А. т. м. Большинство теорем относится к А. т. м. Цермело - Френкеля, наиболее употребительной в настоящее время. Пусть ZF - есть система ZF без аксиомы выбора Z7. В силу результаты легко адаптируются и к системе NBG.

1) К. Гёдель (1939) показал, что если непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. Для доказательства этого результата Гёдель построил теории ZF, состоящую из так наз. конструктивных по Гёделю множеств и играющую важную роль в современной А. т. м.

2) Вопрос о том, можно ли вывести в ZF аксиому выбора или континуум-гипотезу, оставался открытым вплоть до 1963, когда П. Коэн (P. Cohen) с помощью разработанного им вынуждения метода показал, что если ZF- непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения любой комбинации из аксиомы выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. Таким образом, эти две проблемы независимы в ZF.

Основным методом установления невыводимости формулы Ав ZF является построение модели ZF, в к-рой имеет место отрицание А. Метод вынуждения Коэна, усовершенствованный затем другими авторами, сильно расширил возможности построения моделей теории множеств и в настоящее время лежит в основе почти всех дальнейших результатов о невыводимости. Напр.:

3) Показано, что к ZF без противоречия можно присоединить гипотезу о том, что множества подмножеств множества хможет быть почти произвольной наперед заданной функцией мощности хна регулярных кардиналах (единственные существенные ограничения связаны с теоремой Кёнига).

4) В 1920 М. Я. Суслин сформулировал гипотезу: всякое линейно полно такое, что всякое попарно непересекающееся семейство непустых открытых интервалов в нем не более чем счетно, необходимо содержит счетное всюду плотное подмножество. Методом Коэна была установлена в ZF гипотезы Суслина.

5) Показана неразрешимость в (без аксиомы выбора) утверждения: всякое подмножество множества действительных чисел измеримо по Лебегу.

6) Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных проблем дескриптивной теории множеств. Первые результаты в этом направлении были объявлены Гёделем в 30-х гг. и доказаны П. С. Новиковым . Методы А. т. м. позволили обнаружить неизвестные ранее связи между проблемами "наивной" теории множеств. Доказано, напр., что из существования неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа вытекает существование несчетного (т. е. СА ).множества без совершенного подмножества.

7) Доказано отсутствие в ZF эффективного вполне упорядочения континуума. Получены многочисленные результаты об отсутствии эффективно определенных объектов в дескриптивной теории множеств и теории ординалов.

Лит. : Френкель А.

В. Н. Гришин, А. Г. Драгалин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .