Аксиоматическая теория множеств

Аксиоматика теории множеств

Пояснение к аксиомам ZFC

Аксиомы ZFC включают в себя:

0) группу высказываний о равенстве множеств (1 аксиома),

1) группу высказываний о существовании множеств (2 аксиомы),

2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (3 аксиомы и 2 схемы), в которой можно выделить три подгруппы,

3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (2 аксиомы).

0. Критерий равенства множеств в ZFC

Следующее высказывание выражает необходимое условие идентичности двух множеств.

Аксиома экстенсиональности (Аксиома объёмности)

Примечание

«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда первое множество идентично второму [множеству].»

Достаточное условие идентичности двух множеств имеет вид и выводится из аксиом предиката , а именно:

, , где - любое математически корректное суждение об , а - то же самое суждение, но об .

Соединение указанного достаточного условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:

1. Аксиомы ZFC о существовании множеств

«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

Примечание

«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя. Употребительны два имени: и . Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:

и , где

Примечание

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из .»

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» ().

2. Аксиомы ZFC об образовании множеств

Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая и по меньшей мере одну ].

Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания , которое выводится из аксиом предиката .

Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

2.0. Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов

Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката .

, что есть

Примечание

«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество , каждый элемент которого идентичен данному множеству или данному множеству ».

Примеры

Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

или

Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

Известно, что каждое множество имеет подмножества , включая [копию пустого множества] и [копию самого множества] . Иначе говоря,

.

Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару . Назовём эту пару семейством .

Если можно образовать семейство из двух подмножеств множества , тогда можно объявить об образовании семейства из всех подмножеств множества .

Чтобы объявить об образовании семейства достаточно потребовать, чтобы каждый элемент названного семейства был подмножеством множества , а каждое подмножество названного множества было элементом семейства . Иначе говоря, , что равносильно предложению , , .

Если можно объявить об учреждении семейства , тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

Мыслимы различные способы упразднения семейства , включая: 1) его полное упразднение (уничтожение), то есть , что равносильно , 2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть , что равносильно , 3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть , что равносильно . Поскольку , постольку предложение равносильно предложению , которое подразумевает предложение , которое является частным случаем высказывания .

Из изложенного следует, что высказывания и можно считать независимыми условно.

2.1.0 Аксиома множества подмножеств (Аксиома булеана)

, что есть , где

Примечание

«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество , каждый элемент которого является [собственным либо несобственным] подмножеством данного множества .»

Примеры , так как

Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя , которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] » или «булеан [множества] ». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:

или , что есть

Примечание

Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество , каждый элемент которого принадлежит по меньшей мере одному множеству данного семейства ».

Примеры

Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя , которое произносится: «объединение множеств семейства ». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

или .

Объединение множеств семейства () не следует путать с пересечением множеств семейства (), о котором известно:

, то есть

2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений

Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

а) аксиому связи между алгебраической операцией (сложить) и алгебраической операцией (умножить)

,

б) аксиому связи между отношением порядка (меньше или равно) и алгебраической операцией (сложить)

Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством ) и математически корректными суждениями (например, суждением ).

«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны штихелям, надфелям, часовым отвёрткам и иным доводочным инструментам.

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из ["неотёсанных"] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны прецизионным станкам.

, что есть , где - любое математически корректное суждение о , но не о множестве и не о множестве .

Примечание

Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество , высказав суждение о каждом элементе данного множества .»

Примеры

Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию . Поэтому единственному подмножеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, схему выделения записывют так:

или

Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.

, что есть

Примечание

Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество , высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение обо всех элементах данного множества .»

Примеры

Доказывается, что в схеме преобразования множество единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:

или

Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств

Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из и каждой с помощью аксиом образования множеств. Образно говоря, высказывания об упорядоченности множеств образуют «сортировочный цех» теории ZFC, тогда как высказывания об образовании множеств образуют «производственный цех» этой теории.

Примечание

«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество , каждый элемент которого не принадлежит данному семейству .»

Примеры Сравните с высказываниями и , а также . Сравните с высказываниями и . Сравните с высказываниями и .

Примечание

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество , в котором есть по одному элементу от каждого множества данного семейства .»

Пример Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно: , , . Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, нуля) от множества и одного «делегата» (например, единицы) от множества . Действительно: . .

Примечания

1. Если ZFC непротиворечива, то ее непротиворечивость не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй теореме Гёделя.

В начале XX века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом, была продемонстрирована несостоятельность наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наименее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надёжной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC -- теория Цермело -- Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более -- о существовании модели для неё) остаётся нерешенным.

Аксиомы теории множеств

Сейчас у нас имеются все средства, чтобы сформулировать систему аксиом теории множеств ZFC, в рамках которой можно изложить все общепринятые в современной математике способы рассуждений и не проходит ни один из известных теоретико-множественных парадоксов. Эта система позволяет строить все математические объекты исходя из пустого множества. Представим систему аксиом, Цермело -- Френкеля (ZF).

Аксиома существования пустого множества: Существует пустое множество;

Аксиома существования пары: Если существуют множества а и b, то существует множество a, b ;

Аксиома суммы: Если существует множество X, то существует множество X=a a b для некоторого b X;

Аксиома бесконечности: Существует множество = 0, 1,…,n,… , где 0 = , n + 1 = n n ;

Аксиома множества всех подмножеств: Если существует множество А, то существует множество:

6. Аксиома замены: Если P(x, у) -- некоторое условие на множества x, у , такое, что для любого множества x существует не более одного множества у , удовлетворяющего Р(х, у), то для любого множества а существует множество {b P(c,b) для некоторого с а};

7. Аксиома экстенсиональности:

Два множества, имеющие одинаковые элементы, равны, любое множество определяется своими элементами:

8. Аксиома регулярности:

Всякое непустое множество x имеет элемент а х, для которого

Из аксиомы регулярности следует, что каждое множество получается на некотором шаге "регулярного процесса" образования множества всех подмножеств, начинающегося с и подобного построению натуральных чисел из пустого множества по аксиоме бесконечности. Это означает, что любой элемент любого множества является множеством, сконструированным из пустого множества.

Покажем, как аксиоматика ZF позволяет определять теоретико-множественные операции.

1. Определим множество A В, исходя из множеств А к В. По аксиоме существования пары образуется множество {А, В}. С помощью аксиомы суммы получаем множество {A, B}, которое по определению совпадает с множеством A B.

2. Пересечение А В множеств А и В определяется по аксиоме замены с помощью следующего свойства Р(х, у): х = у и х А. Имеем множество {b P(c,b) и с В} = {b с = b и с А и с В} = {c с А и с В}.

3. Покажем, что из аксиом 5 и 6 следует существование множества А 2 = {(a, b) a, b А} для любого множества А. Так как (a, b) = , то А 2 P(Р(А)). Пусть свойство Р(х, у) означает, что существуют такие a, b А, что x = и y = х. Тогда множество А 2 равно {b P(c,b), c Р(Р(А))} и по аксиоме 6 оно существует.

Система аксиом ZFC образуется из ZF добавлением одной из следующих двух эквивалентных аксиом, которые, с одной стороны, являются наименее "очевидными", а с другой -- наиболее содержательными,

1. Аксиома выбора.

Для любого непустого множества А существует такое отображение: Р(А) {} A, что (Х) X |для всех X А, X .

2. Принцип полного упорядочения. Для любого непустого множества А существует бинарное отношение на А, для которого A, вполне упорядоченное множество.

В системе ZFC справедлив принцип трансфинитной индукции, являющийся обобщением принципа полной индукции: если A, - вполне упорядоченное множество, Р(х) -- некоторое свойство, то справедливость свойства Р(х) на всех элементах х А следует из того, что для любого z А выполнимость свойства Р на элементах у, где у < z, влечет выполнимость P(z):

• a}, {a, b
• а}, {а, b

Здесь мы введем аксиомы, на которых будет основано все наше дальнейшее изложение теории множеств. Эти аксиомы позволяют строить новые множества из уже имеющихся множеств, и в этом смысле они не отличаются от аксиом, приведенных в главе I. Существенное различие заключается в том, что здесь мы будем рассматривать множества, у которых элементы сами являются множествами, то есть будем рассматривать семейство множеств (A, B, X, Y, …).

Повторим, прежде всего, аксиому объемности.

I . Аксиома объемности.

Если множества A и B составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.

С помощью символов эту аксиому можно записать в виде:

II . Аксиома существования пустого множества.

Существует такое множество
, что ни один элемент x ему не принадлежит:

.

II ".Аксиома пары.

Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются a и b :

.

III . Аксиома суммы. Для каждого семейства множеств
существует множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству
, принадлежащему
: .

Согласно аксиоме I, существует не более одного такого множества S .

Действительно, если

для произвольного x

и, согласно аксиоме I,
.

Так как, аксиома III утверждает существование по крайней мере одного такого множества S , то отсюда следует, что для каждого
множестваS определено однозначно. Назовем его суммой множеств , принадлежащих семейству
, и будем обозначатьS (A ) или
.

IV . Аксиома степени. Для каждого множества A существует семейство множеств P , элементами которого являются все подмножества множества A и только они:
.

Легко доказать, что множество A однозначно определяет семейство P . Оно (P ) называется его (A ) степенью и обозначается
.

V . Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств A , которому принадлежит O и, если
, то в A найдется элемент Y , состоящий из всех элементов множества X и самого множества X :

.

Таким образом, семейству A принадлежит множество O , множество N 1 , единственными элементами которого являются O и N 1 , и так далее.

VI . Аксиома выбора. Для каждого семейства A пустых непересекающихся множеств существует множество B , имеющее один общий элемент с каждым из множеств
:

Чтобы облегчить чтение этого выражения, заметим, что высказывательная функция утверждает существование такого элементаx , что условия
и
эквивалентны. Поэтому элементx – единственный элемент произведения
, и рассматриваемая высказывательная функция утверждает, что это произведение имеет только один элемент.

Для произвольной высказывательной функции Ф(x ) примем следующую аксиому:
.

- это аксиома зависит от остальных, поэтому мы не даем ей отдельного номера.

. Аксиома выделения для высказывательной функции Ф. Для произвольного множества A существует множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A , которые (будучи подставлены на место переменных x ) удовлетворяют Ф.

Символически эту аксиому можно записать в следующем виде (полагая, что переменная B не встречается в Ф ):

Если в Ф(x ) встречаются (свободные) переменные, отличные от x , то они играют роль параметров, от которых зависит B .

Очевидно, что множество B однозначно определяется высказывательной функцией Ф(x ) , множеством A и выбором переменной x .

Мы будем обозначать его
или
и читать: «множество техx из A , которые удовлетворяют Ф(x ) ».

Для каждой высказывательной функции, не содержащей переменных x и B , примем следующую аксиому.

. Аксиома замены для высказывательной функции Ф. Если для каждого x существует единственный элемент y , такой, что выполняется Ф( x ), то для каждого множества A существует множество B , состоящее из тех и только тех элементов y , которые при некотором
выполняют Ф( x ).

Положим интуитивный смысл этой аксиомы. Допустим, что условие аксиомы истинно, то есть для каждого x существует только один элемент y , выполняющий Ф(x ) . Назовем этот элемент y последователем элемента x . Аксиома
утверждает, что тогда для каждого множестваA существует множество B , состоящее из всех последователей элементов множества A и только из них.

Например, пусть
, тогда последователем множестваX будем множество 2 x . Аксиома замены утверждает, что для каждого семейства множества A существует семейство множеств B , элементами которого является множество 2 x , где
.

Аксиомы I – VI и все аксиомы
(а из число бесконечно), гдеФ – произвольная высказывательная функция из класса , образуют (бесконечную) систему аксиом, которую мы будем обозначать
. Опуская в
аксиому выбора (VI), получаем новую систему аксиом и обозначим ее .

Роль, которую в теории множеств играют отдельные аксиомы, можно полностью оценить только после знакомства с их следствиями. Здесь мы сделаем только несколько общих заключений.

Аксиомы в математических теориях могут играть двоякую роль.

В одних случаях аксиомы полностью характеризуют теорию, то есть они в каком-то смысле определяют первичные понятия этой теории.

Например, в теории групп мы определяем группу как множество с операциями, удовлетворяющими аксиомам этой теории.

В других случаях аксиомы формализуют только некоторые свойства первичных понятий теории и тогда их цель не в том, чтобы дать полное описание первичных понятий, а скорее в том, чтобы дать систематизацию интуитивного смысла этих понятий.

Именно вот такое назначение и будут иметь аксиомы в дальнейших разделах теории множеств.

Аксиомы III, IV, VI,
являются так называемымиусловными аксиомами существования : они позволяют делать заключения о существовании определенных множеств при условии, что существуют другие множества.

Конструкции, осуществляемые на основе аксиом III, IV, VI,
, однозначны.

В то же время аксиома VI не определяет однозначно множество, существование которого она утверждает: для данного семейства A непустых непересекающихся множеств существует, вообще говоря, много множеств B удовлетворяющих аксиоме выбора.

Аксиомы II и V заслуживают названия абсолютных аксиом существования: они постулируют существование некоторых множеств и не ограничены никакими условиями.

К началу ХХ века стройное здание теории множеств стало давать трещины. Привычные рассуждения перестали казаться безупречными ввиду обнаружившихся противоречий – антиномий теории множеств. Это привело к пересмотру основных концепций теории – содержания самого понятия множества, принципов формирования множеств и т.д. Попытки разрешить противоречия стимулировали развитие аксиоматической теории множеств. Приведём примеры теоретико-множественных антиномий.

Антиномия Рассела . Если– некоторое множество, то, как правило,
т.е.не содержит себя в качестве элемента. Однако если, скажем,– множество всех множеств, то
Обозначим черезсовокупность всех таких множеств
что
Содержит ли множествосебя в качестве элемента? Если
то для множестваусловие
не соблюдается; значит,
Если же
тоудовлетворяет условию
значит,
Итак, оба предположения,
и
приводят к противоречию.

В качестве одного из путей разрешения этого парадокса было предложено не считать способ формирования множества корректным. Такая точка зрения серьёзно отличалась от представлений “наивной” теории множеств, где считалось, что всякое чётко определённое правило позволяет сформировать множество. Вопрос о том, какие правила следует считать чётко определёнными, а какие нет, является трудным и не имеет к настоящему времени удовлетворительного ответа. Кроме того, следует, по-видимому, запретить множества
удовлетворяющие соотношениям вида

и т.д., а также убывающие цепочки вида

Антиномия “деревенский парикмахер” является вариантом парадокса Рассела. Предположим, что в некоторой деревне поселился парикмахер, который решилбрить всех, кто не бреется сам. Должен ли он брить самого себя? Если да, то значит, он не бреется сам, поэтому он себя не бреет – противоречие. Если нет, то он сам не бреется, поэтому он должен себя брить, и мы опять получаем противоречие.

В этом парадоксе условие “брить всех, кто не бреется сам” является противоречивым, а потому невыполнимым. Природу этой внутренней противоречивости нельзя считать выясненной до конца. Ещё менее ясным кажется ответ на вопрос, какие условия являются противоречивыми, а какие нет.

Антиномия Кантора . Пусть
– множество всех множеств, а
– множество всех его подмножеств. Так как
содержит все множества, то
поэтому
Однако по теореме Кантора
– противоречие.

В отличие от предыдущих антиномий, в которых участвовали лишь самые простейшие понятия теории множеств, в антиномии Кантора присутствуют более сложные понятия: множество всех подмножеств, отображение, взаимно однозначное соответствие. Этого парадокса можно избежать, если запретить использование “множества всех множеств”. В тех аксиоматических системах, где допускается класс всех множеств , теорема Кантора доказывается в более слабой форме.

Примером логического парадокса является парадокс лжеца.

Антиномия Эвбулида (илипарадокс лжеца ). Предположим, что некоторый субъект произносит фразу:“высказывание, которое я сейчас произношу, ложно” . Истинно это высказывание или ложно? Если оно истинно, то субъект сказал правду, а значит, это высказывание ложно. Если же оно ложно, то аналогичные рассуждения показывают, что оно истинно.

Один из путей выхода из создавшегося положения – признать, что не про всякое суждение можно сказать, истинно оно или ложно.

Преодолеть теоретико-множественные антиномии можно созданием строгой аксиоматической теории. Вопрос о непротиворечивости создаваемой аксиоматической теории, за редким исключением, является трудным и достаточно тонким (исключение, например, составляет исчисление высказываний, для которого вопрос о непротиворечивости был решён в предыдущей главе сравнительно просто). До сих пор в аксиоматике теории множеств Цермело – Френкеля, излагаемой ниже, противоречий обнаружено не было. Однако это обстоятельство лишь придаёт нам уверенность в непротиворечивости теории, но не служит доказательством непротиворечивости. Часто непротиворечивость какой-либо теории выводят из непротиворечивости другой теории, вызывающей меньшее сомнение. Например, непротиворечивость геометрии Лобачевского (утверждающей, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную) может быть доказана, если принять в качестве факта непротиворечивость евклидовой геометрии. Аналогичным образом из непротиворечивости теории множеств можно вывести непротиворечивость теории действительных чисел.