Что такое структуры данных в программировании. Типы и структуры данных. Что включает в себя понятие структуры данных

Тема этой статьи снова касается теории программирования , поэтому придется прибегнуть к различным классификациям и оперировать математическими терминами. Структуры данных – это практически первое, о чем рассказывают в ходе учебных . Оценка сложности алгоритмов – второе. Может показаться, что эти два вопроса мало связаны, но это не так, и по ходу повествования станет ясно почему. Я не буду углубляться в детали, поскольку практика показывает, что в процессе приобретения опыта в в голове остается только самое важное. По-моему, так происходит в любой сфере деятельности. Я постараюсь изложить то, что осталось по этим вопросам в голове у меня.

Классификация структур данных

Структура данных – это форма хранения и представления информации. Определение весьма расплывчато, поэтому специалисты используют различные формы классификации и уточнений. Структуры данных бывают простыми и сложными: представляют атомарную единицу информации или набор однотипных данных. Простые структуры данных характеризуются , например, целочисленный, вещественный, логический, текстовый тип и т.д. Сложные структуры данных делятся на динамические и статические наборы. Динамические в процессе своего жизненного цикла позволяют изменять свой размер (добавлять и удалять элементы), а статические - нет. И наконец, по организации взаимосвязей между элементами сложных структур данных существует следующая классификация:

Линейные
- Массив
- Список
- Связанный список
- Очередь
- Хэш-таблица

Иерархические

Двоичные деревья
N-арные деревья
Иерархический список

Сетевые

Простой граф
Ориентированный граф

Табличные

Таблица реляционной базы данных
Двумерный массив

Другие

Приведенная классификация далеко не полная. Элементами сложных структур данных могут выступать как экземпляры простых, так и экземпляры сложных структур данных, например структура данных лес – это список непересекающихся деревьев. Теперь постараюсь дать краткое описание перечисленным классам сложных структур данных. Первый уровень классификации построен на основе различий в способе адресации и поиска отдельных элементов в наборе сложной структуры данных.

Линейные структуры данных

Элемент линейной структуры данных характеризуется порядковым номером или индексом в линейной последовательности элементов.

Массив – это в статическая линейная структура однотипных данных, оптимизированная для операций поиска элемента по его индексу. Однозначное местоположение элемента в памяти обеспечивается именно однотипностью элементов в массиве и определяется произведением его индекса на размер памяти, занимаемой одним элементом.

Линейный массив.
Адрес(элемент(index)) = размер_ячейки * index.

Список – это динамическая линейная структура данных, в которой каждый элемент ссылается либо только на предыдущий – однонаправленный линейный список , либо на предыдущий и следующий за ним – двунаправленный линейный список . Достоинство этой структуры данных, помимо возможности изменять размер, - это простота реализации. Также, благодаря наличию ссылок, каждый элемент в списке, в отличие от массива, может занимать разный объем памяти. Адрес первого элемента в линейном списке однозначно определяется адресом самого списка.

Связанный список – это вариант обычного линейного списка, оптимизированный для операций добавления и удаления элементов. Оптимизация заключается в том, что элементы связанного списка не обязаны в памяти располагаться друг за другом. Порядок элементов определяется ссылкой на первый элемент (не обязан быть в самом начале выделенной для списка памяти) и последовательностью ссылок на остальные элементы списка.

Связанный список.

Стек – это динамическая линейная структура данных, для которой определены всего две операции изменения набора элементов: добавление элемента в конец и удаление последнего элемента. Еще говорят, что стек реализует принцип LIFO (Last in, First Out) – последним пришел и первым ушел. Например, в ходе выполнения программного кода, вычислительная машина при необходимости вызвать процедуру или функцию сначала заносит указатель на место ее вызова в стек, чтобы при завершении выполнения ее кода корректно вернуться к следующей после точки вызова инструкции. Такая структура данных называется стеком вызовов подпрограмм.

Стек.

Очередь – очень похожая не стек, динамическая структура данных, с той лишь разницей, что она реализует принцип FIFO (First in, First out) – первым пришел и первым ушел. За примерами в реальной жизни, как понятно из названия, далеко ходить не надо. В программировании с помощью очередей, например, обрабатывают события пользовательского интерфейса, обращения клиентов к и прочие информационные запросы.

Очередь.

Хэш-таблица – наиболее сложный из динамических линейных структур данных тип. Хэш-таблица оптимизирована для быстрого поиска элементов за счет вычисления адреса элемента, как значения хэш-функции. Аргументом хэш-функции является некий ассоциированный с элементом ключ, например, его порядковый номер. Чтобы гарантировать уникальные значения хэш-функции для уникальных значений ключа (исключить коллизии) хэш-таблица, помимо хитрых алгоритмов, также щедро использует оперативную память. Применение хэш-таблиц должно быть оправдано и тщательно продумано.

Иерархические структуры данных

Элемент в иерархической структуре данных характеризуется ссылкой на вышестоящий в иерархии элемент (или ссылками на нижестоящие элементы) и (необязательно) порядковым номером в линейной последовательности своего уровня (иерархические списки).

Деревья – динамическая иерархическая структура данных, представленная единственным корневым узлом и его потомками. Максимальное количество потомков каждого узла и определяет размерность дерева . Отдельно выделяют двоичные или бинарные деревья , поскольку они используются в алгоритмах сортировки и поиска: каждый узел двоичного дерева поиска соответствует элементу из некоторого отсортированного набора, все его “левые” потомки – меньшим элементам, а все его “правые” потомки – большим элементам. Каждый узел в дереве однозначно идентифицируется последовательностью неповторяющихся узлов от корня и до него – путем. Длина пути и является уровнем узла в иерархии дерева. Для двоичных или бинарных деревьев выделяют следующие виды рекурсивного обхода всех его элементов (в фигурных скобках указан порядок посещения элементов каждого узла, начиная с корня):

прямой или префиксный
{узел, левое поддерево, правое поддерево};

обратный или постфиксный
{левое поддерево, правое поддерево, узел};

симметричный или инфиксный
{левое поддерево, узел, правое поддерево};

Чтобы вывести элементы в порядке их возрастания, дерево поиска следует обойти в симметричном порядке. Чтобы элементы оказались в обратном порядке, в процессе обхода необходимо поменять порядок посещения поддеревьев.

Двоичное (бинарное) дерево.

Иерархический список – симбиоз линейного списка и дерева. Каждый элемент списка может быть также началом списка следующего подуровня иерархии. Пример иерархического списка – структура интернет форумов: последовательность сообщений образует линейный список, в то время как сообщения, являющиеся ответами на другие сообщения, порождают новые потоки обсуждения.

Иерархический список.

Сетевые структуры данных

Элемент в сетевой структуре данных характеризуется набором связей с другими - соседними элементами. В таких структурах данных ни начальный, ни корневой элементы явно не выделены.

Граф – динамическая сетевая структура данных, представленная набором вершин и ребер – связей между вершинами. Каждая вершина может быть связана с любым числом других вершин или с самой собой. Здесь уже нет никакой четкой иерархии. Если рассматривать узлы дерева, как вершины графа, а связи между узлами дерева разных уровней иерархии, как ребра графа, то само дерево можно считать графом, не содержащим циклов или ациклическим графом. Если для каждого ребра графа определено направление, то это ориентированный граф. Помимо направления каждое ребро графа может иметь свой вес. С помощью графа, например, моделируются транспортные сети и решаются задачи на оптимизацию транспортных потоков. Загруженность или, наоборот, пропускная способность транспортных магистралей задается весом соответствующих ребер.

Граф.

Ориентированный граф.

Элемент в табличной структуре данных характеризуется двумерным индексом: индексом строки и индексом столбца, на пересечении которых он находится. Примерами табличных структур данных являются и таблицы .

Оценка сложности алгоритмов

Под оценкой сложности алгоритмов подразумевают не интеллектуальные усилия, которые затратили авторы при их разработке, а зависимость количества элементарных операций, выполняемых вычислительной машиной от объема обрабатываемой информации. Например, как будет зависеть число сравнений двух чисел от длины исходной последовательности в процессе работы алгоритма сортировки. Я намеренно немного сузил определение, поскольку в дальнейшем речь будет идти только о количестве элементарных операций. На самом деле сложность алгоритма определяется не только количеством операций, но и объемом привлеченных для решения задачи вычислительных ресурсов, и в первую очередь, оперативной памяти. Чем проще алгоритм, тем он, скорее всего, дольше работает. Сложные и быстрые алгоритмы зачастую используют вспомогательные структуры данных, и, как следствие, расходуют дополнительную память. Закон сохранения энергии или “за все надо платить”. Один из примеров “предельной оптимизации” был рассмотрен ранее – это хэш-таблица. Я лично не знаю, как устроена хэш-таблица и как выглядят хэш-функции (догадываюсь, что не просто), но зато время поиска элементов по ключу практически не зависит от размера таблицы. Далее немного теории.

Оценку сложности алгоритмов проводят с использованием аппарата математического асимптотического анализа и выведения асимптотической оценки сложности.

Асимптотическая оценка сложности обозначается греческой буквой Θ (тета).

f(n) = Θ(g(n)), если существуют c1, c2>0 и n0 такие, что c1*g(n)n0.

Функция g(n) является асимптотически точной оценкой сложности алгоритма - функции f(n), приведенное неравенство называется асимптотическим равенством, а само обозначение Θ символизирует множество функций, которые растут “так же быстро”, как и функция g(n) – т.е. с точностью до умножения на константу. Как следует из приведенного неравенства, оценка Θ являет собой одновременно и верхнюю и нижнюю оценки сложности. Не всегда есть возможность получить оценку в таком виде, поэтому верхнюю и нижнюю оценки иногда определяют отдельно.

Верхняя оценка сложности обозначается греческой буквой Ο (омикрон), и является множеством функций, которые растут не быстрее, чем g(n).

f(n)= Ο(g(n)), если существует c>0 и n0 такие, что 0n0.

Нижняя оценка сложности обозначается греческой буквой Ω (омега), и является множеством функций, которые растут не медленнее, чем g(n).

f(n)= Ω(g(n)), если существует c>0 и n0 такие, что 0n0.

Как следствие: асимптотическая оценка существует только в том случае, если совпадают нижняя и верхняя оценки сложности алгоритма. В практике анализа алгоритмов чаще всего под оценкой сложности понимают верхнюю оценку сложности. Это вполне логично, поскольку наиболее важна оценка времени, за которое алгоритм гарантировано закончит работу, а не время, в пределах которого он точно не завершится.

Работа с линейными структурами данных

Ну и в заключении я приведу оценки сложности основных операций с линейными структурами данных, а именно добавление, удаление и поиск элемента по индексу или ключу. Элементарными операциями, в данном случае, являются операции сравнения, перебора, вычисления адреса или перестановки элементов набора структуры данных. В сводной таблице, помимо верхней оценки сложности, также приведены соответствующие перечисленным структурам данных компоненты библиотеки . Таким образом, основные линейные структуры данных уже есть в готовом виде и доступны всем разработчикам программного обеспечения на платформе .

Первоначально процесс программирования предусматривал запись программистом всех алгоритмов непосредственно на машинном языке. Такой подход усугублял и без того трудную задачу разработки алгоритмов и слишком часто приводил к ошибкам, которые необходимо было обнаружить и исправить [процесс, известный как отладка] до того, как работу можно было считать законченной.

Первым шагом на пути к облегчению задачи программирования был отказ от использования цифр для записи команд и операндов непосредственно в той форме, в которой они используются в машине. С этой целью при разработке программ стали широко применять мнемоническую запись различных команд вместо их шестнадцатеричного представления. Например, вместо цифрового кода команды загрузки регистра программист мог теперь написать LOD, а вместо кода команды копирования содержимого регистра в память мог использовать мнемоническое обозначение STO. Для записи операндов были разработаны правила, в соответствии с которыми программист мог присваивать некоторым областям памяти описательные имена [их часто называют идентификаторами] и использовать их при записи команд программы вместо адресов соответствующих ячеек памяти. Такие идентификаторы обычно называют переменными. Это подчеркивает, что, изменяя значение, размещенное в данном участке памяти, мы изменяем значение, связанное с идентификатором, присвоенным этому участку по ходу выполнения программы.

При объявлении в программе переменной обычно одновременно определяют и их тип. Тип данных определяет как интерпретацию конкретных данных, так и операции, которые можно с ними выполнять. К типам данных относятся Integer [целый], Real [действительный], Character [символьный] и Boolean [логический].

Тип Integer используется для обозначения числовых данных, являющихся целыми числами. В памяти они чаще всего представляются в двоичном дополнительном коде. С данными типа Integer можно выполнять обычные арифметические операции и операции сравнения.

Тип Real предназначен для представления числовых данных, которые могут содержать нецелые величины. В памяти они обычно хранятся как двоичные числа с плавающей точкой. Операции, которые можно выполнять с данными Real, аналогичны операциям, выполняемым с данными типа Integer. Однако, что манипуляции, которые следует выполнить, чтобы сложить два элемента данных типа Real, отличаются от манипуляций, необходимых для выполнения действий с переменными типа Integer.

Тип Character используется для данных, состоящих из символов, которые хранятся в памяти в виде кодов ASCII или UNICODE. Данные этого типа можно сравнивать друг с другом [определять, какой из двух символов предшествует другому в алфавитном порядке]; проверять, является ли одна строка символов другой, а также объединять две строки в одну, более длинную строку, дописывая одну из них после другой [операция конкатенации].

Boolean относится к данным, которые могут принимать только два значения True [истина] и False [ложь]. Примером таких данных может служить результат операции сравнения двух чисел. Операции с данными типа Boolean включает проверку, является ли текущее значение переменной True или False.

Основная память машины организована в виде отдельных ячеек с последовательно увеличивающимися адресами. Однако часто эти ячейки используются как основа для реализации иных способов размещения данных. Например, текст обычно рассматривается как длинная строка символов, тогда как информация о продажах может рассматриваться как прямоугольная таблица с числовыми значениями, каждое из которых представляет число сделок, заключенных определенным работником в определенный день. Задача состоит в том, чтобы предоставить пользователю средства, позволяющие оперировать подобными абстрактными структурами, вместо того чтобы вникать в детали истинной организации данных в основной памяти машины. Для правильного использования компьютера необходимо хорошо знать структурные взаимосвязи между данными, основные методы представления структур внутри компьютера, а также методы работы с ними. Для связей между данными в компьютере используются следующие информационные структуры: массив, запись, список, дерево, стек, очередь.

Массивы

Массив - это структура, содержащая в себе несколько однотипных элементов. Для упорядочивания элементов массива используются индексы. Индексы записываются в скобках после имени массива. Массив с одним индексом называется одномерным, с двумя - двумерным и т.д.

Запись

Запись - это структура, состоящая из элементов не обязательно одного типа. Отдельные элементы записи называют полями. Поле в свою очередь тоже может быть записью.

record Student (
FirstName,
LastName,
Group
)

Списки

Список - это множество записей, каждая из которых содержит специальное поле - указатель . Указатель связывает запись с какой-либо другой записью или содержит значений Null, которое говорит о том, что значение указателя не определено.

Записи в односвязном списке имеют по одному указателю, при этом они связанны в цепочку:

Стрелка на рисунке говорит о содержимом указателя, а слово Data обозначает совокупностей полей, в которых хранятся данные. Список можно организовать с помощью двумерного массива, все элементы которого с первым индексом, равным 0, предназначены для хранения данных, а элементы с первым индексом, равным 1, являются указателями.

В данном списке записи, содержащие буквы английского алфавита, выстроены в алфавитном порядке. Первая запись в списке содержит символ "A", вторая - "B" и т.д.

Для работы со списком нужно уметь выполнять три основных операции:

Pass() - обход или перемещение вдоль списка;
Add() - добавление новой записи в список;
Delete() - удаление записи из списка.

Кроме операций для работы со списком нужны еще две переменные:

переменная Head, в которой хранится информация о первой записи в списке
переменная Current, которая указывает на текущую запись в списке

В таблице сведены описания некоторых операций над списком, пример реализации которого приведен выше.

Название операции	Псевдокод
Перейти вдоль списка на один шаг	function Pass(Current) { if (M Null) then Current:=M; return (Current); }
	function Add(Current, New) { M:= M; M:=New; return; }
Добавить в список запись, на которую указывает переменная New	function Delete(Current) { if (M Null) then M:= M]; return; }

Записи в двусвязном списке связаны между собой в цепочку, но при этом имеют два поля-указателя. Одно из них указывает на предыдущий элемент в списке, другое - на следующий элемент. Такая структура позволяет перемещаться по списку в двух направлениях: вперед и назад.

Кольцевым называется список, последняя запись которого указывает на первую. В этих списках отсутствует запись с пустым указателем.

Дерево - это разветвленный список, каждая запись которого может содержать несколько указателей. Записи, входящие в дерево, называются узлами. Узлы, у которых все указатели пустые, называются листьями. Верхний начальный узел дерева называется корневым узлом. Во многих задачах достаточно использовать двоичные [бинарные] деревья, узлы которых имеют не более двух указателей.

Пример. Требуется вычислить математическое выражение (3+7)*(2/(3-1)). Представим это выражение в виде дерева:

Каждый узел этого дерева представляет собой запись следующего вида:

record Node (
Operation
Number
LeftPointer
RightPointer
)

Листья дерева содержат числа, остальные узлы - символы операций.

Реализовав описанное дерево на двумерном массиве, мы получим следующую картину:

Для вычисления значения дерева нужно вычислить значения правого и левого поддеревьев, а потом над ними выполнить результирующую операцию. Псевдокод алгоритма решающего поставленную задачу будет иметь вид:

function Calculate (Current) {
if (M=Null) then
Result:= M;
else {
R1:=Calculate(M);
R2:=Calculate(M);
Result:=R1(M)R2;
}
return (Result);
}

Стек - это структура данных, организованная по принципу "последним пришел - первым ушел" . Доступ к данным, хранящимся в стеке, осуществляется через вершину. Данные помещаются в стек последовательно Элемент, помещенный в стек самым первым, оказывается на дне и для того чтобы его извлечь из стека, необходимо сначала извлечь все данные, которые были помещены в стек позже.

При работе со стеком возможны две аварийные ситуации: попытка прочитать данные из пустого стека; попытка занести в стек элемент, когда количество элементов в стеке достигло максимально допустимого количества.

Очередь - это структура данных, организованная по принципу "первым пришел - первым ушел" . В очереди переменное количество данных. При постановке в очередь данные добавляются в хвост, при извлечении берутся из головы.

Хеш-таблица

Хеширование - это метод, обеспечивающий прямой доступ к записям без использования каких-либо дополнительных структур. Процесс можно кратко описать следующим образом. Пространство, где хранятся данные, делится на несколько сегментов. Записи распределяются по этим сегментам согласно некоторому алгоритму, называемому алгоритмом хеширования, преобразующему значение поля ключа в номер сегмента. Каждая запись хранится в сегменте, определяемом этим процессом. Следовательно, запись можно извлечь, применив алгоритм хеширования к значению ее поля ключа и считав записи соответствующего сегмента. Структура данных, сконструированная таким способом, называется хеш-таблицей.

Например, если необходимо организовать хеш-таблицу для хранения прописных букв английского алфавита, то в качестве ключей можно выбрать ASCII-коды символов, а алгоритм хеширования будет отрезать младшие пять битов и формировать на их основе индекс элемента массива для хранения символа:

В общем случае, алгоритм хеширования должен по значению ключа производить значение индекса в границах массива и равномерно распределять ключи по элементам массива. Невыполнение последнего требования приводит к возникновению ситуаций, когда несколько записей попадает в один и тот же сегмент. Данные ситуации называются коллизиями.

Перевод

Конечно, можно быть успешным программистом и без сакрального знания структур данных, однако они совершенно незаменимы в некоторых приложениях. Например, когда нужно вычислить кратчайший путь между двумя точками на карте, или найти имя в телефонной книжке, содержащей, скажем, миллион записей. Не говоря уже о том, что структуры данных постоянно используются в спортивном программировании. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Очередь

Итак, поздоровайтесь с Лупи!

Лупи обожает играть в хоккей со своей семьей. И под “игрой”, я подразумеваю:

Когда черепашки залетают в ворота, их выбрасывает на верх стопки. Заметьте, первая черепашка, добавленная в стопку - первой ее покидает. Это называется Очередь . Так же, как и в тех очередях, что мы видим в повседневной жизни, первый добавленный в список элемент - первым его покидает. Еще эту структуру называют FIFO (First In First Out).

Как насчет операций вставки и удаления?

Q = def insert(elem): q.append(elem) #добавляем элемент в конец очереди print q def delete(): q.pop(0) #удаляем нулевой элемент из очереди print q

Стек

После такой веселой игры в хоккей, Лупи делает для всех блинчики. Она кладет их в одну стопку.

Когда все блинчики готовы, Лупи подает их всей семье, один за одним.

Заметьте, что первый сделанный ею блинчик - будет подан последним. Это называется Стек . Последний элемент, добавленный в список - покинет его первым. Также эту структуру данных называют LIFO (Last In First Out).

Добавление и удаление элементов?

S = def push(elem): #Добавление элемента в стек - Пуш s.append(elem) print s def customPop(): #удаление элемента из стека - Поп s.pop(len(s)-1) print s

Куча

Вы когда-нибудь видели башню плотности?

Все элементы сверху донизу расположились по своим местам, согласно их плотности. Что случится, если бросить внутрь новый объект?

Он займет место, в зависимости от своей плотности.

Примерно так работает Куча .

Куча - двоичное дерево. А это значит, что каждый родительский элемент имеет два дочерних. И хотя мы называем эту структуру данных кучей, но выражается она через обычный массив.
Также куча всегда имеет высоту logn, где n - количество элементов

На рисунке представлена куча типа max-heap, основанная на следующем правиле: дочерние элементы меньше родительского. Существуют также кучи min-heap, где дочерние элементы всегда больше родительского.

Несколько простых функций для работы с кучами:

Global heap global currSize def parent(i): #Получить индекс родителя для i-того элемента return i/2 def left(i): #Получить левый дочерний элемент от i-того return 2*i def right(i): #Получить правый дочерний элемент от i-того return (2*i + 1)

Добавление элемента в существующую кучу
Для начала, мы добавляем элемент в самый низ кучи, т.е. в конец массива. Затем мы меняем его местами с родительским элементом до тех пор, пока он не встанет на свое место.

Алгоритм:

Добавляем элемент в самый низ кучи.
Сравниваем добавленный элемент с родительским; если порядок верный - останавливаемся.
Если нет - меняем элементы местами, и возвращаемся к предыдущему пункту.

Код:

Def swap(a, b): #меняем элемент с индексом a на элемент с индексом b temp = heap[a] heap[a] = heap[b] heap[b] = temp def insert(elem): global currSize index = len(heap) heap.append(elem) currSize += 1 par = parent(index) flag = 0 while flag != 1: if index == 1: #Дошли до корневого элемента flag = 1 elif heap > elem: #Если индекс корневого элемента больше индекса нашего элемента - наш элемент на своем месте flag = 1 else: #Меняем местами родительский элемент с нашим swap(par, index) index = par par = parent(index) print heap
Максимальное количество проходов цикла while равно высоте дерева, или logn, следовательно, трудоемкость алгоритма - O(logn).

Извлечение максимального элемента кучи
Первый элемент в куче - всегда максимальный, так что мы просто удалим его (предварительно запомнив), и заменим самым нижним. Затем мы приведем кучу в правильный порядок, используя функцию:

MaxHeapify().

Алгоритм:

Заменить корневой элемент самым нижним.
Сравнить новый корневой элемент с дочерними. Если они в правильном порядке - остановиться.
Если нет - заменить корневой элемент на одного из дочерних (меньший для min-heap, больший для max-heap), и повторить шаг 2.

Def extractMax(): global currSize if currSize != 0: maxElem = heap heap = heap #Заменяем корневой элемент - последним heap.pop(currSize) #Удаляем последний элемент currSize -= 1 #Уменьшаем размер кучи maxHeapify(1) return maxElem def maxHeapify(index): global currSize lar = index l = left(index) r = right(index) #Вычисляем, какой из дочерних элементов больше; если он больше родительского - меняем местами if l <= currSize and heap[l] > heap: lar = l if r <= currSize and heap[r] > heap: lar = r if lar != index: swap(index, lar) maxHeapify(lar)
И вновь максимальное количество вызовов функции maxHeapify равно высоте дерева, или logn, а значит трудоемкость алгоритма - O(logn).

Делаем кучу из любого рандомного массива
Окей, есть два пути сделать это. Первый - поочередно вставлять каждый элемент в кучу. Это просто, но совершенно неэффективно. Трудоемкость алгоритма в этом случае будет O(nlogn), т.к. функция O(logn) будет выполняться n раз.

Более эффективный способ - применить функцию maxHeapify для ‘под-кучи ’, от (currSize/2) до первого элемента.

Сложность получится O(n), и доказательство этого утверждения, к сожалению, выходит за рамки данной статьи. Просто поймите, что элементы, находящиеся в части кучи от currSize/2 до currSize, не имеют потомков, и большинство образованных таким образом ‘под-куч’ будут высотой меньше, чем logn.

Def buildHeap(): global currSize for i in range(currSize/2, 0, -1): #третий агрумент в range() - шаг перебора, в данном случае определяет направление. print heap maxHeapify(i) currSize = len(heap)-1

Действительно, зачем это все?

Кучи нужны для реализации особого типа сортировки, называемого, как ни странно, “сортировка кучей ”. В отличие от менее эффективных “сортировки вставками” и “сортировки пузырьком”, с их ужасной сложностью в O(n 2), “сортировка кучей” имеет сложность O(nlogn).

Реализация до неприличия проста. Просто продолжайте последовательно извлекать из кучи максимальный (корневой) элемент, и записывайте его в массив, пока куча не опустеет.

Def heapSort(): for i in range(1, len(heap)): print heap heap.insert(len(heap)-i, extractMax()) #вставляем максимальный элемент в конец массива currSize = len(heap)-1
Чтобы обобщить все вышесказанное, я написала несколько строчек кода, содержащего функции для работы с кучей, а для фанатов ООП оформила все в виде класса .

Легко, не правда ли? А вот и празднующая Лупи!

Хеш

Лупи хочет научить своих детишек различать фигуры и цвета. Для этого она принесла домой огромное количество разноцветных фигур.

Через некоторое время черепашки окончательно запутались

Поэтому она достала еще одну игрушку, чтобы немного упростить процесс

Стало намного легче, ведь черепашки уже знали, что фигуры рассортированы по форме. А что, если мы пометим каждый столб?

Черепашкам теперь нужно проверить столб с определенным номером, и выбрать из гораздо меньшего количества фигурок нужную. А если еще и для каждой комбинации формы и цвета у нас отдельный столб?

Допустим, номер столба вычисляется следующим образом:

Фио летовый тре угольник
ф+и+о+т+р+е = 22+10+16+20+18+6 = Столб 92

Кра сный пря моугольник
к+р+а+п+р+я = 12+18+1+17+18+33 = Столб 99

Мы знаем, что 6*33 = 198 возможных комбинаций, значит нам нужно 198 столбов.

Назовем эту формулу для вычисления номера столба - Хеш-функцией .

Код:
def hashFunc(piece): words = piece.split(" ") #разбиваем строку на слова colour = words shape = words poleNum = 0 for i in range(0, 3): poleNum += ord(colour[i]) - 96 poleNum += ord(shape[i]) - 96 return poleNum
(с кириллицей немного сложнее, но я оставил так для простоты . - прим.пер. )

Теперь, если нам нужно будет узнать, где хранится розовый квадрат, мы сможем вычислить:
hashFunc("розовый квадрат")

Это пример хеш-таблицы, где местоположение элементов определяется хеш-функцией.
При таком подходе время, затраченное на поиск любого элемента, не зависит от количества элементов, т.е. O(1). Другими словами, время поиска в хеш-таблице - константная величина.

Ладно, но допустим мы ищем “кар амельный пря моугольник” (если, конечно, цвет “карамельный” существует).

HashFunc("карамельный прямоугольник")
вернет нам 99, что совпадает с номером для красного прямоугольника. Это называется “Коллизия ”. Для разрешения коллизии мы используем “Метод цепочек ”, подразумевающий, что каждый столб хранит список, в котором мы ищем нужную нам запись.

Поэтому мы просто кладем карамельный прямоугольник на красный, и выбираем один из них, когда хеш-функция указывает на этот столб.

Ключ к хорошей хеш-таблице - выбрать подходящую хеш-функцию. Бесспорно, это самая важная вещь в создании хеш-таблицы, и люди тратят огромное количество времени на разработку качественных хеш-функций.
В хороших таблицах ни одна позиция не содержит более 2-3 элементов, в обратном случае, хеширование работает плохо, и нужно менять хеш-функцию.

Еще раз, поиск, не зависящий от количества элементов! Мы можем использовать хеш-таблицы для всего, что имеет гигантские размеры.

Хеш-таблицы также используются для поиска строк и подстрок в больших кусках текста, используя алгоритм Рабина-Карпа или алгоритм Кнута-Морриса-Пратта , что полезно, например, для определения плагиата в научных работах.

На этом, думаю, можно заканчивать. В будущем я планирую рассмотреть более сложные структуры данных, например Фибоначчиеву кучу и Дерево отрезков . Надеюсь, этот неформальный гайд получился интересным и полезным.

Переведено для Хабра запертым на

ТИПЫ И СТРУКТУРЫ ДАННЫХ

Методические указания по дисциплине «Алгоритмы и структуры данных»

Составитель О.Л. Чагаева

Подготовлены кафедрой «Программные средства и системы» ФУО УрФУ

Введение

В окружающем нас мире находится огромное разнообразие предметов, объектов, явлений, процессов, отображаемых посредством информации.

Каждая представляемая информацией сущность (объект, явление) имеет ряд характерных для нее свойств (черт, признаков, параметров, характеристик, моментов). Например, свойствами материала являются его вес, габариты, сорт, цена, номенклатурный номер и др. Свойствами-признаками, характеризующими такую сущность, как организация-покупатель, являются наименование, ведомственная принадлежность, адрес, номер расчетного счета в Госбанке и др.

Свойства физической сущности отображаются с помощью переменных величин, являющихся элементарными единицами информации и называемых реквизитами.

Реквизит - это логически неделимый элемент любой сложной информационной совокупности, соотносимый с определенным свойством отображаемого информацией объекта или процесса.

В обрабатываемой информации реквизиты представляются как бы «атомами», из которых компонуются все остальные, более сложные по структуре образования информации. И наоборот, единицы информации любой сложности можно последовательным разложением на составляющие компоненты в конечном итоге расчленить до таких составляющих - переменных величин, которые не поддаются дальнейшему логическому разбиению. Такие элементарные компоненты и будут реквизитами.

Другими часто встречающимися в литературе синонимами реквизита являются элемент, поле, терм, признак иатрибут .

У каждого реквизита есть имя. При алгоритмизации и программировании с целью компактного написания чаще всего применяют сокращенные имена-идентификаторы, причем конкретные реализации обычно ограничивают их длину, алфавит и сферу действия. В ряде случаев допускается также употребление синонимов наименований реквизита, в том числе таких полных наименований, которые используются только во внешних документах, например, в качестве заголовков граф отчетов.

Каждому реквизиту присуще некоторое конечное множество значений в зависимости от характеристики того свойства объекта (явления), которое информационно отображает данный реквизит. Это множество, именуемое классом значений, одно, например, для параметра «температура больного» и другое - для признака «пол больного».

Значение реквизита, таким образом, есть в каждый заданный момент времени одна из позиций класса значений данного реквизита, отображающая, как предполагается, соответствующее состояние (из множества состояний) того свойства объекта (явления), которое характеризует реквизит. Так, текущим значением реквизита «температура больного» может быть 37,4°, а реквизита «пол больного» - «мужской». Другими словами, значение реквизита используется для представления значения соответствующего свойства сущности.

Существует ряд типов реквизитов в зависимости от видов значений, которые они могут иметь. Наиболее распространенными типами реквизитов, однако, являются числовой и текстовой .

Реквизиты числового типа характеризуют количественные свойства сущностей, полученные в результате подсчета натуральных единиц, измерения, взвешивания, вычисления на основе других количественно-суммовых данных и т. п. Поэтому значениями таких реквизитов служат числа со всеми свойственными им чертами и атрибутами.

В конкретных представлениях фигурирует несколько типов числовых величин в зависимости от класса чисел, системы счисления, фиксации десятичной запятой, упаковки и других; накладываются ограничения на диапазон чисел, форматы их представления на вводевыводе и различных носителях даже в рамках одной реализации. Поскольку все реквизиты числового типа активно используются в различных арифметических операциях, а большинство из них вообще создается в результате осуществления таких операций, указанные отличия и ограничения следует постоянно иметь в виду, так же как и необходимость соответствующего аппарата преобразования.

Реквизиты текстового типа выражают, как правило, качественные свойства сущностей и характеризуют обстоятельства, при которых имел место изучаемый процесс и были получены те или

иные числовые значения. Поэтому такие реквизиты называются признаками.

Значениями признаков являются последовательности символов (букв, цифр, различных знаков и специальных обозначений), называемые строками, или текстом.

Полный набор всевозможных попарно различимых символов данной информационной системы составляет ее алфавит, зависящий от характера задач, применяемых технических средств обработки данных и других факторов. Причем на различных стадиях обработки и даже в рамках одной вычислительной системы возможно применение различных алфавитов.

Размер алфавита (число разнообразных символов, которые могут быть в одном разряде величины) и его состав (набор) имеют прямое отношение к решению следующих проблем:

кодирования и дешифровки,

компактной записи значений единиц информации,

эффективного хранения данных, ускорения их поиска, передачи, ввода в вычислительные машины,

получения от машин информации в наиболее удобной для потребления форме,

снижения затрат на всевозможные перезаписи.

Поэтому выбору алфавита придается немаловажное значение.

Для использования информации, в алгоритмизации и программировании очень большое значение уделяется таким понятиям, как тип и структура данного.

1. ТИПЫ ДАННЫХ

Вычислительный процесс на ЭВМ реализуется, как известно, с помощью программ и данных. Сама программа тоже относится к данным. Поэтому можно сказать, что данные описывают любую информацию, с которой может работать ЭВМ. При этом под информацией понимаются любые факты и знания об объектах реального мира, процессах и отношениях и связях между ними. Все данные характеризуются рядом атрибутов (признаков, реквизитов), в том числе значением.

Кроме значения, к таким признакам относится понятие «тип данного». Тип данного определяется множеством значений данного и набором операций, которые можно выполнять над этими значениями в соответствии с их известными свойствами. Следовательно, тип данного определяет те операции, которые допустимы над соответствующим значением.

В языках программирования обычно используются такие распространенные типы данных, как целые, вещественные, символьные, битовые, указатели и пр.

2. СТРУКТУРЫ ДАННЫХ

Особенностью данного того или иного типа является простота организации (неструктурированность).

Структура данных – это совокупность элементов данных, между которыми существуют некоторые отношения, причем элементами данных могут быть как простые данные (скаляры), так и структуры данных.

Таким образом, структуру можно определить следующим образом: S = (D, R), где D - множество элементов данных, R – множество отношений между элементами данных.

Все связи одного элемента данных с другими образуют элемент отношений, ассоциированный с соответствующим элементом данных.

Графическое изображение структуры должно отражать ее элементы данных и связи (отношения между ними), поэтому структуру удобно изображать в виде графа. При этом вершины графа можно интерпретировать как элементы данных, а отношениям между элементами данных соответствуют ориентированные дуги или неориентированное ребра (рис. 1).

Таким образом описанную и представленную структуру данных называют абстрактной или логической, так как она рассматривается без учета ее представления в машинной памяти. Но любая структура данных должна быть представлена в машинной памяти. Такая структура данных называется физической структурой, структурой хранения, внутренней структурой или структурой памяти.

Рис 1. Неориентированный (а) и ориентированный (б) граф

Таким образом, физическая структура данных отражает способ представления данных в машинной памяти.

В общем случае между логической и соответствующей ей физической структурой существует различие, степень которого зависит от самой структуры и особенностей той физической среды, в которой она должна быть отражена.

Например, с точки зрения языков программирования двумерный массив представляет собой прямоугольную таблицу, а в памяти – это линейная последовательность ячеек, в каждой из которых хранится значение одного из элементов массива, причем элементы массива упорядочены по строкам (или столбцам).

Разумеется, между логической и физической структурой должен существовать механизм, позволяющий отобразить логическую структуру в физическую.

Таким образом, каждую структуру данных можно характеризовать ее логическим (абстрактным) и физическим (конкретным) представлением, а также совокупностью операций на этих двух уровнях представления структуры (рис. 2).

Операции над логической структурой

Логическая структура данных

Операции над физической структурой

Физическая структура данных

Рис. 2. Отображение между логическим и физическим представлением структуры данных

2.1. Классификация структур данных

В зависимости от отсутствия или наличия явно заданных связей между элементами данных следует различать несвязанные структуры (векторы, массивы, строки, стеки, очереди) и связные структуры (связные списки).

Важные признак структуры – ее изменчивость – изменение числа элементов и/или связей между элементами структуры. Значение элемента данных не имеется в виду, так как в этом случае это свойство было бы характерно для всех структур данных за исключением, может быть, констант и данных, хранящихся в ПЗУ. По признаку изменчивости различают статические, полустатические и динамические структуры.

Важный признак структуры данных – характер упорядоченности ее элементов. По этому признаку структуры можно делить на линейно-упорядоченные, или линейные, и нелинейные.

В зависимости от характера взаимного расположения элементов в памяти линейные структуры можно разделить на структуры с последовательным распределением их элементов в памяти (векторы, строки, массивы, стеки, очереди) и структуры с произвольным связным распределением элементов в памяти (односвязные, двусвязные, циклически связанные, ассоциативные списки). Примером нелинейных структур являются многосвязные списки, древовидные структуры и графовые структуры общего вида.

2.2. Простейшие статические структуры

К простейшим структурам данных обычно относят векторы, массивы, записи, таблицы. Они характеризуются следующими свойствами:

постоянство структуры в течение всего времени ее существования;

смежность элементов и непрерывность области памяти, отводимой сразу для всех элементов структуры;простота и постоянство отношений между элементами

структуры, позволяющие исключить информацию об этих отношениях из области памяти, выделенной для элементов структуры, и хранить ее, например, в компактной форме в дескрипторах.

В силу этих свойств векторы, массивы, записи и таблицы принято считать статическими структурами.

2.2.1. Вектор

Вектор – это конечное упорядоченное множество простых данных или скаляров, одного и того же типа. С геометрической точки зрения вектор задает точку в многомерном пространстве, координатами которой служат значения элементов вектора.

Элементы вектора находятся друг с другом в единственно возможном отношении – отношении непосредственного следования. Строгая последовательность элементов вектора позволяет

пронумеровать их последовательными целыми числами – индексами. Логическая структура вектора полностью описывается числом и типом его элементов. Например, int array – целочисленный массив, состоящий из 10 элементов.

Важнейшая операция над вектором – доступ к его элементам. Как только организован доступ к элементу, над ним может быть выполнена любая операция, имеющая смысл для выбранного типа данных.

На логическом уровне для доступа к элементу вектора достаточно указать имя вектора и значение индекса соответствующего элемента. Например: array + array.

Физическая структура вектора – это последовательность одинаковых по длине участков памяти, называемых полями или слотами, каждый из которых предназначен для хранения одного элемента вектора. Поле может иметь размер минимально адресуемой ячейки памяти или соответствовать целой группе последовательных ячеек памяти.

Нередко физической структуре ставится в соответствие дескриптор или заголовок, который содержит информацию о данной физической структуре. Дескриптор необходим, например, в том случае, когда граничные размеры вектора становятся известны только на этапе выполнения программы.

Дескриптор тоже хранится в машинной памяти и представляет собой структуру, называемую записью. Для вектора дескриптор обычно хранит его имя, размер, значения граничных индексов, тип элемента, размер поля или слота, адрес первого элемента вектора (поля, хранящего этот элемент).

2.2.2. Массив

Массивом называется такой вектор, каждый элемент которого - вектор. В свою очередь, элементы вектора, являющегося элементом массива, также могут быть векторами. Процесс перехода от элемента к элементу этого элемента и так далее рано или поздно должен завершиться скаляром некоторого типа данных, причем этому типу должны соответствовать все скалярные элементы массива (рис. 3).

Рис. 3. Вид многомерного массива

На рис.3 представлен вид многомерного массива: в каждом узле решетки находится элемент массива. Таким образом, размерность его равна (3,3,2).

Как и для вектора, важнейшей элементарной операцией для массива является доступ к его элементу. На уровне логической структуры она осуществляется при помощи имени массива и упорядоченного набора индексов, однозначно идентифицирующих элемент массива. Например: array[i][j].

В отличие от вектора, для массива общего вида преобразование логической структуры в физическую имеет более сложный вид. Это преобразование выполняется путем процесса линеаризации, в ходе которого многомерная логическая структура массива отображается в одномерную физическую структуру. Эта физическая структура представляет собой линейно упорядоченную последовательность элементов массива. Таким образом, физическая структура многомерного массива аналогична физической структуре вектора.

Несмотря на это, дескриптор многомерного массива отличается от дескриптора вектора. Например, в нем должна хранится информация о размерности массива, способе упорядочения элементов (по строкам или столбцам).

2.2.3. Запись

Запись – это конечное упорядоченное множество элементов, содержащее в общем случае данные различных типов.

Элементы записи часто называют полями. Запись – это обобщенное понятие вектора, при котором не требуется однотипность или

Структуры и типы данных. Массивы, деревья, списки, графы. Операции над данными.

Данные, хранящиеся в памяти ЭВМ представляют собой совокупность нулей и единиц (битов). Биты объединяются в последовательности: байты, слова и т.д. Каждому участку оперативной памяти, который может вместить один байт или слово, присваивается порядковый номер (адрес).

Какой смысл заключен в данных, какими символами они выражены - буквенными или цифровыми, что означает то или иное число - все это определяется программой обработки. Все данные необходимые для решения практических задач подразделяются на несколько типов, причем понятие тип связывается не только с представлением данных в адресном пространстве, но и со способом их обработки.

Любые данные могут быть отнесены к одному из двух типов: основному (простому), форма представления которого определяется архитектурой ЭВМ, или сложному, конструируемому пользователем для решения конкретных задач.

Данные простого типа это - символы, числа и т.п. элементы, дальнейшее дробление которых не имеет смысла. Из элементарных данных формируются структуры (сложные типы) данных.

Некоторые структуры:

Массив (функция с конечной областью определения) - простая совокупность элементов данных одного типа, средство оперирования группой данных одного типа. Отдельный элемент массива задается индексом. Массив может быть одномерным, двумерным и т.д. Разновидностями одномерных массивов переменной длины являются структуры типа кольцо, стек, очередь и двухсторонняя очередь.

Если массив всегда занимает непрерывный участок памяти, то список являет¬ся простейшим примером, так называемой динамической структуры данных. В динамических структурах данных объект содержится в различных участках памяти, количество и состав которых может меняться в процессе работы. Единство такого объекта поддерживается за счет объединения его частей в описании класса.

Простейший линейный список представляет собой линейную последователь¬ность элементов. Для каждого из них, кроме последнего, имеется следующий элемент, и для каждого, кроме первого - предыдущий. Список традиционно изображают в виде последовательности элементов, каждый из которых со¬держит ссылку (указатель) на следующий и/или предыдущий элемент, однако заметим, что физически в представлении элементов списка может и не быть никаких ссылок.

Типичный набор операций над списком будет включать добавление, удале¬ние и поиск его элементов, вычисление длины списка, последовательную об¬работку элементов (итерацию) списка.

Как и в случае массивов, многие библиотеки классов включают в себя возможность описания и работы со списками (например, CList библиотеки клас¬сов MFC). Несмотря на это, часто возникает необходимость описания своих собственных структур данных в виде, списков, содержащих более подходя¬щие для решаемой задачи операции, более простые (и, следовательно, более эффективные), чем стандартные, или обладающие специфическими особенностями (например, упорядоченные списки).

Как правило, при описании списка представление каждого элемента списка описывается в виде отдельного класса. В этом классе в качестве его атрибута имеется ссылка на следующий и/или предыдущий элемент.

Запись (декартово произведение) - совокупность элементов данных разного типа. В простейшем случае запись содержит постоянное количество элементов, которые называют полями. Совокупность записей одинаковой структуры называется файлом. (Файлом называют также набор данных во внешней памяти, например, на магнитном диске). Для того, чтобы иметь возможность извлекать из файла отдельные записи, каждой записи присваивают уникальное имя или номер, которое служит ее идентификатором и располагается в отдельном поле. Этот идентификатор называют ключом.

Такие структуры данных как массив или запись занимают в памяти ЭВМ постоянный объем, поэтому их называют статическими структурами. К статическим структурам относится также множество.

Имеется ряд структур, которые могут изменять свою длину - так называемые динамические структуры. К ним относятся дерево, список, ссылка.

Важной структурой, для размещения элементов которой требуется нелинейное адресное пространство является дерево. Существует большое количество структур данных, которые могут быть представлены как деревья. Это, например, классификационные, иерархические, рекурсивные и др. структуры.

Обобщенные структуры или модели данных.

Выше мы рассмотрели несколько типов структур, являющихся совокупностями элементов данных: массив, дерево, запись. Более сложный тип данных может включать эти структуры в качестве элементов. Например, элементами записи может быть массив, стек, дерево и т.д.

Существует большое разнообразие сложных типов данных, но исследования, проведенные на большом практическом материале, показали, что среди них можно выделить несколько наиболее общих. Обобщенные структуры называют также моделями данных, т.к. они отражают представление пользователя о данных реального мира.

Любая модель данных должна содержать три компоненты:

Структура данных - описывает точку зрения пользователя на представление данных.

Набор допустимых операций, выполняемых на структуре данных. Модель данных предполагает, как минимум, наличие языка определения данных (ЯОД), описывающего структуру их хранения, и языка манипулирования данными (ЯМД), включающего операции извлечения и модификации данных.

Ограничения целостности - механизм поддержания соответствия данных предметной области на основе формально описанных правил.

В процессе исторического развития в СУБД использовалось следующие модели данных:

Иерархическая - В этой модели имеется один главный объект и остальные - подчиненные - объекты, находящиеся на разных уровнях иерархии. Взаимосвязи объектов образуют иерархическое дерево с одним корневым объектом.

Сетевая - Сетевой подход к организации данных является расширением иерархического. В иерархических структурах запись-потомок должна иметь в точности одного предка; в сетевой структуре данных потомок может иметь любое число предков.

В сетевой модели данных любой объект может быть одновременно и главным, и подчиненным, и может участвовать в образовании любого числа взаимосвязей с другими объектами.

Реляционная - В реляционной модели данные разбиваются на наборы, которые составляют табличную структуру. Эта структура таблиц состоит из индивидуальных элементов данных, называемых полями. Одиночный набор или группа полей известна как запись.

Методы доступа к данным.

Вопросы представления данных тесно связаны с операциями, при помощи которых эти данные обрабатываются. К числу таких операций относятся: выборка, изменение, включение и исключение данных. В основе всех перечисленных операций лежит операция доступа, которую нельзя рассматривать независимо от способа представления.

В задачах поиска предполагается, что все данные хранятся в памяти с определенной идентификацией и, говоря о доступе, имеют в виду прежде всего доступ к данным (называемым ключами), однозначно идентифицирующим связанные с ними совокупности данных.

Пусть нам необходимо организовать доступ к файлу, содержащему набор одинаковых записей, каждая из которых имеет уникальное значение ключевого поля. Самый простой способ поиска - последовательно просматривать каждую запись в файле до тех пор, пока не будет найдена та, значение ключа которой удовлетворяет критерию поиска. Очевидно, этот способ весьма неэффективен, поскольку записи в файле не упорядочены по значению ключевого поля. Сортировка записей в файле также неприменима, поскольку требует еще больших затрат времени и должна выполняться после каждого добавления записи. Поэтому, поступают следующим образом - ключи вместе с указателями на соответствующие записи в файле копируют в другую структуру, которая позволяет быстро выполнять операции сортировки и поиска. При доступе к данным вначале в этой структуре находят соответствующее значение ключа, а затем по хранящемуся вместе с ним указателю получают запись из фала.

Существуют два класса методов, реализующих доступ к данным по ключу:

Методы поиска по дереву,

Методы хеширования.

Теория графов является важной частью вычислительной математики. С помощью этой теории решаются большое количество задач из различных областей. Граф состоит из множества вершин и множества ребер, которые соединяют между собой вершины. С точки зрения теории графов не имеет значения, какой смысл вкладывается в вершины и ребра. Вершинами могут быть населенными пункты, а ребрами дороги, соединяющие их, или вершинами являться подпрограммы, соединенные вершин ребрами означает взаимодействие подпрограмм. Часто имеет значение направления дуги в графе. Если ребро имеет направление, оно называется дугой, а граф с ориентированными ребрами называется орграфом.

Дадим теперь более формально основное определение теории графов. Граф G есть упорядоченная пара (V,E), где V - непустое множество вершин, E - множество пар элементов множества V, пара элементов из V называется ребром. Упорядоченная пара элементов из V называется дугой. Если все пары в Е - упорядочены, то граф называется ориентированным.

Путь - это любая последовательность вершин орграфа такая, что в этой последовательности вершина b может следовать за вершиной a, только если существует дуга, следующая из а в b. Аналогично можно определить путь, состоящий из дуг. Путь начинающийся в одной вершине и заканчивающийся в одной вершине называется циклом. Граф в котором отсутствуют циклы, называется ациклическим.

Важным частным случаем графа является дерево.

Определение: Деревом называется конечное множество, состоящее из одного или более элементов, называемых узлами, таких, что:

Между узлами имеет место отношение типа "исходный-порожденный";

Есть только один узел, не имеющий исходного. Он называется корнем;

Все узлы за исключением корня имеют только один исходный; каждый узел может иметь несколько порожденных;

Отношение "исходный-порожденный" действует только в одном направлении, т.е. ни один потомок некоторого узла не может стать для него предком.

Число порожденных отдельного узла (число поддеревьев данного корня) называется его степенью. Узел с нулевой степенью называют листом или концевым узлом. Максимальное значение степени всех узлов данного дерева называется степенью дерева.

Если в дереве между порожденными узлами, имеющими общий исходный, считается существенным их порядок, то дерево называется упорядоченным. В задачах поиска почти всегда рассматриваются упорядоченные деревья.

Упорядоченное дерево, степень которого не больше 2 называется бинарным деревом. Бинарное дерево особенно часто используется при поиске в оперативной памяти. Алгоритм поиска: вначале аргумент поиска сравнивается с ключом, находящимся в корне. Если аргумент совпадает с ключом, поиск закончен, если же не совпадает, то в случае, когда аргумент оказывается меньше ключа, поиск продолжается в левом поддереве, а в случае когда больше ключа - в правом поддереве. Увеличив уровень на 1 повторяют сравнение, считая текущий узел корнем.

Бинарные деревья особенно эффективны в случае когда множество ключей заранее неизвестно, либо когда это множество интенсивно изменяется. Очевидно, что при переменном множестве ключей лучше иметь сбалансированное дерево.

Определение: Бинарное дерево называют сбалансированным (balanced), если высота левого поддерева каждого узла отличается от высоты правого поддерева не более чем на 1.

Хеширование.

Этот метод используется тогда, когда все множество ключей заранее известно и на время обработки может быть размещено в оперативной памяти. В этом случае строится специальная функция, однозначно отображающая множество ключей на множество указателей, называемая хеш-функцией (от английского "to hash" - резать, измельчать). Имея такую функцию можно вычислить адрес записи в файле по заданному ключу поиска. В общем случае ключевые данные, используемые для определения адреса записи организуются в виде таблицы, называемой хеш-таблицей.

Если множество ключей заранее неизвестно или очень велико, то от идеи однозначного вычисления адреса записи по ее ключу отказываются, а хеш-функцию рассматривают просто как функцию, рассеивающую множество ключей во множество адресов.