Симплексный метод решения злп. Симплекс-метод, примеры решения задач

Один из методов решения оптимизационных задач (как правило связанных с нахождением минимума или максимума ) линейного программирования называется . Симплекс-метод включает в себя целую группу алгоритмов и способов решения задач линейного программирования. Один из таких способов, предусматривающий запись исходных данных и их пересчет в специальной таблице, носит наименование табличного симплекс-метода .

Рассмотрим алгоритм табличного симплекс-метода на примере решения производственной задачи , которая сводится к нахождению производственного плана обеспечивающего максимальную прибыль.

Исходные данные задачи на симплекс-метод

Предприятие выпускает 4 вида изделий, обрабатывая их на 3-х станках.

Нормы времени (мин./шт.) на обработку изделий на станках, заданы матрицей A:

Фонд времени работы станков (мин.) задан в матрице B:

Прибыль от продажи каждой единицы изделия (руб./шт.) задана матрицей C:

Цель производственной задачи

Составить такой план производства, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Решение задачи табличным симплекс-методом

(1) Обозначим X1, X2, X3, X4 планируемое количество изделий каждого вида. Тогда искомый план: (X1, X2, X3, X4 )

(2) Запишем ограничения плана в виде системы уравнений:

(3) Тогда целевая прибыль:

То есть прибыль от выполнения производственного плана должна быть максимальной.

(4) Для решения получившейся задачи на условный экстремум, заменим систему неравенств системой линейных уравнений путем ввода в нее дополнительных неотрицательных переменных (X5, X6, X7 ).

(5) Примем следующий опорный план :

X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0, X4 = 0, X5 = 252, X6 = 144, X7 = 80

(6) Занесем данные в симплекс-таблицу :

В последнюю строку заносим коэффициенты при целевой функции и само ее значение с обратным знаком;

(7) Выбираем в последней строке наибольшее (по модулю ) отрицательное число.

Вычислим b = Н / Элементы_выбранного_столбца

Среди вычисленных значений b выбираем наименьшее .

Пересечение выбранных столбца и строки даст нам разрешающий элемент. Меняем базис на переменную соответствующую разрешающему элементу (X5 на X1 ).

Сам разрешающий элемент обращается в 1.
Для элементов разрешающей строки – a ij (*) = a ij / РЭ (то есть каждый элемент делим на значение разрешающего элемента и получаем новые данные ).
Для элементов разрешающего столбца – они просто обнуляются.
Остальные элементы таблицы пересчитываем по правилу прямоугольника.

a ij (*) = a ij – (A * B / РЭ)

Как видите, мы берем текущую пересчитываемую ячейку и ячейку с разрешающим элементом. Они образуют противоположные углы прямоугольника. Далее перемножаем значения из ячеек 2-х других углов этого прямоугольника. Это произведение (A * B ) делим на разрешающий элемент (РЭ ). И вычитаем из текущей пересчитываемой ячейки (a ij ) то, что получилось. Получаем новое значение - a ij (*) .

(9) Вновь проверяем последнюю строку (c ) на наличие отрицательных чисел . Если их нет – оптимальный план найден, переходим к последнему этапу решения задачи. Если есть – план еще не оптимален, и симплекс-таблицу вновь нужно пересчитать.

Так как у нас в последней строке снова имеются отрицательные числа, начинаем новую итерацию вычислений.

(10) Так как в последней строке нет отрицательных элементов, это означает, что нами найден оптимальный план производства! А именно: выпускать мы будем те изделия, которые перешли в колонку «Базис» - X1 и X2. Прибыль от производства каждой единицы продукции нам известна (матрица C ). Осталось перемножить найденные объемы выпуска изделий 1 и 2 с прибылью на 1 шт., получим итоговую (максимальную! ) прибыль при данном плане производства.

ОТВЕТ:

X1 = 32 шт., X2 = 20 шт., X3 = 0 шт., X4 = 0 шт.

P = 48 * 32 + 33 * 20 = 2 196 руб.

Галяутдинов Р.Р.

Симплексный метод − это метод упорядоченного перебора опорных планов (упорядоченность обеспечивается монотонным изменением значения целевой функции при переходе к очередному плану). При этом необходимо соблюдать принцип: каждый следующий шаг должен улучшить или, в крайнем случае, не ухудшить значение целевой функции.

Для решения ЗЛП симплекс-методом ее приводят к каноническому виду, т.е. из ограничений – неравенств надо сделать ограничения – равенства. Для этого в каждое ограничение вводится дополнительная неотрицательная балансовая переменная со знаком «+», если знак неравенства «£», и со знаком «–», ели знак неравенства «³».

В целевой функции эти дополнительные переменные входят с нулевыми коэффициентами, т.е. запись целевой функции не изменится. Каждую переменную, на которую не наложено условие неотрицательности, можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных: .

Если ограничения задачи отображают наличие и расход ресурсов, то числовое значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в канонической форме, равно объему неиспользованного ресурса.

Для решения задачи симплекс-методом будем использовать укороченные симплексные таблицы системы линейных уравнений и метод модифицированного жорданова исключения .

1. Составляем первый опорный план

Задача остается прежней. Приведем стандартную форму системы неравенств (1) в каноническую форму системы уравнений путем введения дополнительных балансовых переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 .

или

В экономическом смысле значения дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 определяют остатки сырья после реализации продукции.

Матрица полученной системы уравнений имеет вид:

Видно, что в матрице A базисным минором 4-го порядка является определитель, составленный из единичных коэффициентов при дополнительных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , так как он отличен от нуля и равен 1. Это означает, что векторы-столбцы при этих переменных является линейно независимыми, т.е. образуют базис , а соответствующие им переменные x 3 , x 4 , x 5 , x 6 являются базисными (основными). Переменные x 1 , x 2 будут называться свободными (неосновными).

Если свободным переменным x 1 и x 2 задавать различные значения, то, решая систему относительно базисных переменных, получим бесконечное множество частных решений. Если свободным переменным задавать только нулевые значения, то из бесконечного множества частных решений выделяют базисные решения – опорные планы.

Чтобы выяснить, могут ли переменные быть базисными, необходимо вычислить определитель, состоящий из коэффициентов при этих переменных. Если данный определитель не равен нулю, то эти переменные могут быть базисными.

Количество базисных решений и соответствующее ему число групп базисных переменных может быть не более, чем , где n –общее число переменных, r – число базисных переменных, r ≤ m ≤ n .

Для нашей задачи r = 4; n = 6. Тогда , т.е. возможны 15 групп из 4-х базисных переменных (или 15 базисных решений).

Разрешим систему уравнений относительно базисных переменных x 3 , x 4 , x 5 , x 6:

Полагая, что свободные переменные x 1 = 0, x 2 = 0, получим значения базисных переменных: x 3 = 312; x 4 = 15; x 5 = 24; x 6 = –10, т.е. базисное решение будет = (0; 0; 312; 15; 24; –10).

Данное базисное решение является недопустимым , т.к. x 6 = –10 ≤ 0, а по условию ограничений x 6 ≥ 0. Поэтому вместо переменной x 6 в качестве базисной надо взять другую переменную из числа свободных x 1 или x 2 .

Дальнейшее решение будем выполнять, используя укороченные симплексные таблицы, заполнив строки первой таблицы коэффициентами системы следующим образом (табл. 1):

Таблица 1

F –строка называется индексной . Она заполняется коэффициентами целевой функции, взятыми с противоположными знаками, так как уравнение функции можно представить в виде F = 0 – (– 4x 1 – 3x 2).

В столбце свободных членов b i есть отрицательный элемент b 4 = –10, т.е. решение системы является недопустимым. Чтобы получить допустимое решение (опорный план), элемент b 4 надо сделать неотрицательным.

Выбираем x 6 -строку с отрицательным свободным членом. В этой строке есть отрицательные элементы. Выбираем любой из них, например, «–1» в x 1 -столбце, и x 1 -столбец принимаем в качестве разрешающего столбца (он определит, что переменная x 1 перейдет из свободных в базисные).

Делим свободные члены b i на соответствующие элементы a is разрешающего столбца, получаем оценочные отношения Θ i = = {24, 15, 12, 10}. Из них выбираем наименьшее положительное (minΘ i =10), которое будет соответствовать разрешающей строке . Разрешающая строка определяет переменную x j , которая на следующем шаге выступает из базиса и станет свободной. Поэтому x 6 -строка является разрешающей строкой, а элемент «–1» – разрешающим элементом . Обводим его кружком. Переменные x 1 и x 6 меняются местами.

Оценочные отношения Θ i в каждой строке определяются по правилам:

1) Θ i = , если b i и a is имеют разные знаки;

2) Θ i = ∞, если b i = 0 и a is < 0;

3) Θ i = ∞, если a is = 0;

4) Θ i = 0, если b i = 0 и a is > 0;

5) Θ i = , если b i и a is имеют одинаковые знаки.

Совершаем шаг модифицированного жорданова исключения (ШМЖИ) с разрешающим элементом и составляем новую таблицу (табл. 2) по следующему правилу:

1) на месте разрешающего элемента (РЭ) устанавливается величина, ему обратная, т.е. ;

2) элементы разрешающей строки делятся на РЭ;

3) элементы разрешающего столбца делятся на РЭ и знак меняется;

4) остальные элементы находятся по правилу прямоугольника:

Из табл. 2 видно, что свободные члены в b i -столбце являются неотрицательными, следовательно, получено первоначальное допустимое решение – первый опорный план = (10; 0; 182; 5; 4; 0). При этом значение функции F () = 40. Геометрически это соответствует вершине F (10; 0) многоугольника решений (рис. 1).

Таблица 2

2. Проверяем план на оптимальность. Опорный план не оптимальный, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–4». Улучшаем план.

3. Нахождение нового опорного плана

Выбираем разрешающий элемент по правилу:

Выбираем наименьший отрицательный коэффициент в F -строке «–4», который и определяет разрешающий столбец – x 6 ; переменную x 6 переводим в базисные;

Находим отношения Θ i , среди них выбираем наименьшее положительное, которое соответствует разрешающей строке:

min Θ i = min {14, 5, 2, ∞} = 2, следовательно, x 5 -строка – разрешающая, переменную x 5 переводим в свободные (переменные x 5 и x 6 меняются местами).

На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент «2»;

Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 3 по вышеприведенному правилу и получаем новый опорный план = (12; 0; 156; 3; 0; 2).

Таблица 3

4. Проверка нового опорного плана на оптимальность

Опорный план также не является оптимальным, так как в F -строке имеется отрицательный коэффициент «–1». Значение функции F () = 48, что геометрически соответствует вершине E (12; 0) многоугольника решений (рис. 1). Улучшаем план.

5. Нахождение нового опорного плана

x 2 -столбец – разрешающий, так как в F -строке наименьший отрицательный коэффициент «–1» находится в x 2 -столбце (Δ 2 = –1). Находим наименьшее Θ i : min Θ i = min {≈ 9, 6, ∞, 24} = 6, следовательно, x 4 -строка – разрешающая. Разрешающий элемент «1/2». Меняем местами переменные x 2 и x 4 . Выполняем шаг ШМЖИ, строим табл. 4, получаем новый опорный план = (9; 6; 51; 0; 0; 5).

6. Проверка опорного плана на оптимальность

В F -строке все коэффициенты неотрицательны, следовательно, опорный план является оптимальным. Геометрически соответствует точке D (9;6) (см. рис. 1). Оптимальный план дает максимальное значение целевой функции у.е.

Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное решение отсутствует.

Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:

Указать способ нахождения оптимального опорного решения
Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е. указать способ улучшения опорного решения
Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор опорных решений на оптимальном решении или следать заключение об отсутствии оптимального решения.

Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования

Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить следующее:

Привести задачу к каноническому виду
Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений)
Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и заполнить таблицу симплексного метода
Если выполняется признак единственности оптимального решения, то решение задачи заканчивается
Если выполняется условие существования множества оптимальных решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения

Пример решения задачи симплексным методом

Пример 26.1

Решить симплексным методом задачу:

Решение:

Приводим задачу к каноническому виду.

Для этого в левую часть первого ограничения-неравенства вводим дополнительную переменную x 6 с коэффициентом +1. В целевую функцию переменная x 6 входит с коэффицентом ноль (т.е. не входит).

Получаем:

Находим начальное опорное решение. Для этого свободные (неразрешенные) переменные приравниваем к нулю х1 = х2 = х3 = 0.

Получаем опорное решение Х1 = (0,0,0,24,30,6) с единичным базисом Б1 = (А4, А5, А6).

Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного решения по формуле:

Δ k = C б X k — c k

C б = (с 1 , с 2 , ... , с m) — вектор коэффициентов целевой функции при базисных переменных
X k = (x 1k , x 2k , ... , x mk) — вектор разложения соответствующего вектора А к по базису опорного решения
С к — коэффициент целевой функции при переменной х к.

Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю. Опорное решение, коэффиценты разложений и оценки разложений векторов условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу :

Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы, входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором столбце таблицы "С б " записываются коэффициенты целевой функции при базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении коэффициентов целевой функции в столбце "С б " оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равных нулю.

В последней строке таблицы с оценками Δ k в столбце "А 0 " записываются значения целевой функции на опорном решении Z(X 1).

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум оценки Δ 1 = -2, Δ 3 = -9 для векторов А 1 и А 3 отрицательные.

По теореме об улучшении опорного решения, если в задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет больше.

Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему приращению целевой функции.

Приращение целевой функции находится по формуле: .

Вычисляем значения параметра θ 01 для первого и третьего столбцов по формуле:

Получаем θ 01 = 6 при l = 1, θ 03 = 3 при l = 1 (таблица 26.1).

Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора ΔZ 1 = — 6*(- 2) = 12, и третьего вектора ΔZ 3 = — 3*(- 9) = 27.

Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению необходимо ввести в базис опорного решения вектор А3 вместо первого вектора базиса А6, так как минимум параметра θ 03 достигается в первой строке (l = 1).

Производим преобразование Жордана с элементом Х13 = 2, получаем второе опорное решение Х2 = (0,0,3,21,42,0) с базисом Б2 = (А3, А4, А5). (таблица 26.2)

Это решение не является оптимальным, так как вектор А2 имеет отрицательную оценку Δ2 = — 6. Для улучшение решения необходимо ввести вектор А2 в базис опорного решения.

Определяем номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычисляем параметр θ 02 для второго столбца, он равен 7 при l = 2. Следовательно, из базиса выводим второй вектор базиса А4. Производим преобразование Жордана с элементом х 22 = 3, получаем третье опорное решение Х3 = (0,7,10,0,63,0) Б2 = (А3, А2, А5) (таблица 26.3).

Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов, не входящих в базис оценки положительные

Δ 1 = 7/2, Δ 4 = 2, Δ 6 = 7/2.

Ответ: max Z(X) = 201 при Х = (0,7,10,0,63).

Метод линейного программирования в экономическом анализе

Метод линейного программирования дает возможность обосновать наиболее оптимальное экономическое решение в условиях жестких ограничений, относящихся к используемым в производстве ресурсам (основные фонды, материалы, трудовые ресурсы). Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

При помощи этого метода осуществляется решение так называемых экстремальных задач, которое заключается в нахождении крайних значений, то есть максимума и минимума функций переменных величин.

Этот период базируется на решении системы линейных уравнений в тех случаях, когда анализируемые экономические явления связаны линейной, строго функциональной зависимостью. Метод линейного программирования используется для анализа переменных величин при наличии определенных ограничивающих факторов.

Весьма распространено решение так называемой транспортной задачи с помощью метода линейного программирования. Содержание этой задачи заключается в минимизации затрат, осуществляемых в связи с эксплуатацией транспортных средств в условиях имеющихся ограничений в отношении количества транспортных средств, их грузоподъемности, продолжительности времени их работы, при наличии необходимости обслуживания максимального количества заказчиков.

Кроме этого, данный метод находит широкое применение при решении задачи составления расписания. Эта задача состоит в таком распределении времени функционирования персонала данной организации, которое являлось бы наиболее приемлемым как для членов этого персонала, так и для клиентов организации.

Данная задача заключается в максимизации количества обслуживаемых клиентов в условиях ограничений количества имеющихся членов персонала, а также фонда рабочего времени.

Таким образом, метод линейного программирования весьма распространен в анализе размещения и использования различных видов ресурсов, а также в процессе планирования и прогнозирования деятельности организаций.

Все же математическое программирование может применяться и в отношении тех экономических явлений, зависимость между которыми не является линейной. Для этой цели могут быть использованы методы нелинейного, динамического и выпуклого программирования.

Нелинейное программирование опирается на нелинейный характер целевой функции или ограничений, либо и того и другого. Формы целевой функции и неравенств ограничений в этих условиях могут быть различными.

Нелинейное программирование применяется в экономическом анализе в частности, при установлении взаимосвязи между показателями, выражающими эффективность деятельности организации и объемом этой деятельности, структурой затрат на производство, конъюнктурой рынка, и др.

Динамическое программирование базируется на построении дерева решений. Каждый ярус этого дерева служит стадией для определения последствий предыдущего решения и для устранения малоэффективных вариантов этого решения. Таким образом, динамическое программирование имеет многошаговый, многоэтапный характер. Этот вид программирования применяется в экономическом анализе с целью поиска оптимальных вариантов развития организации как в настоящее время, так и в будущем.

Выпуклое программирование представляет собой разновидность нелинейного программирования. Этот вид программирования выражает нелинейный характер зависимости между результатами деятельности организации и осуществляемыми ей затратами. Выпуклое (иначе вогнутое) программирование анализирует выпуклые целевые функции и выпуклые системы ограничений (точки допустимых значений). Выпуклое программирование применяется в анализе хозяйственной деятельности с целью минимизации затрат, а вогнутое — с целью максимизации доходов в условиях имеющихся ограничений действия факторов, влияющих на анализируемые показатели противоположным образом. Следовательно, при рассматриваемых видах программирования выпуклые целевые функции минимизируются, а вогнутые — максимизируются.

Рассмотрим симплекс -метод для решения задач линейного программирования (ЛП). Он основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает.

Алгоритм симплекс-метода следующий:

Исходную задачу переводим в канонический вид путем введения дополнительных переменных. Для неравенства вида ≤ дополнительные переменные вводят со знаком (+ ), если же вида ≥ то со знаком (— ). В целевую функцию дополнительные переменные вводят с соответствующими знаками с коэффициентом, равным 0 , т.к. целевая функция не должна при этом менять свой экономический смысл.
Выписываются вектора P i из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. Этим действием определяется количество единичных векторов. Правило – единичных векторов должно быть столько, сколько неравенств в системе ограничений.
После этого исходные данные вводятся в симплекс-таблицу. В базис вносятся единичные вектора, и исключая их из базиса, находят оптимальное решение . Коэффициенты целевой функции записывают с противоположным знаком.
Признак оптимальности для задачи ЛП – решение оптимально, если в f – строке все коэффициенты положительны. Правило нахождения разрешающего столбца – просматривается f – строка и среди ее отрицательных элементов выбирается наименьшее. Вектор P i его содержащий становится разрешающим. Правило выбора разрешающего элемента – составляются отношения положительных элементов разрешающего столбца к элементам вектора Р 0 и то число, которое дает наименьшее отношение становится разрешающим элементом, относительно которого будет произведен пересчет симплекс-таблицы. Строка, содержащая этот элемент называется разрешающей строкой. Если в разрешающем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет решения. После определения разрешающего элемента переходят к пересчету новой симплекс – таблицы.
Правила заполнения новой симплекс – таблицы. На месте разрешающего элемента проставляют единицу, а другие элементы полагают равными 0 . Разрешающий вектор вносят в базис, из которого исключают соответствующий нулевой вектор, а остальные базисные вектора записывают без изменений. Элементы разрешающей строки делят на разрешающий элемент, а остальные элементы пересчитывают по правилу прямоугольников.
Так поступают до тех пор, пока в f – строке все элементы не станут положительными.

Рассмотрим решение задачи с использованием рассмотренного выше алгоритма.
Дано:

Приводим задачу к каноническому виду:

Составляем вектора:

Заполняем симплекс – таблицу:

:
Пересчитаем первый элемент вектора Р 0 , для чего составляем прямоугольник из чисел: и получаем: .

Аналогичные расчеты выполним для всех остальных элементов симплекс – таблицы:

В полученном плане f – строка содержит один отрицательный элемент – (-5/3), вектора P 1 . Он содержит в своем столбце единственный положительный элемент, который и будет разрешающим элементом. Сделаем пересчет таблицы относительно этого элемента:

Отсутствие отрицательных элементов в f – строке означает, что найден оптимальный план :
F* = 36/5, Х = (12/5, 14/5, 8, 0, 0).

Ашманов С. А. Линейное программирование, М: Наука, 1998г.,
Вентцель Е.С. Исследование операций, М: Советское радио, 2001г.,
Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волошенко А.Б. Математическое программирование, М: Высшая школа, 1986г.