Координатная система wgs 84. Вопросы пересчёта между различными системами координат

Для того чтобы уметь грамотно пользоваться любым приемником GPS необходимо знать его некоторые особенности. Давайте поговорим немного о форме Земли. В дальнейшем нам это понадобиться. Форма Земли, Датумы . Многие из нас привыкли представлять нашу планету в виде шара. В действительности форма Земли представляет из себя сложную геометрически неправильную фигуру. Если продлить поверхность вод Мирового океана под всеми материками, то такая поверхность будет называться уровенной . Главным её свойством является то, что она перпендикулярна силе тяжести в любой ее точке. Фигура образованная этой поверхностью называется Геоид. В целях навигации форму геоида применять сложно, поэтому его решили привести к математически правильному телу – эллипсоиду вращения или сфероиду . Проецируемая поверхность геоида на эллипсоид вращения именуется как Референц – Эллипсои д . Так как расстояние от центра земли до ее поверхности в различных местах неодинаково, возникают определенные погрешности в линейных расстояниях. Каждое государство, проводя геодезические и картографические измерения, закрепляет за собой собственный набор параметров и режимов ориентации для референц - эллипсоида. Такие параметры называются геодезическими датумами (Datum). Датум смещает (ориентирует) референц - эллипсоид относительно определенной точки отсчета (центра масс Земли), задавая более правильную ориентацию относительно линий широты и долготы. Грубо говоря, это подобие координатной сетки привязанной к референц - эллипсоиду конкретного места.

World Geodetic System 1984 (WGS–84) или Всемирная Геодезическая Система . В нынешнее время, контроль над системой WGS84 осуществляет организация под названием US National Geospatial-Intelligence Agency - NGA т.е. Национальное агентство геопространственной разведки США. Первоначально, система WGS84 разрабатывалась для целей аэронавигации. 3 марта 1989 года совет Международной организации гражданской авиации IСAO, утвердил WGS84 стандартной (всемирной) геодезической системой отсчета. В морскую транспортную отрасль система вступила после ее принятия Международной морской организацией IMO.

В основе процесса ориентации WGS84 лежит трехмерная система геоцентрических координат. Начало отсчета начинается из центра масс Земли. Ось Х лежит в плоскости экватора и направлена на меридиан принятый Международным Бюро Времени (BIH). Ось Z направлена на Северный полюс и совпадает с осью вращения Земли. Ось Y дополняет систему до правосторонней (правило правой руки) и лежит в плоскости экватора между осью Х под углом 90° к востоку.

К основным параметрам референц - эллипсоида WGS84 относятся:

Следует помнить, что UKHO (United Kingdom Hydrographic Office) публикуя свои карты, использует около сотни различных датумов (референц-эллипсоидов). Но приемник GPS определяет координаты по умолчанию в датуме WGS84 . Забегая вперед, большинство современных приемников GPS имеют функцию мануального (ручного) переключения датума (т.е. в памяти приемника содержится огромное количество различных датумов). При переносе координат из приемника на карту, необходимо заблаговременно просмотреть, в каком Датуме опубликована карта. Для упрощения этой процедуры с 1982 года UKHO (United Kingdom Hydrographic Office) добавило в легенду своих карт примечание под названием “Position ” и “Satellite Derived Position ”. В этих пунктах нас информируют о том, в каком Датуме опубликована карта. И если это не WGS84 - то, как произвести пересчет координат. Уделите этому особое внимание!

Общеземной эллипсоид WGS84 - это геодезический эллипсоид с фиксированной геоцентрической общеземной системой координат. Эллипсоид WGS84 задан набором констант и параметрами модели эллипсоида, которые описывают размеры и форму Земли, гравитационное и магнитное поля. WGS84 является стандартным общеземным эллипсоидом, принятым за глобальную координатную систему Департаментом Обороны США, а также системой координат для глобальной системы позиционирования (GPS). Она совместима с Международной Земной Системой Координат (ITRS). В настоящее время WGS84 (G1674) придерживается критериев, описанных в Техническом Пояснении 21 (TN 21) Международной Службы Вращения Земли (IERS). Ответственной организацией является Национальное Управление Геопространственной Разведки США (NGA). Управление (NGA) планирует произвести регулировку координатной системы WGS84 в 2013, чтобы совместить ее с правилами Конвенции 2010 IERS Техническое Пояснение 36 (TN 36).

Origin (Начало координат): За начало системы координат принят центр масс Земли, включая океаны и атмосферу.
Z-Axis (Ось Z) : Направлена на опорный полюс, определенный Международной Службой Вращения Земли (IERS Reference Pole). Это направление соответствует направлению на условный полюс Земли (BIH Conventional Terrestrial Pole) (на период 1984.0) с погрешностью 0.005".
X-Axis (Ось X) : Ось X лежит в плоскости опорного меридиана (IERS Reference Meridian) и проходит через начало координат по нормали к оси Z. Опорный меридиан (IRM) совпадает с нулевым меридианом (BIH Zero Meridian) (на период 1984.0) с погрешностью 0.005".
Y-Axis (Ось Y) : Дополняет геоцентрическую фиксированнуюя систему ортогональных координат (Earth-Centered Earth-Fixed (ECEF) orthogonal coordinate system) до правой.
Scale (Масштаб): Ее м асштаб - масштаб структуры Земли согласуется с альтернативной теорией гравитации (relativistic theory of gravitation). Совмещён с ITRS.
Orientation (Ориентация): Представлена Международным Бюро Времени (Bureau International de l’Heure) на период 1984.0.
Time Evolution (Временное развитие): Изменение во времени не будет создавать никаких невязок глобального вращения относительно земной коры.

Параметры

WGS84 можно идентифицировать с помощью четырех параметров: большая полуось эллипсоида (semi-major axis) WGS84, коэффициент сжатия (flattening factor) Земли, номинальная средняя угловая скорость (nominal mean angular velocity) Земли, и геоцентрическая гравитационная постоянная (geocentric gravitational constant). Значения параметров представлены в таблице ниже.

Параметр	Обозначение	Значение
Большая полуось (Semi-major Axis)	a
Коэффициент сжатия (Flattening Factor) Земли	1/f
Номинальная средняя угловая скорость (Nominal Mean Angular Velocity)	ω	7292115 10 -11 радиан/сек
Геоцентрическая гравитационная постоянная (Geocentric Gravitational Constant)	GM	3986004.418 10 8 м 3 /сек 2

Значение GM включает массу атмосферы Земли. Пользователи глобальной системы позиционирования (GPS) должны помнить первоначальное значение WGS84 GM равное 3986005.0 10 8 м3 /сек 2 , которое определено в контрольном документе GPS (ICD-GPS-200) и в Техническом отчете 8350.2 NIMA (Technical Report).

Реализации WGS84

База данных международной ассоциации производителей нефти и газа (EPSG database) и вебсайт NGS используют в названии "WGS 84" пробел между "WGS" и "84". База данных EPSG не содержит никаких особых реализаций эллипсоида WGS84.

Geog 2D Code	Код эллипсоида	Краткое название	Эпоха эллипсоида	Код района	Название района	Примечание	Смещение
4326	6326	WGS84	1984	1262	Всемирный (World)	Первая реализация установленная Министерством обороны США в 1987 используя доплеровские наблюдения. Также известен как WGS84 (1987), WGS84 (original), WGS84 (TRANSIT). Для научных целей, первоначальный WGS84 является идентичным NAD83 (1986). WGS84 связан с ITRF90 с помощью 7 параметров перехода по Хельмерту (Helmert).	нет
		WGS84 (G730)	1994.0			Реализация представлена Министерством обороны США от 29 июня 1994 основана на GPS наблюдениях. Буква G обозначает "GPS", а 730 - это номер недели GPS. Основан на ITRF91.	0.70 м
		WGS84 (G873)	1997.0			Реализация представлена Министерством обороны США от 29 января 1997 основана на GPS наблюдениях. Буква G обозначает "GPS", а 873 - это номер недели GPS. Основан на ITRF94.	0.20 м
		WGS84 (G1150)	2001.0			Реализация представлена Министерством обороны США от 20 января 2002 основана на GPS наблюдениях. Буква G обозначает "GPS", а 1150 - это номер недели GPS. Основан на ITRF2000.	0.06 м
		WGS84 (G1674)	2005.0			Реализация представлена Министерством обороны США от 08 февраля 2012 основана на GPS наблюдениях. Буква G обозначает "GPS", а 1674 - это номер недели GPS. Основан на ITRF2008.	0.01 м

Параметры трансформации

Ниже представлены параметры перехода между WGS84 (G1674) и предыдущими реализациями WGS84, а также некоторыми реализациями ITRF.

Параметры перехода между различными реализациями ITRF можно найти в файле .

Переход от	Переход к	Эпоха	T1 м	T2 м	T3 м	D ppb	R1 mas	R2 mas	R3 mas	Точность м
		2001.0	-0.0047	+0.0119	+0.0156	+4.72	+0.52	+0.01	+0.19	0.0059
ITRF2008	WGS84 (G1674)	2005.0	0	0	0	0	0	0	0	0.10
ITRF2000	WGS84 (G1150)	2001.0	0	0	0	0	0	0	0	0.10
ITRF94	WGS84 (G873)	1997.0	0	0	0	0	0	0	0	0.10
ITRF91	WGS84 (G730)	1994.0	0	0	0	0	0	0	0	0.10
ITRF90	WGS84 (original)	1984.0	+0.060	-0.517	-0.223	-11.0	+18.3	-0.3	+7.0	0.01

Направление вращения системы координат по часовой стрелке. Единицы измерения: м (метры), mas (угловых миллисекунд) и ppb (частей на миллиард).
1 mas = 0.001 " = 2.77778 e -7 градуса = 4.84814 e -9 радиан. 0.001 " приблизительно равна 0.030 м на поверхности Земли.

WGS84 и ITRF

Вообще ITRS (и её реализации ITRFyy) идентичны WGS84 в пределах одного метра. При этом есть два типа реализации WGS84.

Старая реализация, основанная на навигационной спутниковой системе ВМС США, также известная как доплеровская система "Транзит" (DOPPLER Transit), и обеспечивающая координаты станций с точностью приблизительно в один метр.
Что касается этой реализации, то Международной Службой Вращения Земли (International Earth Rotation Service) опубликованы параметры трансформации между ITRF90 и этой доплеровской системой в файле: WGS84.TXT .
Обновленные реализации WGS84, основанные на данных GPS, такие как G730, G873 и G1150. Эти обновленные реализации WGS84 совпадают с ITRF с 10-сантиметровом уровнем точности.
Для этих реализаций нет официально опубликованных параметров трансформации. Это означает, что координаты ITRF также могут быть выражены в WGS84 с уровнем точности 10 см.

Комитет производителей нефти и газа (OGP Surveying & Positioning Committee) рекомендует в своей пояснительной записке №4 (Guidance note 4) : "В качестве опорной геодезической системы для целей съёмки и позиционирования в реальном режиме времени использовать международную земную систему отсчета (ITRF)", в случае когда опубликованные значения параметров перехода позволяют трансформировать координаты с точностью хуже чем один метр - придерживаться старой формулировки "от местной системы координат к WGS84", и использовать новую формулировку "от местной системы координат к ITRFyy на эпоху yyyy.y" когда опубликованные значения параметров перехода обеспечивают субметровую точность.

WGS84, ITRF и NAD83

Исходная реализация WGS84 в значительной степени согласуется с NAD83 (1986). Последующие реализации WGS84, однако, приблизительно совпадают с реализациями ITRS.

Североамериканская система координат (North American Datum) от 1983 года (NAD83) используется на всей территории Северной Америки, за исключением Мексики. Эта система координат реализована на территории США и Аляски (Североамериканская плита) посредством Национальных референцных станций (National CORS), которые предоставляют основу для получения строгих параметров перехода между реализациями ITRF и NAD83, а также для бесчисленного количества научных работ.

Начиная с ноября 2011 года, сеть референцных станций (CORS) насчитывает свыше 1800 станций, на них работает более 200 различных организаций, и сеть продолжает расширяться. Самая свежая реализация системы NAD83 имеет техническое название NAD83 (2011/PA11/MA11) эпоха 2010.00, и образует структуру для определения Национальной пространственной системы координат (NSRS). В Канаде система NAD83 также контролируется посредством Канадской системы активного управления (Canadian Active Control System). Таким образом, за контроль и обслуживание системы NAD83 отвечают две организации Национальная геодезическая служба США (NGS), http://www.ngs.noaa.gov , и Министерство природных ресурсов Канады (NRCan), http://www.nrcan.gc.ca .

Мексиканская система координат от 1993 (Mexican Datum of 1993)

Национальный институт статистики и географии Мексики (INEGI), http://www.inegi.org.mx , Федеральное агенство, ответственное за геодезию и картографию в стране, приняли за свою геодезическую основу геоцентрическую систему координат ITRF92, на эпоху 1988.0. Реализация данной системы достигается посредством сети из 14 станций стационарных GPS приёмников Национальной геодезической сети (RGNA). Недавно за новую основу мексиканской системы координат была принята система ITRF2008, на эпоху 2010.0.

WGS84, ITRF и SIRGAS

Геоцентрическая референцная система Америки от 1995 года (SIRGAS 1995) была утверждена для использования на всём континенте Южной Америки в области геодезии и картографии. Большинство стран Южной Америки и стран Карибского бассейна принимали участие в этом предприятии, при этом использовалось 58 референцных станций, которые позже были распространены на территорию Центральной и Северной Америки. За начальную систему координат была принята ITRF94, на эпоху 1995.42. Геоцентрическая референцная система Америки от 2000 года (SIRGAS 2000) была реализована посредством наблюдений на сети из 184 станций в 2000 году и была установлена система ITRF2000, на эпоху 2000.40. Система координат SIRGAS 2000 включает привязку к уровенным постам и заменяет предыдущую систему SIRGAS 1995, использующуюся только в Южной Америке на систему координат SIRGAS, покрывающую также и Центральную Америку. Название было изменено в 2001 году для использования на всей территории Латинской Америки. В Интернете существует несколько страниц с информацией о системе координат SIRGAS, например: http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/sirgas .

WGS84, ITRF и ETRS89

Европейская земная система координат ETRS89 базируется на Международной системе отсчёта ITRF89, на эпоху 1989.0 и отслеживается посредством сети из приблизительно 250 постоянно действующих станций Глобальной навигационной спутниковой системы (GNSS), известной как Европейская постоянно действующая референцная сеть (EPN). За обслуживание Европейской земной системы координат (ETRS89) отвечает подкомитет Международной геодезической ассоциации европейской референцной системы (IAG Sub-commission EUREF). Подробнее об этой системе можно узнать в Интернете на сайте: http://www.euref.eu . Центральное Бюро референцной сети (EPN) расположена в Королевской обсерватории в Бельгии (Royal Observatory of Belgium), http://www.epncb.oma.be .

WGS84, ITRF и GDA94

Геоцентрическая система координат Австралии от 1994 года (GDA94) изначально была отнесена к международной геодезической системе координат ITRF92, на эпоху 1994.0. Система GDA94 контролируется посредством австралийской региональной ГНСС сети (ARGN), включающей 15 постоянно действующих GPS станций на территории Австралии, а также с помощью 8 станций в Австралии, известных как австралийская основная сеть (AFN). Ответственной организацией за мониторинг системы GDA94 является австралийское агенство геофизических исследований (Geoscience Australia), http://www.auslig.gov.au .

Ссылки

WGS84 (G730), (G873) и (G1150) - http://www.ngs.noaa.gov/CORS/Articles
ITRF94, ITRF96, ITRF97, ITRF2000, ITRF2005 и ITRF2008 -

Эллипсоид GRS80 (GeodeticReferenceSystem– геодезическая референцная система) был принятXVIIгенеральной ассамблеей Международного союза геодезии и геофизики в Канберре, в декабре 1979 г. в качестве общеземного референц-эллипсоида.

Малая полуось GRS80 параллельна направлению на Международное условное начало (МУН), а начальный меридиан параллелен нулевому меридиану счёта долгот МБВ.GRS80 основывается на теории эквипотенциального (уровенного или нормального) эллипсоида. ЭллипсоидGRS80 рекомендован для проведения геодезических работ и вычисления характеристик гравитационного поля на поверхности Земли и во внешнем пространстве.

Система координат пз-90.

Параметры Земли 1990 г. ПЗ-90 были определены Топографической службой ВС РФ. Параметры ПЗ-90 включают:

Фундаментальные астрономические и геодезические постоянные.

Характеристики координатной основы (параметры земного эллипсоида, координаты пунктов, закрепляющих систему, параметры связи с другими системами координат).

Модели нормальных и аномальных гравитационных полей Земли, локальные характеристики гравитационного поля (высота квазигеоида над общеземным эллипсоидом и аномалии силы тяжести).

Входящая в состав ПЗ-90 система координат иногда называется СГС-90 (Спутниковая геоцентрическая система 1990 г.).

Начало системы расположено в центре масс Земли, Ось Zнаправлена к среднему северному полюсу на среднюю эпоху 1900-1905 гг. (МУН). Ось Х лежит в плоскости земного экватора эпохи 1900-1905 гг. и плоскость (ХОZ) определяет положение нуль-пункта принятой системы отсчёта долгот. Ось У дополняет систему до правой. Геодезические координатыB,L,Hотносятся к общему земному эллипсоиду. Ось вращения (малая полуось) совпадает с осьюZ, плоскость начального меридиана с плоскостью (ХОZ).

Спутниковая геоцентрическая система координат закреплена на территории СНГ координатами 30 опорных пунктов космической геодезической сети со средним расстоянием 1-3 тысячи километров. Для системы ПЗ-90 получены параметры связи с системами СК-42 и WGS-84.

Система wgs-84.

Мировая геодезическая система WGS-84 (WorldGeodeticSystem– 84) была разработана Военно-картографическим агентством Министерства обороны США. СистемаWGS-84 реализована путём модификации координатной системыNSWC-9Z-2, созданной по доплеровским измерениям, путём приведения её в соответствие с данными Международного Бюро Времени.

Начало системы WGS-84 находится в центре масс Земли, осьZнаправлена к Условному земному полюсу (УЗП), установленному МБВ на эпоху 1980.0. Ось Х находится на пересечении опорного меридианаWGS-84 и плоскости экватора УЗП. Опорный меридиан является начальным (нулевым) меридианом, определённым МБВ на эпоху 1980.0. Ось У дополняет систему до правой, то есть под углом 90˚ на восток. Начало координатной системыWGS-84 и её оси также служат геометрическим центром и осями референц-эллипсоидаWGS-84. Этот эллипсоид является эллипсоидом вращения. Его параметры почти идентичны параметрам международного эллипсоидаGRS80.

Система WGS-84 используется как система для бортовых эфемерид спутниковGPSс 23 января 1987 г., заменив собою системуWGS-72. Обе системы были получены на основе доплеровских измерений спутниковTRANSIT. Носителями системы были пять станций Контрольного сегментаGPS. С середины 1990-х годов сеть станцийWGS-84 значительно возросла. В 1994 г. МО США ввело реализациюWGS-84, которая полностью базировалась наGPSизмерениях. Эта новая реализация известна какWGS-84(G730), где букваGстоит для обозначенияGPS, а «730» обозначает номер неделя (начиная с 0 h UTS2 января 1994 г.), когда Национальное управление по отображению и картированию начало представлять свои орбитыGPSв этой системе. Следующие реализации этой системы:

WGS-84(G1150) на эпоху 2001.0.

Практически отсчётная основа WGS-84(G1150) идентична отсчётной основеITRF2000.

Системы координат.

Представления людей о форме Земли менялись со временем. В те времена, когда Земля была плоской и покоилась на трёх слонах, особых трудностей с отображением её поверхности не возникало (рис. 1).

Но уже во времена античности пришло понимание шарообразной форме Земли (рис. 2а). А в 17 веке из знания о том, что планета вращается вокруг своей оси логично вытекало следствие о сплюснутости её с полюсов (рис. 2б). Дальнейшие измерения показали, что форма Земли грушевидная, сплюснутая у полюсов и выпяченная на экваторе (рис. 2в).

В результате длительного развития представлений о форме Земли как планеты сложилось понятие о геоиде . Термин предложил в 1873 году немецкий физик Листинг. Поверхность геоида совпадает с поверхностью морей и океанов в их спокойном состоянии и мысленно продолжается под материки. Эта поверхность принимается за математическую поверхность Земли, или "уровень моря", от которого отсчитывают высоты точек земной поверхности (так называемые ортометрические высоты). Но форма геоида весьма сложна и зависит от распределения масс и плотностей в теле Земли. Точно установить положение геоида под материками очень сложно, поскольку измерения силы тяжести выполняются на физической поверхности Земли, а затем довольно сложными приемами редуцируются на поверхность геоида с известной долей неопределенности. Чтобы упростить решение проблемы, М.С.Молоденский вместо геоида предложил использовать поверхность квазигеоида , для описания которого достаточно теоретически расчитанных значений так называемой нормальной силы тяжести на земной поверхности без привлечения данных по распределению масс и плотностей в теле Земли. Фигура квазигеоида совпадает с геоидом на территории Мирового океана и очень близко подходит к нему на суше, отклоняясь не более чем на 2 метра в высоких горах и на несколько сантиметров на равнинной местности (рис. 3). Поверхность квазигеоида не является уровенной . Тем не менее, она принимается отсчетной для определения так называемых нормальных высот, то есть, расстояния от данной точки на физической поверхности до квазигеоида. Однако система нормальных высот не нашла повсеместного применения. Не смотря на сложность математического выражения уровенной поверхности, в большинстве стран принята ортометрическая система высот, в основе готорой лежит тот или иной геоид. Модель такой поверхности можно описать путем вычисления значений потенциала земного притяжения в точках с известными координатами с помощью разложения по сферическим функциям - гармоникам , с последующим выделением поверхности с равными значениями потенциала . Это требует использования в уравнении десятков тысяч коэффициентов. Их количество зависит от желаемого разрешения описываемой модели, то есть, чем их больше, тем точнее модель. Например, в модели используются формула полинома 360 порядка с 65338 коэффициентами. Коэффициенты сферических гармоник для различных моделей геоидов можно скачать с сайта Очевидно, что использовать формулу с таким большим количеством коэффициентов для расчета поверхности достаточно сложно.

Но если в рядах сферических функций оставить гораздо меньшее количество членов, то можно получить более простую модель геоида. Наиболее удобной из таких моделей (математической поверхностью) является двухосный эллипсоид вращения (рис. 4) вследствие того, что он имеет намного более простую математическую форму, доступен для математических расчетов и сильно не отличается от фактической грушевидной формы Земли. Поверхность геоида отличается от поверхности эллипсоида в пределах 100 метров в ту или иную сторону, что гораздо меньше, чем отличия эллипсоида и сферы.

Чтобы с такой поверхностью можно было работать, необходимо знать его основные параметры: большая полуось a , малая полуось b , полярное сжатие (a-b)/a (рис. 4).

В последние пятнадцать лет спутниковые данные позволили, используя новые методы измерений, определить оптимально соответствующий поверхности Земли эллипсоид, который связывает координаты с центром масс Земли. Являясь геоцентрическим (глобальным), этот эллипсоид использует центр масс Земли в качестве начала отсчета. Наиболее широкое использование в настоящее время получил геоцентрический (глобальный) эллипсоид (World Goodetic System 1984). Он служит основой для измерения местоположений во всем мире. Общеземной эллипсоид ориентируется в теле Земли согласно следующим условиям (определяемыми международными геодезическими организациями, которые организуются и направляются Международной ассоциацией геодезии, действующей по инициативе и в рамках Международного геодезического и геофизического союза):

Малая полуось должна совпадать с осью вращения Земли.
Центр эллипсоида должен совпадать с центром масс Земли.
Сумма квадратов отступлений геоида от общеземного эллипсоида должна быть по всей Земле наименьшей из всех возможных

Но требования к общеземным эллипсоидам на практике удовлетворяются с некоторыми допусками из-за отличных друг от друга методов и средств наблюдений и измерений. Поэтому в геодезии и смежных науках могут использоваться различные реализации эллипсоида, параметры которых очень близки, но не совпадают.
Система спутниковой навигации GPS сообщает координаты в системе эллипсоида WGS84 (World Goodetic System 1984). Эллипсоид IERS96 (International Earth Rotation Service 1996), предлагаемый в стандартах Международной службы вращения Земли , рекомендуется использовать при обработке РСДБ-наблюдений . Для геодезических работ рекомендуется использовать средний эллипсоид GRS80 (Geodetic Reference System 1980), принятый Генеральной Ассамблеей Международной ассоциацией геодезии в 1979 г.

Название		Страна/организация	a, км (большая полуось)	b, км (малая полуось)	1/f (сжатие)

				6356,75231424518

И, если глобальный эллипсоид наилучшим образом согласуется с поверхностью геоида в целом, то для того, чтобы описать поверхность Земли для данной конкретной территории, используют так называемые локальные эллипсоиды, которые наилучшим образом согласуются с геоидом на ограниченной части его поверхности (рис. 5).

Ориентирование локального эллипсоида в теле Земли подчиняется следующим требованиям:

Сумма квадратов отступлений геоида от эллипсоида должна быть наименьшей из всех возможных для данной территории
Сумма квадратов уклонений отвесных линий отвесных линий от перпендикуляра (нормали) к поверхности эллипсоида должна быть наименьшей из всех возможных для данной территории

Для точных работ необходимо учитывать положение конкретного эллипсоида по отношению к геоиду. Эта базовая информация, необходимая для преобразования координатных систем и картографических проекций, в основе которых лежат различные эллипсоиды. Существует несколько методов преобразований координатных систем. Самый простой (и наиболее грубый) осуществляется пересчетом географических координат (широты, долготы и высоты) из исходной координатной системы в требуемую путем перевода исходных географических координат в прямоугольные геоцентрические, вычислением величины сдвига центров координат и последующем переводом опять в географические координаты. Такой метод предполагает, что направления осей двух эллипсоидов параллельны, что во многих случаях не соответствует действительности. Для работ на небольшой территории погрешности, вносимые этим предположением, были меньше, чем точность самих данных. Однако, по мере накопления и уточнения данных и повышения точности измерений, стало очевидно, что преобразование по трем параметрам не подходит для больших территорий и глобального использования, если требуется максимальная точность и единый набор параметров преобразования. Молоденский разработал формулы для применения параметров сдвига географических координат (без перевода их в прямоугольные геоцентрические) по трем параметрам (сдвиг по трем осям) и разности между большими полуосями и сжатием исходного эллипсоида и целевого эллипсоида - еще два параметра. Повышенная точность достигается преобразованием Хелмерта с 7-ю параметрами - смещение центра одного эллипсоида относительно другого по трем координатам и поворотом его по трем углам с учетом масштабного коэффициента, показывающего изменение линейного масштаба. Есть две его разновидности, различающиеся присвоением знака для параметров поворота.

Методы преобразования систем координат.

По трем параметрам - ΔX, ΔY, ΔZ, где ΔX ΔY ΔZ - это линейные смещения центров двух систем координат по трем осям в метрах.
По пяти параметрам (метод Молоденского) - ΔX, ΔY, ΔZ, Δа, Δf, где ΔX ΔY ΔZ - это линейные смещения центров двух эллипсоидов по трем осям в метрах, Δа - разности между большими полуосями эллипсоидов, Δf - разности между величиной сжатия двух эллипсоидов)
По семи параметрам - ΔX, ΔY, ΔZ, ΩX, ΩY, ΩZ, Δs, где ΔX ΔY ΔZ - это линейные смещения центров двух эллипсоидов по трем осям в метрах, ΩX ΩY ΩZ - это углы поворота омега, фи и каппа осей исходного эллипсоида, Δs - это масштабный коэффициент, показывающий изменение линейного масштаба

Такие линейные и угловые смещения референц-эллипсоидов относительно центра масс Земли в англоязычной литературе принято называть словом Datum. В отечественной геодезии применяют термин "геодезические даты". Это так называемые исходные данные, необходимые для задания начала отсчета в географической системе координат. Они определяются для некой реальной точки на поверхности Земли, для которой фиксируются значения широты и долготы, производится совмещение нормали к поверхности референц-эллипсоида и отвесной линии в данной точке, а плоскость меридиана устанавливается параллельно оси вращения Земли. Таким образом, резюмируя, можно сказать, что географическая координатная система - это совокупность параметров, определяющих форму эллипсоида и его положение в теле Земли (рис. 6).


ГОСТ
Projection Utility в ArcView, ERDAS Imagine (преобразование Молоденского)
ERDAS Imagine (преобразование по 7 параметрам)
Image Processor (преобразование по 7-ми параметрам)

Проекции.

Положение объекта на какой-либо поверхности или в пространстве определяется с помощью угловых или линейных величин, называющихся координатами. В системе географических координат положение любой точки земной поверхности относительно начала координат определяется указанием угловых величин широты и долготы. Географическую систему координат можно изобразить на плоскости в виде сетки с ячейками одинакового размера, где по оси ординат откладывается широта, а по оси абсцисс - долгота (рис. 7).

Однако помимо сферической системы координат, использующей угловые кординаты, существуют и другие, позволяющие описывать не только абсолютные положения объектов, но и метрические характеристики (длина, площадь) и отношения с другими объектами в географическом пространстве. Угловые величины не удобны для этих целей, поскольку не имеют стандартной длины - величина градуса в метрах меняется в зависимости от широты местности ( можно воспользоваться калькулятором для пересчета угловых единиц в линейные). Для преодоления этих трудностей, данные переводят из угловых географических координат в прямоугольные спроектированные координаты.

Спроектированная система координат - прямоугольная система, с началом координат в определенной точке, чаще всего имеющей координаты 0,0. Спроектированная система координат связана с географической набором специальных формул - проекцией (рис. 8).

Рисунок 8. Связь между спроектированной и географической системами координат

То есть, другими словами, проекция - это математически выраженный способ отображения (пример) поверхности Земли или других небесных тел, принимаемых за эллипсоид, сферу или другие регулярные поверхности, на плоскости (рис. 9).

Рисунок 9. Спроектированная система координат (11 Кб).

Но даже аппроксимированную до эллипсоида, поверхность Земли нельзя отобразить на плоскости с сохранением всех пространственных отношений одновременно: углов между направлениями, расстояний и площадей. Любой карте присущи искажения длин, площадей, углов и форм. Искажения длин на карте выражается в том, что масштаб длин на ней изменяется при переходе от одной точки к другой, а также при изменении направления в данной точке. Искажения площадей выражаются в том, что масштаб площадей в разных местах карты различен и нарушается соотношения площадей различных географических объектов. Искажения углов заключаются в том, что углы между направлениями на карте не равны соответствующим углам на поверхности. Искажения форм заключаются в том, что фигуры объектов на карте не подобны фигурам соответствующих географических объектов на местности. Все виды искажений на карте связаны друг с другом и изменение одного из них влечет за собой изменение других. Особый характер имеет связь между искажением углов и площадей. Они на карте находятся как бы в противоречии друг с другом и уменьшение одного из них влечет увеличение другого.

Наиболее полно все виды искажений в данной точке карты можно представить в виде эллипса искажений (пакет для построения эллипсов искажений можно скачать ). Форма эллипса характеризует искажение углов и форм - они искажены тем больше, чем больше эллипс отличается от окружности. Площадь эллипса пропорциональна искажению площадей, и чем она сильнее отличается от площади эллипса на линии (в точке) нулевых искажений, тем больше искажены площади. По характеру искажений различают следующие картографические проекции:

Равновеликие. На карте отсутствуют искажения площадей. Значительны искажения углов и форм. Карты, составленные в таких проекциях, удобны для определения площадей (рис. 10).
Равноугольные. Отсутствуют искажения углов и формы небольших объектов. Весьма удобны для решения навигационных задач. Угол на местности всегда равен углу на карте, линия прямая на местности, прямая на карте. Главным примером данной проекции является поперечно-цилиндрическая Проекция Меркатора (1569г) и до сих пор она используется для морских навигационных карт (рис. 11)
Равнопромежуточные. Маштаб длин по одному из главных направлений (взаимно перпендикулярные направления, по одному из которых масштаб длин имеет наибольшее, а по другому - наименьшее значение) сохраняется постоянным. Искажения углов и площадей как бы уравновешиваются. Различают равнопромежуточные проекции по меридианам или параллелям. В них искажения длин отсутствуют по одному из направлений: либо вдоль меридиана, либо вдоль параллели (рис. 12)
Произвольные. На карте в любых соотношениях имеются искажения и углов, и площадей. Но эти искажения распределяются по карте наиболее выигрышным образом, при этом достигается некий компромисс. Например, минимальные искажения приходятся на центральную часть карты, а все сжатия и растяжения "сбрасываются" к её краям.

По виду вспомогательной поверхности (поверхности, на которую проецируется земной эллипсоид или шар при его отображении на плоскость) различают проекции:

Азимутальные (рис. 13), в которых поверхность эллипсоида или шара переносится на касательную к ней или секущую её плоскость.

Цилиндрические (рис. 14), в которых поверхность эллипсоида или шара переносится на боковую поверхность касательного к ней или секущего её цилиндра, после чего последний разрезается по образующей и развертывается в плоскость.

Конические (рис. 15), в которых поверхность эллипсоида или шара переносится на боковую поверхность касательного к ней или секущего её конуса, после чего последний разрезается по образующей и развертывается в плоскость.

По ориентировки вспомогательной поверхности относительно полярной оси или экватора эллипсоида или шара различают проекции (рис. 13-15)

Нормальные, в которых ось вспомогательной поверхности совпадает с осью земного эллипсоида или шара; в азимутальных проекциях плоскость перпендикулярна полярной оси.

Поперечные, в которых ось вспомогательной поверхности лежит в плоскости экватора земного эллипсоида или шара и перпендикулярна полярной оси; в азимутальных проекциях плоскость перпендикулярна нормали, лежащей в экваториальной плоскости поверхности.

Косые, в которых ось вспомогательной поверхности совпадает с нормалью, находящейся между полярной осью и плоскостью экватора земного эллипсоида или шара; в азимутальных проекциях плоскость к этой нормали перпендикулярна

По виду нормальной картографической сетки проекции разделяются на:

Азимутальные, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, а меридианы - прямыми, исходящими из общего центра параллелей под углами, равными разницы их долгот (рис. 16).

Конические, в которых параллели изображаются дугами концентрических окружностей, а меридианы - прямыми, расходящимися из общего центра параллелей под углами, пропорциональными разности их долгот. В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конических проекциях (рис. 16).

Цилиндрические (рис. 16), в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - перпендикулярными к ним прямыми, в общем случае не равностоящими; известны обобщенные цилиндрические проекции, в которых расстояния между меридианами есть более сложная функция долготы. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюгера - равноугольная поперечно-цилиндрическая - применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций.

Псевдоазимутальные (рис. 16), в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы - кривыми, сходящимися в точке полюса; средний меридиан - прямой.

Псевдоконические (рис. 16), в которых параллели изображаются дугами концентрических окружностей, средний меридиан - прямой, проходящий через их общий центр, а остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1: 126 000) карта Европейской части России.

Псевдоцилиндрические (рис. 16), в которых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямая, перпендикулярная к параллелям, а остальные меридианы - кривые или прямые, наклоненные к параллелям.

Поликонические (рис. 16), в которых параллели изображаются дугами эксцентрических окружностей с радиусами тем большим, чем меньше их широта, средний меридиан - прямой, на которой расположены центры всех параллелей, остальные меридиаными - кривые. Одна из поликонических проекций рекомендована для международной (1: 1 000 000) карты.

По способу получения различают проекции

Перспективные, которые получают перспективным проецированием точек поверхности на плоскость, поверхность цилиндра или конуса. В зависимости от того, где расположен центр проецирования, получают проекции гномонические - проецирование из центра шара, стереографические - проецирование с поверхности шара, внешние - центр проецирования находится за пределами шара на конечном расстоянии от него, ортографические - проецирование из бесконечности параллельными прямыми лучами (рис. 17).

Производные, которые получают преобразованием одной или нескольких ранее известных проекций путем комбинирования и обобщения их уравнений, деформацией проекций в одном или нескольких направлениях и т.п.

Составные, в которых отдельные части картографической сетки построены в разных проекциях или в одной проекции, но с разными параметрами.

Выбор проекции.

На выбор проекций влияет много факторов, которые можно группировать следующим образом:

− географические особенности картографируемой территории, её положение на земном шаре, размеры и конфигурация;

− назначение, масштаб и тематика карты;

− условия и способы использования карты, задачи, которые будут решаться по ней, требования к точности результатов измерений.

Для карт мира преимущественно используют цилиндрические и псевдоцилиндрические проекции (рис. 18-19), имеющие сетки с прямолинейными и параллельными друг другу параллелями, что ценно при изучении явлений широтной зональности. Чтобы уменьшить искажения в высоких широтах, можно строить проекцию на секущем цилиндре. Псевдоцилиндрические проекции по сравнению с цилиндрическими дают в высоких широтах меньшие искажения площадей, но увеличивают искажения углов.

Карты полушарий естественно строить в азимутальных проекциях (рис. 20). Ранее широко применялись равноугольная стереографическая проекция и равновеликая Ламберта. Первой из них на краях полушария свойственны большие искажения площадей. Поэтому в настоящее время для учебных карт предлагают произвольные азимутальные проекции, промежуточные по величине искажений.
Для карт отдельных материков (Европы, Азии, Северной Америки, Южной Америки, Австралии с Океанией) применяют преимущественно равновеликую косую азимутальную проекцию Ламберта с точкой нулевых искажений в центре изображаемого материка (рис. 21). Для Африки косая проекция заменяется экваториальной. В азимутальной проекции искажения нарастают по мере удаления от центра проекции и потому достигают наибольшей величины в углах прямоугольной рамки карты. Так, на карте Азии в пределах материка угловые искажения достигают 15°.

Карты России составляются главным образом в нормальных конических проекциях (рис. 22). Все нормальные конические проекции в их применения для карт России не позволяют показать точку полюса и вследствие значительной части кривизны параллелей как бы поднимают восточные и западные части СССР, что нарушает зрительное представление о широтных зонах.

Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрических задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей каких-либо территорий - в равновеликих.

В выборе проекций большую роль играет математический момент - величина искажений. Но этот признак не всегда решающий. Ярким примером этому служит использование для морских навигационных карт проекции Меркатора, которая при сохранении главного масштаба на экваторе преувеличивает площади на параллели 60° в 4 раза, а на параллели 80° более чем в 30 раз. Но в этой проекции курсы корабля изображаются прямыми линиями, а учет искажений длин, необходимый при определении пройденных расстояний, не вызывает затруднений. Угол, измеренный на ней между направлением меридиана и направлением на конечный пункт, точно соответствует курсу корабля. Хотя это и не будет кратчайшим путём. Одна из наиболее удобных проекций - гномоническая - уникальна в том отношении, что любой большой круг сферы (и дуга большого круга) изображается в ней прямой линией. Так как дуги больших кругов являются линиями кратчайших расстояний на карте, то по карте мелкого масштаба, составленной в такой проекции, можно легко находить (по линейке) кратчайшие пути между двумя пунктами; однако необходимо иметь в виду, что дуга большого круга не соответствует постоянному направлению, измеренному по компасу (рис. 23).

Рисунок 24. Проекции Гаусса-Крюгера (на касательный цилиндр) и UTM (секущий цилиндр) и 6-ти градусные зоны в упомянутых проекциях (10 Кб). Зона - это участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами Проекция делит земной эллипсоид на 60 зон шириной 6° (рис. 25). Зоны нумеруются с запада на восток, начиная с 0°: зона 1 простирается с меридиана 0° до меридиана 6°, её центральный меридиан 3°. Зона 2 - с 6° до 12°, и т.д. (рис. 25). Нумерация номенклатурных листов начинается с 180°, например, лист N-39 находится в 9-й зоне. Связь номера зоны (N) и долготы осевого меридиана (L) осуществляется по формуле:

Цилиндр разворачивают в плоскость и накладывают прямоугольную километровую сетку. За ось OX принимают изображение осевого меридиана зоны (положительное направление оси OX - на север), за ось OY принимают изображение экватора (положительное направление оси OY - на восток).

В каждой из шестиградусных зон своя система прямоугольных координат (рис. 26). Вертикальные линии сетки параллельны центральному меридиану. Для того, чтобы все прямоугольные координаты были положительны, вводится восточное смещение (false easting), равное 500 000 м, т. е. координата Y на центральном меридиане равна 500 000 м. Для определенности, чтобы только по численному значению координаты Y можно было определить, к какой зоне относятся эти значения, к ним слева приписывается номер зоны.

Рисунок 27. 6-ти градусная зона и один из листов карты (N-37) масштаба 1:1000000 (7,5 Кб). Набор листов карты, отвечающий по долготе одной зоне, имеет одну цифру в номенклатуре, но отличается буквой, обозначающей пояс по широте. В одной трапеции карты масштаба 1:1000000 содержатся 4 трапеции масштаба 1:500000, 36 трапеций масштаба 1:200000 и 144 трапеции масштаба 1:100000 (рис. 28). Карты масштаба 1:500000 обозначаются прописными буквами русского алфавита А, Б, В, Г, которые записываются после номенклатуры листа карты масштаба 1:1000000, например N37-В. Листы карты масштаба 1:200000 обзначаются римскими цифрами I - XXXVI, которые ставятся после номенклатуры листа карты масштаба 1:1000000, например, N37-XXVII. Трапеции карты масштаба 1:100000 обозначаются арабскими цифрами от 1 до 144, которые ставятся после номенклатуры листа карты масштаба 1:1000000, например N37-120.

Лист карты масштаба 1:100000 положен в основу разграфки и номенклатуры карт более крупного масштаба (рис. 29). В одном листе карты масштаба 1:100000 содержатся 4 листа масштаба 1:50000, которые обозначаются прописными буквами русского алфавита А, Б, В, Г, например, N37-120-Б. Лист карты масштаба 1:50000 содержит 4 листа карты масштаба 1:25000, которые обозначаются строчными буквами русского алфавита а, б, в, г, например, N37-120-Б-г. Лист карты масштаба 1:25000 содержит 4 листа карты масштаба 1:10000, которые обозначаются арабскими цифрами 1,2,3,4, например, N37-120-Б-г-4. Кроме того, лист карты масштаба 1:100000 содержит 256 листов карты мастаба 1:5000, которые обозначаются порядковыми арабскими цифрами от 1 до 256, взятыми в скобки, например, N37-120-(72). Лист карты масштаба 1:5000 содержит 9 листов мастшаба 1:2000, которые обозначаются русскими строчными буквами от а до и, например, N37-120-(72-е).
http://www.astronet.ru/db/msg/1169819/node2.html (Пантелеев В.Л., курс лекций "Теория фигуры Земли")

http://ssga.ru/metodich/geodesy_ep/contents.html (Дьяков Б.Н, электронная версия книги "Геодезия")

http://ne-grusti.narod.ru/Glossary/projections.html#zone

Всем привет!
Сегодня я расскажу тебе, %USERNAME%, о башмаках и сургуче, капусте, королях координатах, проекциях, геодезических системах и совсем чуть-чуть о веб-картографии. Устраивайся поудобнее.

Как говорил ещё Артур Кларк, любая достаточно развитая технология неотличима от магии. Так и в веб-картографии - я думаю, все давно привыкли пользоваться географическими картами, но далеко не каждый представляет себе, как это всё работает.

Вот, казалось бы, простая вещь - географические координаты. Широта и долгота, что может быть проще. А вот представьте, что вы очутились на необитаемом острове. Смартфон утонул, а других средств связи у вас нет. Остаётся только написать письмо с просьбой о помощи и по старинке выбросить его в море в запечатанной бутылке.

Вот только незадача - вы совершенно не знаете, где находится ваш необитаемый остров, а без указания координат никто вас не найдёт, даже если выловит ваше письмо. Что делать? Как определить координаты без GPS?

Итак, немного теории для начала. Чтобы сопоставить точкам на поверхности сферы координаты, необходимо задать начало отсчета - фундаментальную плоскость для отсчёта широт и нулевой меридиан для отсчёта долгот. Для Земли обычно используются плоскость экватора и гринвичский меридиан соответственно.

Широтой (обычно обозначается φ) называют угол между направлением на точку из центра сферы и фундаментальной плоскостью. Долготой (обычно обозначается θ или λ) называют угол между плоскостью проходящего через точку меридиана и плоскостью нулевого меридиана.

Как же определить свою широту, т.е. угол между плоскостью земного экватора и точкой, в которой ты находишься?

Посмотрим на тот же чертёж под другим углом, спроецировав его на плоскость нашего меридиана. Добавим также к чертежу плоскость горизонта (касательную плоскость к нашей точке):

Видим, что искомый угол между направлением на точку и плоскостью экватора равен углу между плоскостью горизонта и осью вращения Земли.

Итак, как же нам найти этот угол? Вспомним красивые картинки звёздного неба с большой выдержкой:

Вот эта точка в центре всех описываемых звездами окружностей - полюс мира. Измерив её высоту над горизонтом, мы получим широту точки наблюдения.

Остаётся вопрос, как найти полюс мира на звёздном небе. Если вы в Северном полушарии, то всё довольно просто:

Найдите ковш Большой Медведицы;
- проведите мысленно прямую через две крайние звезды ковша - Дубхе и Мерак;
- эта прямая укажет вам на ручку ковша Малой Медведицы. Крайняя звезда этой ручки - Полярная - почти в точности совпадает с Северным Полюсом мира.

Полярная звезда всегда находится на севере, а её высота над горизонтом равна широте точки наблюдения. Если вас угораздит попасть на Северный полюс, Полярная звезда будет у вас точно над головой.

В Южном полушарии всё не так просто. Рядом с южным полюсом мира нет крупных звёзд, и вам придётся найти созвездие Южный Крест, мысленно продлить вниз его бОльшую перекладину и отсчитать 4.5 её длины - где-то в этой области будет находиться южный полюс мира.

Само созвездие найти легко - вы много раз видели его на флагах разных стран - Австралии, Новой Зеландии и Бразилии, например.

С широтой определились. Перейдём к долготе. Как определить долготу на необитаемом острове?

На самом деле, это очень непростая проблема, потому что, в отличие от широты, точка отсчета долготы (нулевой меридиан) выбирается произвольным образом и ни к каким наблюдаемым ориентирам не привязана. Испанский король Филипп II в 1567 году назначил солидное вознаграждение тому, кто предложит метод определения долготы; в 1598 году при Филиппе III оно доросло до 6 тысяч дукатов единовременно и 2 тысячи дукатов ренты пожизненно - очень приличная сумма по тем временам. Задача определения долготы в течение нескольких десятилетий была идеей фикс математиков, как теорема Ферма в 20-м веке.

В итоге, долготу стали определять с помощью вот этого прибора:

По сути, этот прибор остаётся самым надёжным способом определения долготы (не считая GPS/Глонасс) и в наши дни. Этот прибор… (барабанная дробь)… морской хронометр.

В самом деле, при изменении долготы меняется часовой пояс. По разнице локального времени и гринвичского легко определить собственную долготу, причём очень точно. Каждая минута разницы времён соответствует 15 угловым минутам долготы.

Соответственно, если у вас есть часы, настроенные по гринвичскому времени (на самом деле, неважно по какому - достаточно знать часовой пояс того места, по времени которого идут ваши часы) - не спешите их переводить. Дождитесь местного полдня, и разница времён подскажет вам долготу вашего острова. (Определить момент полдня очень легко - следите за тенями. В первой половине дня тени укорачиваются, во второй - удлиняются. Момент, когда начали удлиняться тени - астрономический полдень в данной местности.)

Оба метода определения координат, кстати, хорошо описаны в романе Жюля Верна «Таинственный остров».

Координаты на геоиде

Итак, мы сумели определить свою широту и долготу с погрешностью в несколько градусов, т.е. пару сотен километров. Для записки в бутылке такой точности, быть может, ещё хватит, а вот для географических карт уже нет.

Частично эта погрешность обусловлена несовершенством используемых инструментов, но есть и другие источники ошибок. Землю можно считать шаром только в первом приближении - вообще же Земля совсем не шар, а геоид - тело, больше всего похожее на сильно неровный эллипсоид вращения. Для того, чтобы точно приписать каждой точке земной поверхности координаты нужны правила - каким образом конкретную точку на геоиде спроецировать на сферу.

Такой набор правил должен быть универсальным для всех географических карт в мире - иначе одни и те же координаты будут в разных системах обозначать разные точки земной поверхности. В настоящий момент практически все географические сервисы используют единую систему присвоения точке координат - WGS 84 (WGS = World Geodetic System, 84 - год принятия стандарта).

WGS 84 определяет т.н. референсный эллипсоид - повехность, к которой приводятся координаты для удобства вычислений. Параметры этого эллипсоида следующие:

Большая полуось (экваториальный радиус): a = 6378137 метров;
- сжатие: f = 1 / 298.257223563.

Из экваториального радиуса и сжатия можно получить полярный радиус, он же малая полуось (b = a * (1 - f) ≈ 6356752 метра).

Любой точке земной поверхности, таким образом, ставится в соответствие три координаты: долгота и широта (на референсном эллипсоиде) и высота над его поверхностью. В 2004 году WGS 84 был дополнен стандартом Earth Gravitational Model (EGM96), который уточняет уровень моря, от которого отсчитываются высоты.

Интересно, что нулевой меридиан в WGS 84 вовсе не гринвичский (проходящий через ось пассажного инструмента Гринвичской обсерватории), а т.н. IERS Reference Meridian, который проходит на 5.31 угловой секунды восточнее гринвичского.

Плоские карты

Допустим, мы научились определять свои координаты. Теперь нужно научиться отображать накопленные географические знания экране монитора. Да вот незадача - сферических мониторов в мире как-то не очень много (не говоря уже о мониторах в форме геоида). Нам нужно каким-то образом отобразить карту на плоскость - спроецировать.

Один из самых простых способов - спроецировать сферу на цилиндр, а потом развернуть этот цилиндр на плоскость. Такие проекции называются цилиндрическими, их характерное свойство - все меридианы отображаются на карте вертикальными прямыми.

Проекций сферы на цилиндр можно придумать много. Наиболее известная из цилиндрических проекций - проекция Меркатора (по имени широко использовавшего её в своих картах фламандского картографа и географа Герарда Кремера, более известного под латинизированной фамилией Меркатор).

Математически она выражается следующим образом (для сферы):

X = R · λ;
y = R · ln(tg(π/4 + φ/2), где R - радиус сферы, λ - долгота в радианах, φ - широта в радианах.

На выходе получаем обычные декартовы координаты в метрах.

Карта в проекции Меркатора выглядит вот так:

Легко заметить, что проекция Меркатора очень существенно искажает формы и площади объектов. Например, Гренландия на карте занимает в два раза большую площадь, чем Австралия - хотя в реальности Австралия в 3.5 раза больше Гренландии.

Чем же так хороша эта проекция, что стала так популярна несмотря на существенные искажения? Дело в том, что у проекции Меркатора есть важное характеристическое свойство: она сохраняет углы при проецировании.

Допустим, мы хотим проплыть от Канарских островов к Багамским. Проведём прямую линию на карте, соединяющую точки отправления и прибытия.

Так как все меридианы в цилиндрических проекциях параллельны, а проекция Меркатора ещё и сохраняет углы, то наша линия пересечёт все меридианы под одинаковым углом. А это означает, что проплыть вдоль этой линии нам будет очень просто: достаточно сохранять на всём протяжении путешествия один и тот же угол между курсом судна и направлением на полярную звезду (или направлением на магнитный север, что менее точно), причём нужный угол можно легко измерить банальным транспортиром.

Подобные линии, пересекающие все меридианы и параллели под одинаковым углом, называются локсодромами. Все локсодромы в проекции Меркатора изображаются прямыми на карте, и именно это замечательное свойство, крайне удобное для морской навигации, и принесло меркаторовской проекции широкую популярность среди моряков.

Следует заметить, что сказанное не совсем верно: если мы проецируем сферу, а движемся по геоиду, то путевой угол определится не совсем верно и приплывём мы не совсем туда. (Расхождение может быть довольно заметным - всё-таки, экваториальный и полярный радиусы Земли различаются более чем на 20 километров.) Эллипсоид тоже можно спроецировать с сохранением углов, хотя формулы для эллиптической проекции Меркатора значительно сложнее, чем для сферической (обратное преобразование вообще не выражается в элементарных функциях). Полное и подробное описание математики проекции Меркатора на эллипсоиде можно найти .

Когда мы в Яндексе начинали делать свои карты, нам показалось логичным использовать эллиптическую меркаторовскую проекцию. К сожалению, многим другим картографическим веб-сервисам так не показалось, и они используют сферическую проекцию. Поэтому долгое время нельзя было показывать поверх карты Яндекса тайлы, скажем, OSM - они расходились по оси y, чем ближе к полюсу - тем заметнее. В версии API 2.0 мы решили не плыть против течения, и предоставили возможность как работать с картой в произвольной проекции, так и показывать на карте одновременно несколько слоёв в разных проекциях - как удобнее.

Геодезические задачи

Путешествовать по локсодроме очень просто, но за эту простоту приходится платить: локсодрома отправит вас в путешествие по неоптимальному маршруту. В частности, путь вдоль параллели (если это не экватор) не является кратчайшим!

Для того, чтобы найти кратчайший путь на сфере, нужно провести окружность с центром в центре сферы, проходящую через эти две точки (или, что то же самое, пересечь сферу с плоскостью, проходящей через две точки и центр сферы).

Невозможно спроецировать сферу на плоскость так, чтобы кратчайшие пути при этом переходили в прямые отрезки; проекция Меркатора, разумеется, не исключение, и ортодромы в ней выглядят сильно искаженными дугами. Некоторые пути (через полюс) в проекции Меркатора корректно изобразить невозможно:

Примерно так проецируется кратчайший путь из Анадыря в Кардифф: сначала улетаем в бесконечность строго на север, а потом возвращаемся из бесконечности строго на юг.

В случае движения по сфере кратчайшие пути строятся довольно просто с помощью аппарата сферической тригонометрии, а вот в случае эллипсоида задача существенно усложняется - кратчайшие пути не выражаются в элементарных функциях.

(Замечу, что эта проблема, конечно же, не решается выбором сферической проекции Меркатора - построение кратчайших путей осуществляется на референсном эллипсоиде WGS 84 и никак не зависит от параметров проекции.)

В ходе разработки API Яндекс.Карт версии 2.0 перед нами встала непростая задача - параметризовать построение кратчайших путей так, чтобы:
- можно было легко пользоваться встроенными функциями для расчета кратчайших путей на эллипсоиде WGS 84;
- можно было легко задать собственную систему координат с собственными методами расчета кратчайших путей.

API Карт ведь можно использовать не только для показа карт земной поверхности, но и, скажем, поверхности Луны или какого-нибудь игрового мира.

Для построения кратчайших путей (геодезических линий) в общем случае используется следующее простенькое и незатейливое уравнение:

Здесь - т.н. символы Кристоффеля, выражающиеся через частные производные фундаментального метрического тензора.

Заставлять пользователя ТАКИМ образом параметризовать свою область картографирования нам показалось несколько негуманным:).

Поэтому мы решили пойти другим путём, более приближенным к Земле и потребностям наших пользователей. В геодезии проблемы построениях кратчайших путей составляют т.н. первую (прямую) и вторую (обратную) геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача: дана исходная точка, направление движения (обычно - путевой угол, т.е. угол между направлением на север и направлением движения) и пройденное расстояние. Требуется найти конечную точку и конечное направление движения.

Обратная геодезическая задача: даны две точки. Требуется найти расстояние между ними и направление движения.

Обратите внимание, что направление движения (путевой угол) - непрерывная функция, которая изменяется на протяжении всего пути.

Имея в своём распоряжении функции решения этих задач, мы с их помощью можем решить необходимые нам кейсы в API Карт: вычисление расстояний, отображение кратчайших путей и построение окружностей на земной поверхности.

Мы заявили следующий интерфейс для пользовательских координатных систем:

SolveDirectProblem(startPoint, direction, distance) - Решает так называемую первую (прямую) геодезическую задачу: где мы окажемся, если выйдем из указанной точки в указанном направлении и пройдём, не сворачивая, указанное расстояние.

SolveInverseProblem(startPoint, endPoint, reverseDirection) - Решает так называемую вторую (обратную) геодезическую задачу: построить кратчайший маршрут между двумя точками на картографируемой поверхности и определелить расстояние и направление движения.

GetDistance(point1, point2) - возвращает кратчайшее (вдоль геодезической линии) расстояние между двумя заданными точками (в метрах).

(Функция getDistance выделена отдельно для тех случаев, когда расчет расстояний можно выполнить намного быстрее, чем решение обратной задачи.)

Этот интерфейс показался нам достаточно простым для реализации в случаях, если пользователь картографирует какую-то нестандартную поверхность или пользуется нестандартными координатами. Со своей стороны мы написали две стандартных реализации - для обычной декартовой плоскости и для референсного эллипсоида WGS 84. Для второй реализации мы использовали формулы Винсенти . Кстати, непосредственно реализовывал эту логику , передаём ему привет:).

Все эти геодезические возможности доступны в API Яндекс.Карт, начиная с версии 2.0.13. Welcome!

Теги: