Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки
В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Понятие вынесения множителя за скобки
Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.
Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .
В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.
Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 (3 + 4) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .
Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · (b + c) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.
Правило вынесения общего множителя за скобки
Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:
Определение 1
Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.
Пример 1
Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · (7 + 2 − 5) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · (7 + 2 − 5) .
Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · (3 − 7) + 2 , в выражении (x 2 + y) · x · y − (x 2 + y) · x 3 – общий множитель (x 2 + y) и получить в итоге (x 2 + y) · (x · y − x 3) .
Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.
Пример 2
Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · (3 · x + 2 · y) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · (x 2 + x + 3) .
Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как (− 1) · 5 + (− 1) · 12 · x − (− 1) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − (5 + 12 · x − 4 · x · y) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.
В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки
Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Разложить на множители многочлен:
А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 - 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 - 18а 2 b 3 с;
Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.
б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).
в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных - наименьшую степень
из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:
4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:
12аb 4 - 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b - 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b - Зас).
д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).
Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.
Замечание
. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.
Например:
Пример 2. Разложить на множители:
Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .
Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.
В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .
Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = - х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 - 5).
Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 - 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .
Решение. В примере 1д) мы получили, что
5а 4 - 10а 3 + 15а 8 - 5а 3 (а - 2 + За 2).
Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а - 2 + За 2 .
Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.
Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, - с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .
А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.
Пример 4. Разложить на множители:
2x(x-2) + 5(x-2) 2 .
Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:
2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2ху + 5у 2 .
Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:
2ху + 5у 2 - у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:
у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).
В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую
2х(х - 2) + 5(х - 2) 2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).
Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки§ 10. Разложение многочленов на множители способом вынесения общего множителя за скобки
В 6 классе мы раскладывали составные числа на простые множители, то есть подавали натуральные числа в виде произведения. Например, 12 = 2 2 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 др.
Представить в виде произведения можно и некоторые многочлены. Это означает, что эти многочлены можно раскладывать па множители. Например, 5а: - 5у - 5(х - y); а 3 и 3а 2 = а 2 (а + 3) и тому подобное.
Рассмотрим один из способов разложения многочленов на множители - вынесение общего множителя за скобки. Одним из известных нам примеров такого разложения является распределительная свойство умножения a(b + с) = ab + ас, если его записать в обратном порядке: аb + ас - a(b + с). Это означает, что многочлен аb + ас разложили на два множителя а и b + с.
Во время разложения на множители многочленов с целыми коэффициентами множителем, который выносят за скобки, выбирают так, чтобы члены многочлена, который останется в скобках, не имели общего буквенного множителя, а модули их коэффициентов не имели общих делителей.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Разложить выражение на множители:
3) 15а 3 b - 10а 2 b 2 .
Р а з в’ я з а н н я.
1) Общим множителем является число 4, поэтому
8m + 4 = 4 . 2m + 4 ∙ 1 = 4(2m + 1).
2) Общим множителем является переменная а, поэтому
at + 7ap = a(t + 7p).
3) В данном случае общим числовым множителем есть наибольший общий делитель чисел 10 и 15 - число 5, а общим буквенным множителем является одночлен а 2 b. Итак,
15а 3 b - 10а 2 b 2 = 5а 2 b ∙ 3а - 5a 2 b ∙ b = 5а 2 b(3а - 2b).
Пример 2. Разложить па множители:
1) 2m(b - с) + 3р(b - с);
2) х(у - t) + c(t - в).
Р а з в ’ я з а н н я.
1) В данном случае общим множителем является двочлен b = c.
Следовательно, 2m(b - с ) + 3р(b - c ) = (b - с)(2m + 3р).
2) Слагаемые имеют множители в - t и t - в, которые являются противоположными выражениями. Поэтому во втором слагаемого вынесем за скобки множитель -1, получим: c(t - в) = -с(у - t).
Следовательно, х(у - t) + c(t - в) = х(у - t) - с(у - t) = (у - t) (х - с).
Для проверки правильности разложения на множители следует перемножить полученные множители. Результат должен равняться данном многочлена.
Разложение многочленов на множители часто упрощает процесс решения уравнения.
Пример 3. Найти корни уравнения 5х 2 - 7х = 0.
Р а з в ’ я з а н н я. Разложим левую часть уравнения на множители вынесением общего множителя за скобки: х(5х - 7) = 0. Учитывая, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, будем иметь: х = 0 или 5х - 7 = 0, откуда х = 0 или х = 1,4.
Ответ: 0; 1,4.
Какое преобразование называют разложением многочлена на множители? На примере многочлена ab + ас объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.
- (Устно) Найдите общий множитель в выражении:
- (Устно) Разложите на множители:
- Вынесите за скобки общий множитель:
- (Устно) правильно выполнило разложения на множители:
1) 7а + 7 = 7а;
2) 5m - 5 = 5(m - 5);
3) 2а - 2 = 2(а - 1);
4) 7ху - 14х = 7х - (у - 2);
5) 5mn + bn = 5m(n + 3);
6) 7ab + 8cb = 15b(a + c)?
- Запишите сумму в виде произведения:
- Разложите на множители:
- Разложите на множители:
4) 7а + 21ау;
5) 9х 2 - 27х;
6) 3а - 9а 2 ;
8) 12ах - 4а 2 ;
9) -18ху + 24в 2 ;
10) а 2 b - ab 2 ;
11) рм - р 2 m;
12) -х 2 y 2 - ху.
- Вынесите за скобки общий множитель:
4) 15ху + 5х;
6) 15m - 30m 2 ;
7) 9xy + 6х 2 ;
9) -p 2 q - рq 2 .
- Разложите на множители:
5) 3b 2 - 9b 3 ;
7) 4y 2 + 12y 4 ;
8) 5m 5 + 15m 2 ;
9) -16a 4 - 20a.
- Разложите на множители:
4) 18p 3 - 12p 2 ;
5) 14b 3 + 7b 4 ;
6) -25m 3 - 20m.
- Запишите сумму 6x 2 в + 15x в виде произведения и найдите его значение, если х = -0,5, у = 5.
- Запишите выражение 12а 2 b - 8а в виде произведения и найдите его значение, если а = 2, 6 = .
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) а 4 + а 3 - а 2 ;
2) m 9 - m 2 + m 7 ;
3) b 6 + b 5 - b 9 ;
4) -в 7 - в 12 - в 3 .
- Представьте в виде произведения:
1) р 7 + р 3 - р 4 ;
2) а 10 - a 5 + а 8 ;
3) b 7 - b 5 - b 2 ;
4) -m 8 - m 2 - m 4 .
- Вычислите удобным способом:
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73;
2) 119 ∙ 37 - 19 ∙ 37.
- Решите уравнение:
1) x 2 - 2x = 0;
2) x 2 + 4х = 0.
- Найдите корни уравнения:
1) х 2 + 3x = 0;
2) х 2 -7х = 0.
1) 4а 3 + 2а 2 - 8а;
2) 9b 3 - 3b 2 - 27b 6 ;
3) 16m 2 - 24m 6 - 22m 3 ;
4) -5b 3 - 20b 2 - 25b 5 .
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) 5с 8 - 5с 7 + 10с 4 ;
2) 9m 4 + 27m 3 - 81m;
3) 8р 7 - 4р 5 + 10р 3 ;
4) 21b - 28b 4 - 14b 3 .
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) 7m 4 - 21m 2 n 2 + 14m 3 ;
2) 12а 2 b - 18аb 2 + 30аb 3 ;
3) 8х 2 у 2 - 4х 3 в 5 + 12x 4 в 3 ;
4) 5p 4 q 2 - 10p 2 q 4 + 15рq 3 .
- Разложите многочлен на множители:
1) 12а - 6а 2 х 2 - 9а 3 ;
2) 12b 2 в - 18b 3 - 30b 4 в;
3) 16bx 2 - 8b 2 х 3 + 24b 3 х;
4) 60m 4 n 3 - 45m 2 n 4 + 30m 3 n 5 .
- Вычислите удобным способом:
1) 843 ∙ 743 - 743 2 ;
2) 1103 2 - 1103 ∙ 100 - 1103 ∙ 3.
- Найдите значение выражения:
1) 4,23 а - а 2 , если а = 5,23;
2) х 2 у + х 3 , если х = 2,51, в = -2,51;
3) ам 5 - m 6 , если = -1, а = -5;
4) -ху - х 2 , если х = 2,7, в = 7,3.
- Найдите значение выражения:
1) 9,11 а + а 2 , если а = -10,11;
2) 5х 2 + 5a 2 х, если а = ; х = .
- Разложите многочлен на множители:
1) 2р(х - у) + q(x - у);
2) а(х + у) - (х + у);
3) (а - 7) - b(а - 7);
4) 5(а + 1) + (а + 1) 2 ;
5) (х + 2) 2 - х(х + 2);
6) -5m(m - 2) + 4(m - 2) 2 .
- Представьте выражение в виде произведения:
1) а(х - у) + b(у - х);
2) г(b - 5) - n(5 - b);
3) 7х - (2b - 3) + 5у(3 - 2b);
4) (х - y) 2 - а(у - х);
5) 5(х - 3) 2 - (3 - х);
6) (а + 1)(2b - 3) - (а + 3)(3 - 2b).
- Разложите на множители:
1) 3х(b - 2) + у(b - 2);
2) (m 2 - 3) - х(m 2 - 3);
3) а(b - 9) + с(9 - b);
4) 7(а + 2) + (а + 2) 2 ;
5) (с - m) 2 - 5(m - с);
6) -(х + 2у) - 5(х + 2y) 2 .
- Найдите корни уравнения:
1) 4x 2 - х = 0;
2) 7х 2 + 28х = 0;
3) х 2 + х = 0;
4)х 2 - х = 0.
- Решите уравнение:
1) 12х 2 + х = 0;
2) 0,2 x 2 - 2х = 0;
3) х 2 - х = 0;
4) 1 - х 2 + - х = 0.
- Решите уравнение:
1) х(3х + 2) - 5(3х + 2) = 0;
2) 2х(х - 2) - 5(2 - х) = 0.
- Решите уравнение:
1) х(4х + 5) - 7(4х + 5) = 0;
2) 7(х - 3) - 2х(3 - х) = 0.
1) 17 3 + 17 2 кратное числу 18;
2) 9 14 - 81 6 кратное числу 80.
- Докажите, что значение выражения:
1) 39 9 - 39 8 делится на 38;
2) 49 5 - 7 8 делится на 48.
- Вынесите за скобки общий множитель:
1) (5m - 10) 2 ;
2) (18а + 27b) 2 .
- Найдите корни уравнения:
1) х(х - 3) = 7х - 21;
2) 2х(х - 5) = 20 - 4х.
- Решите уравнение:
1) х(х - 2) = 4х - 8;
2) 3х(х - 4) = 28 - 7х.
- Докажите, что число:
1) 10 4 + 5 3 делится на 9;
2) 4 15 - 4 14 + 4 13 делится на 13;
3) 27 3 - 3 7 + 9 3 делится на 25;
4) 21 3 + 14 а - 7 3 делится на 34.
Упражнения для повторения
- Упростите выражение и найдите его значение:
1) -3x 2 + 7x 3 – 4х 2 + 3x 2 , если х = 0,1;
2) 8m + 5n - 7m + 15n, если m = 7, n = -1.
- Запишите вместо звездочек такие коэффициенты одночлен, чтобы равенство превратилось в тождество:
1) 2m 2 - 4mn + n 2 + (*m 2 - *m - *n 2) = 3m 2 - 9mn - 5n 2 ;
2) 7х 2 - 10у 2 - ху - (*х 2 - *ху + * 2) = -х 2 + 3у 2 + ху.
- Длина прямоугольника втрое больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 40 см 2 . Найдите длину и ширину прямоугольника.
Интересные задачи для учеников ленивых
Известно, что а < b < с. Могут ли одновременно выполняться неравенства |а| > |с| и |b| < |с|?
На этом уроке мы познакомимся с правилами вынесения за скобки общего множителя, научимся находить его в различных примерах и выражениях. Поговорим о том, как простая операция, вынесение общего множителя за скобки, позволяет упростить вычисления. Полученные знания и навыки закрепим, рассмотрев примеры разных сложностей.
Что такое общий множитель, зачем его искать и с какой целью выносить за скобки? Ответим на эти вопросы, разобрав простейший пример.
Решим уравнение . Левая часть уравнения является многочленом, состоящим из подобных членов. Буквенная часть является общей для данных членов, значит, она и будет общим множителем. Вынесем за скобки:
В данном случае вынесение за скобки общего множителя помогло нам преобразовать многочлен в одночлен. Таким образом, мы смогли упростить многочлен и его преобразование помогло нам решить уравнение.
В рассмотренном примере общий множитель был очевиден, но будет ли так просто найти его в произвольном многочлене?
Найдём значение выражения: .
В данном примере вынесение общего множителя за скобки значительно упростило вычисление.
Решим еще один пример. Докажем делимость на выражения .
Полученное выражение делится на , что и требовалось доказать. И снова вынесение общего множителя позволило нам решить задачу.
Решим еще один пример. Докажем, что выражение делится на при любом натуральном : 
.
Выражение является произведением двух соседних чисел натурального ряда. Одно из двух чисел обязательно будет четным, значит, выражение будет делиться на .
Мы разобрали разные примеры, но применяли один и тот же метод решения: выносили общий множитель за скобки. Мы видим, что эта простая операция значительно упрощает вычисления. Было легко найти общий множитель для этих частных случаев, а что делать в общем случае, для произвольного многочлена?
Вспомним, что многочлен - сумма одночленов.
Рассмотрим многочлен 
. Данный многочлен является суммой двух одночленов. Одночлен - произведение числа, коэффициента, и буквенной части. Таким образом, в нашем многочлене каждый одночлен представлен произведением числа и степеней, произведение множителей. Множители могут быть одинаковыми для всех одночленов. Именно эти множители нужно определить и вынести за скобку. Сначала находим общий множитель для коэффициентов, причем целочисленных.
Было легко найти общий множитель, но давайте определим НОД коэффициентов: 
.
Рассмотрим ещё один пример: .
Найдем , что позволит нам определить общий множитель для данного выражения: .
Мы вывели правило для целых коэффициентов. Нужно найти их НОД и вынести за скобку. Закрепим это правило, решив ещё один пример.
Мы рассмотрели правило вынесения общего множителя для целочисленных коэффициентов, перейдем к буквенной части. Сначала ищем те буквы, которые входят во все одночлены, а потом определяем наибольшую степень буквы, которая входит во все одночлены: .
В этом примере была всего одна общая буквенная переменная, но их может быть несколько, как в следующем примере:
Усложним пример, увеличив количество одночленов:
После вынесения общего множителя мы преобразовали алгебраическую сумму в произведение.
Мы рассмотрели правила вынесения для целых коэффициентов и буквенных переменных отдельно, но чаще всего для решения примера нужно применять их вместе. Рассмотрим пример:
Иногда бывает сложно определить, какое выражение остается в скобках, рассмотрим легкий прием, который позволит вам быстро решить эту проблему.
Общим множителем также может быть искомое значение :
Общим множителем может быть не только число или одночлен, но и любое выражение, как, например, в следующем уравнении.
Урок алгебры в 7-м классе "Вынесение общего множителя за скобки"
Комарова Галина Александровна
Цель : совершенствование практических умений и навыков учащихся при разложении многочлена множители путем вынесения общего множителя за скобки, применение его при решении уравнений. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень. Развивать умения: применять правила, анализировать, сравнивать, обобщать, выделять главное.
Задачи :
создать ситуацию успеха на уроке, условия для самостоятельной деятельности учащихся на уроке;
способствовать пониманию учебного материала урока;
воспитывать коммуникативность и толерантность в отношениях учащихся между собой.
Тип урока : комбинированный.
Методы: стимулирующие, поисковые, наглядные, практические, словесные, игровые, дифференцированная работа.
Формы проведения: индивидуальные, коллективные, групповые.
Оценка знаний ведется по 5-бальной системе.
Тип урока: обобщение и систематизация знаний с дидактическими играми.
Результаты обучения: Уметь выносить общий множитель за скобки, уметь применять данный способ при разложении на множители, уметь использовать вынесение за скобки общего множителя при решении уравнений.
Ход урока
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся.
Когда ученики Пифагора просыпались, они должны были произносить такие стихи:
«Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,
Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил».
2. Разминка - графический тест теоретического материала.
Верно ли утверждение, определение, свойство?
1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. (нет -)
2. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. (да Λ)
3. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. (да Λ)
4. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется одночленом . (нет -)
5. При умножении любого числа или выражения на ноль получается ноль. (да Λ)
6. В результате умножения одночлена на многочлен получается многочлен. (да Λ)
7. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак "-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, не меняют на противоположные. (нет-)
8.Общий числовой множитель является наибольшим общим делителем коэффициентов одночленов. (да Λ)
9. Из одинаковых буквенных множителей одночленов выносим за скобку его наименьшую степень . (да Λ)
Проверка: ––ΛΛ- ΛΛ-ΛΛ
Выставите себе оценки:
«5» - ошибок нет «4» - две ошибки «3» - четыре ошибки «2» - больше четырех ошибок
3. Актуализация опорных знаний.
Индивидуальная работа по карточкам №1, №2, №3 (3 учащихся).
Фронтальная работа с классом:
Задание 1 . Продолжите фразу:
Одним из способов разложения многочлена на множители является… (вынесение общего множителя за скобки );
При вынесении общего множителя за скобки применяется… (распределительное свойство );
Если все члены многочлена содержат общий множитель, то…(этот множитель можно вынести за скобки )
Задание 2 .
Какой числовой множитель будет общим в следующих выражениях: 12 y 3 -8 y 2 ; 15х 2 - 75х . (4у 2 ; 15х)
Какую степень множителей а и х можно вынести за скобки
а 2 х- а 5 х 3 + 3а 3 х 2 (а 2 х )
Сформулировать алгоритм вынесения общего множителя.
Алгоритм:
Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку:
2) наименьшую степень:
разделить :
4. Изучение нового материала.
Определи общий множитель в данных выражениях и вынеси его за скобку:
2а+6=
3 хy-3y=
18m-9nm=
x 2 -x 3 +x 6 =
3y+3xy=
(Работа в парах, взаимопроверка )
Используя ключ к шифру, расшифруй слово.
А
Л
Г
У
Т
3y (x -1) или
-3у(-х+1)
9m (2-n )
2(а+3)
X 2 (1-x +x 4)
3(7c 2 -5a 3)
Ответ: Галуа.
Эварист Галуа (1811-1832)
Галуа - гордость французской науки. Будучи еще ребёнком, он прочитал геометрию Лежандра, как увлекательную книгу. К 16 годам дарования Галуа проявились настолько, что выдвинули его в ряд величайших математиков того времени. Научные труды Галуа по теории алгебраических уравнений высших степеней положили начало развитию современной алгебры.
Всего 20 лет прожил гениальный математик, гордость мировой науки, из которых пять посвятил математике. В 2011 году исполняется 200 лет со дня его рождения.
Предлагаю вам решить уравнение, в левой части которого многочлен второй степени.
12x
2
+6
x
=0.
Вынесем за скобки 3х. Получим.
6х(2х+1)=0 Произведение равно нулю, когда хотя бы 6х=0 или 2х+1=0. один из множителей равен нулю.
х=0:6 2х=-1
х=0 х = -1:2
х=-0,5
и находим х=0 или х= -0,5
Ответ: х 1 =0, х 2 = -0,5
5. Физкультминутка.
Учащимся зачитываются высказывания. Если высказывание верно, то учащиеся должны поднять руки вверх, а если неверно, то присесть и хлопнуть.
7 2 =49 (Да).
30 = 3 (Нет).
Наибольшим общим множителем многочлена 5а-15в является 5 (Да).
5 2 =10 (Нет).
На руках 10 пальцев. На 10 руках 100 пальцев (Нет).
5 0 =1 (Да)
0 делится на все числа без остатка (Да).
вопрос на засыпку 5:0=0
6. Домашнее задание.
I ,II группа
Правило в тетради, № 709(д,е), 718(г,)719(г),
III группа:
Правило в тетради, № 710(а,б),715(в,г)
Дополнительное задание (по желанию)
Известно, что при некоторых значениях а и b значение выражения а - b равно 3. Чему равно при тех же a и b значение выражения
а) 5а-5b ; б) 12b - 12а; в) (а - b ) 2 ; г) (b -а) 2 ;
7. Закрепление.
,II группа решают номер 710(а,в)
III группа решает номер 709(а,в)
Придумайте сами уравнение второй степени
Работа учащихся по заданию карточки № 5-6 у доски и в тетрадях. (диф)
Найди ошибку
5. Самостоятельная работа.
Учащимся предлагается выполнение самостоятельной работы обучающего характера в виде теста, с последующей самопроверкой, правильные ответы можно расположить на оборотной стороне доски.
6. Подведение итогов урока.
Рефлексия: Кто сегодня у нас работал лучше всех на уроке?
Какую оценку мы им поставим?
Я
работал хорошо
Понял, как решать уравнения вынесением
Общего множителя за скобки
Доволен уроком
Нуждаюсь в помощи учителя или консультанта
МЫ А как мы вместе сегодня поработали?
Примеры карточек.
Карточка №1.
2х-2 y
5ab+10a
2a 3 -a 5
a(x-2)+b(x-2)
-7xy+y
Карточка №2.
Вынесите общий множитель за скобки:
5ab-10ac
4xy-16x 2
a 2 -4a+3a 5
0,3a 2 b+0,6ab 2
x 2 (y-6)-x(y-6)
Карточка №3.
Вынесите общий множитель
за скобки:
-3x 2 y-12y 2
5a 2 -10a 3 +15a 5
6c 2 x 3 -4c 3 x 3 +2x 2 c
7a 2 b 3 -1,4a 3 b 4 +2,1a 2 b 5
3a(x-5)+7(5-x)
Карточка №5- 1
Вынесите общий множитель за скобки:
3x + 3y;
5a – 15b;
8x+12y;
Реши уравнение
1) 2x² + 5x = 0
Карточка №5-2
1) 10 а – 10 в
2) 3 ху – х
2
у
2
3) 5 у 2 + 15 у 3
2.Реши уравнение
2x² - 9x = 0
Карточка №6
1. Вынесите общий множитель за скобки:
1) 8 а + 8 в.
2) 4 х у + х 3 у 3
3) 3 в у – 6 в.
2.Реши уравнение
2x² +7x = 0
Дополнительные задания
1.Найдите ошибку:
3х (х-3)=3х 2 -6х; 2х+3ху=х(2+у);
2.Вставьте пропущенное выражение:
5х(2х 2 -х)=10х 3 -…; -3ау-12у=-3у (а+…);
3.Вынеси общий множитель за скобки:
5a - 5b; 3x + 6 y; 15a – 25b; 2,4x + 7,2y.
7a + 7b; 8x – 32a; 21a + 28b; 1,25x – 1,75a .
8x – 8y; 7a + 14b; 24x – 32a; 0,01a + 0, 03y.
4.Замените «М» одночленом так, чтобы полученное равенство было верным:
а) М × (а – b ) = 4 ac – 4 bc ;
б) М × (3а – 1) = 12а 3 – 4а 2 ;
в) М × (2а – b ) = 10а 2 – 5а b .
VIII. Фронтальная работа (на внимательность, на усвоение новых правил).
На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.
2 х 3 – 3 х 2 – х = х (2 х 2 – 3 х).
2 х + 6 = 2 (х + 3).
8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).
а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).
4 -2а = – 2 (2 – а).
Алгоритм:
Найти НОД для всех коэффициентов одночленов и вынести его за скобку
2) Из одинаковых буквенных множителей одночленов вынести за скобку его наименьшую степень
3) Каждый одночлен многочлена разделить на общий множитель и результат деления записать в скобки
Лист контроля знаний ученика 7 А класса _________________________________________
Графический
диктант
2.шифровка
3.Индивид. Работа по карточкам
4.тест
5.Всего баллов
6.Отметка учителя
ответ
Тест
1.Какую степень множителя а можно вынести за скобки у многочлена
a²x - аx³
а) а б) a² в) a ³
2 х³ -8x²
а) 4 б) 8 в) 2
a²+ab – ac +a
а) а(a+b-c+1) б) a (a+b-c)
в) a 2 (a+b-c+1)
7m³ + 49m²
а) 7m ² (m +7m 2) б) 7m ² (m +7)
в) 7m ² (7m +7)
5.Разложите на множители:
x(x – y) + a(x – y)
а) (x-y)(x+a) б) (y-x)(x+a)
в) (x+a)(x+y)
6. Реши уравнение
6y-(y-1)=2(2y-4)
а) -9 б) 8 в) 9
г) другой ответ
7.Вынеси общий множитель
x(x – y) + a(y- х)
а) (x-y)(x- a) б) (y-x)(x+a)
в) (x+a)(x+y)
Ответы
Тест
1.Какую степень множителя b можно вынести за скобки у многочлена
b² - a³b³
а) b б) b ² в) b ³
2.Какой числовой множитель можно вынести за скобки у многочлена
15a³ - 25a
а) 15 б) 5 в) 25
3.Вынесите за скобки общий множитель всех членов многочлена
x ² - xy + xp – x
а) x (x -y +p -1) б) x (x -y +p )
в) x 2 (x-y+p-1 )
4.Представьте в виде произведения многочлен
9b² - 81b
а) 9b(b-81) б) 9b 2 (b-9)
в) 9b(b-9)
5.Разложите на множители:
a(a + 3) – 2(a +3)
а) (a+3)(a+2) б) (a+3)(a-2)
в) (a-2)(a-3)
6 . Реши уравнение
3x-(12x-x)=4(5-x)
а) -4 б) 4 в) 2
г) другой ответ
7.Вынеси общий множитель
a (a - 3) – 2(3-а)
а) (a -3)(a+2) б) (a+3)(a-2)
в) (a-2)(a-3)
Ответы
Вариант I
Выполнить действие:
(3х+10у) – (6х+3у)
а) 9х+7у; б) 7у-3х; в) 3х-7у; г) 9х-7у
6х 2 -3х
а) 3х(2х-1); б) 3х(2х-х); в) 3х 2 (2-х); г)3х(2х+1)
3. Привести к стандартному виду многочлен :
Х+5х 2 +4х-х 2
а) 6х 2 +3х; б) 4х 2 +3х; в)4х 2 +5х; г) 6х 2 -3х
4. Выполнить действие:
3х 2 (2х-0,5у)
а)6х 2 -1,5х 2 у; б) 6х 2 -1,5ху; в) 6х 3 -1,5х 2 у ; г) 6х 3 -0,5х 2 у;
5. Решить уравнение:
8х+5(2-х)=13
а) х=3; б) х=-7; в)х=-1; г) х=1;
6. Вынести общий множитель за скобки:
х(х-у)-6у(х-у)
а) (х-у)(х-6у ) ; б) (х-у)(х+6у) ;
в) (х+у)(х-6у) ; г) (х-у)(6у-х) ;
7. Решить уравнение:
Х 2 +8х=0
а) 0 и-8 б) 0и8; в) 8 и -8
Вариант II
Выполнить действие:
(2а-1)+(3+6а)
а) 8а+3; б) 8а+4; в) 8а+2 ; г) 6а+2
Вынести общий множитель за скобки:
7а-7в
а) 7(а-в); б) 7(а+в); в)7(в- а); г) а(7-в);
Привести к стандартному виду многочлен:
4х 2 +3х-5х 2
а) -х 2 +3х ; б) 9х 2 +3х; в) 2х 2 ; г) –х 2 -3х;
Выполнить умножение:
4а 2 (а-в)
а)4а 3 -в; б) 4а 3 -4ав; в) 4а 3 -4а 2 в ; г) 4а 2 -4а 2 в;
Разложить на множители:
а(в-1)-3(в-1)
а) (в-1)(а-3) ; б) (в-1)(а+3) ; в) (в+1)(а-3) ; г) (в-3)(а-1) ;
Решить уравнение:
4(а-5)+а=5
а) а=1; б) а=-5; в) а=3; г) а=5;
7. Решить уравнение:
6х 2 -30х=0
а) 0 и 5 б) 0 и -5 в) 5 и -5
Галуа
Заходил паренек в сюртучке небогатом,
Чтобы в лавке табак и мадеру купить.
Приглашала любезно, как младшего брата,
Разбитная хозяйка и впредь заходить.
Провожала до двери, вздыхая устало,
Вслед ему разводила руками: «Чудак!
На четыре сантима опять обсчитала,
А четыре сантима теперь не пустяк!
Кто-то мне наболтал, будто видный ученый,
Математик какой-то мосье Галуа.
Как же может открыть мировые законы
Эта вот, с позволенья сказать, голова?!»
Но всходил на мансарду, обманутый ею,
Брал заветный набросок в чердачной пыли
И доказывал вновь с беспощадностью всею,
Что хозяева сытых желудков - нули. (А. Марков
Вариант 1
1 . 4-2х
А. 2(2 + х).В. 4(1 - х).
Б. 2(2-х).Г. 4(1 + х).
2. а 3 в 2 – а 4 в
А. а 4 в(в - а).В. а 3 в(в - а).
Б. а 3 в 2 (1 - а).Г. а 3 в(1 - а).
3. 15х y 2 + 5х y - 20х 2 y
А. 5хy (3y + 1 - 4х).В. 5хy (3y - 4х).
Б. 5х(3y 2 + у - 2х).Г. 5х(3у 2 + у - 4х).
4. а( b +3) +( b + 3).
А. (b + 3) (а + 1).В. (b + 3)а.
Б. (3 + b ) (a - 1).Г. (3 + b )(1-а).
5. х(y - z ) - (z - y ).
А. (х - 1) (y - z ).В. (х - 1) (z - у).
В.(х + 1)(у-z ).Т.(х + 1)(z -у).
6. Реши уравнение
3y - 12 y 2 =0
Разложение многочленов на множители
Вариант 2
1. 6а-3.
А. 3(2а-1).В. 6(а-1).
Б. 3(2а+1).Г. 3(а-1).
2. а 2 b 3 – a 3 b 4
А. а 2 b 3 (1 - аb ).В. а 3 (b 3 – b 4).
Б. аb 3 (1 - а 2 b ).Г. b 3 (х 2 - х 3).
3. 12х 2 у - 6ху - 24ху 2 .
А. 6ху(2х - 1 - 4у).В. 6ху(2х - 4у).
Б. 6ху(6х - 1 - 4у).Г. 6ху(2х + 4у + 1).
4. х( y + 5) + ( y +5).
А. (х - 1) (у + 5).В. (х + 1) (у + 5).
Б.(у + 5)х.Г. (х - 1) (5 - у).
5. а(с- b )- (b -с) .
А. (а - 1) (b + с).В. (а - 1) (b - с).
Б. (а + 1) (с - b ).Г. (а + 1) (b - с).
6. Реши уравнение
