Sääntöjen soveltaminen matematiikassa: binäärilukujärjestelmä - lukujen käännös. Numeroiden muuntaminen desimaaleista binäärilukuihin ja takaisin

Yhdessä materiaalissamme tarkastelimme määritelmää. Siinä on lyhyin aakkoset. Vain kaksi numeroa: 0 ja 1. Taulukossa on esimerkkejä paikkalukujärjestelmien aakkosista.

Paikkanumerojärjestelmät

Pienen luvun muuntamiseksi desimaaliluvusta binääriluvuksi ja päinvastoin on parempi käyttää seuraavaa taulukkoa.

Taulukko desimaalilukujen muuntamiseen 0:sta 20:een binäärilukujärjestelmään.

Taulukosta tulee kuitenkin valtava, jos kirjoitat kaikki numerot sinne. Oikean numeron löytäminen niiden joukosta on vaikeampaa. On paljon helpompi muistaa useita algoritmeja lukujen muuntamiseksi paikkalukujärjestelmästä toiseen.

Kuinka muuntaa numerojärjestelmästä toiseen? Tietojenkäsittelytieteessä on useita yksinkertaisia ​​tapoja muuntaa desimaaliluvut binääriluvuiksi. Katsotaanpa kahta niistä.

Menetelmä nro 1.

Oletetaan, että sinun täytyy muuntaa luku 637 desimaalijärjestelmästä binäärijärjestelmään.

Tämä tehdään seuraavasti: kahden maksimiteho löydetään siten, että kaksi tässä potenssissa on pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäinen luku.

Meidän tapauksessamme se on 9, koska 2 9 =512 , A 2 10 =1024 , joka on suurempi kuin aloitusnumeromme. Näin ollen saimme tuloksen numeroiden määrän. Se on yhtä kuin 9+1=10. Tämä tarkoittaa, että tulos näyttää tältä 1ххххххххх, jossa x voidaan korvata luvulla 1 tai 0.

Etsitään tuloksen toinen numero. Nostetaan kaksi 9:n potenssiin ja vähennetään alkuperäisestä luvusta: 637-2 9 =125. Vertaa sitten numeroon 2 8 =256 . Koska 125 on pienempi kuin 256, yhdeksäs numero on 0, ts. tulos on jo muodossa 10хххххххх.

2 7 =128 > 125 , mikä tarkoittaa, että kahdeksas numero on myös nolla.

2 6 =64 , niin seitsemäs numero on yhtä suuri kuin 1. 125-64=61 Näin ollen olemme saaneet neljä vanhempi numeroa ja numero tulee muotoon 10011ххххх.

2 5 =32 ja näemme, että 32< 61, значит шестой разряд равен 1 (результат 100111хххх), остаток 61-32=29.

2 4 =16 < 29 - viides numero 1 => 1001111xxx. Loput 29-16=13.

2 3 =8 < 13 => 10011111хх. 13-8 = 5

2 2 =4 < 5 => 10011111хх, loput 5-4=1.

2 1 =2 > 1 => 100111110x, loput 2-1=1.

2 0 =1 => 1001111101.

Tämä tulee olemaan lopputulos.

Menetelmä numero 2.

Sääntö kokonaislukujen desimaalilukujen muuntamiseksi binäärilukujärjestelmään sanoo:

1. Jaetaan a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 =a n−1⋅2 n−1 +a n−2⋅2 n−2 +...+a 0⋅2 0 x 2.
2. Osamäärä on yhtä suuri kuin an−1⋅2n−2+...+a1, ja loppuosa on yhtä suuri
3. Jaetaan taas saatu osamäärä 2:lla, jaon loppuosa on yhtä suuri kuin a1.
4. Jos jatkamme tätä jakoprosessia, n:nnessä vaiheessa saamme joukon numeroita: a 0,a 1,a 2,...,a n−1, jotka sisältyvät alkuperäisen luvun binääriesitykseen ja ovat yhtäpitäviä jäännösten kanssa, kun se jaetaan peräkkäin kahdella.
5. Näin ollen kokonaisluvun desimaaliluvun muuntamiseksi binäärilukujärjestelmään sinun on jaettava annettu luku ja tuloksena saadut kokonaislukuosamäärät peräkkäin kahdella, kunnes saadaan osamäärä, joka on yhtä suuri kuin nolla.

Alkuperäinen luku binäärilukujärjestelmässä kootaan kirjaamalla peräkkäin saadut jäännökset. Aloitamme sen tallentamisen viimeisimmästä löydetystä.

Muunnetaan desimaaliluku 11 binäärilukujärjestelmään. Yllä käsitelty toimintosarja (käännösalgoritmi) voidaan kuvata seuraavasti:

Sain 11 10 =1011 2 .

Esimerkki:

Jos desimaaliluku on riittävän suuri, seuraava tapa kirjoittaa edellä käsitelty algoritmi on kätevämpi:

363 10 =101101011 2

1. Järjestyslaskenta eri lukujärjestelmissä.

Nykyaikaisessa elämässä käytämme paikkalukujärjestelmiä, eli järjestelmiä, joissa numerolla merkitty numero riippuu numeron sijainnista numeron merkinnässä. Siksi puhumme tulevaisuudessa vain niistä jättäen pois termin "sijainti".

Jotta voimme oppia muuttamaan numeroita järjestelmästä toiseen, ymmärrämme kuinka numeroiden peräkkäinen tallennus tapahtuu käyttämällä desimaalijärjestelmän esimerkkiä.

Koska meillä on desimaalilukujärjestelmä, meillä on 10 symbolia (numeroa) numeroiden muodostamiseen. Aloitamme laskemisen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numerot ovat ohi. Suurennamme luvun bittisyvyyttä ja nollaamme alemman kertaluvun numeron: 10. Sitten suurennamme alemman kertaluvun numeroa uudelleen, kunnes kaikki numerot ovat kadonneet: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Suurennamme korkean kertaluvun numeroa yhdellä ja nollaamme alemman luvun: 20. Kun käytämme molempien numeroiden kaikki numerot (saamme luvun 99), lisäämme uudelleen luvun numerokapasiteettia ja nollaamme olemassa olevat numerot: 100. Ja niin edelleen.

Yritetään tehdä sama 2., 3. ja 5. järjestelmässä (otamme käyttöön merkinnät 2. järjestelmälle, 3. järjestelmälle jne.):

Jos numerojärjestelmän kanta on suurempi kuin 10, meidän on syötettävä lisämerkkejä, on tapana kirjoittaa latinalaisten aakkosten kirjaimet. Esimerkiksi 12-numeroisessa järjestelmässä tarvitsemme kymmenen numeron lisäksi kaksi kirjainta ( ja ):

2. Muunnos desimaalilukujärjestelmästä mihin tahansa muuhun.

Jos haluat muuntaa positiivisen kokonaisluvun desimaaliluvun lukujärjestelmäksi, jolla on eri kanta, sinun on jaettava tämä luku kantaluvulla. Jaa saatu osamäärä uudelleen kantaluvulla ja edelleen, kunnes osamäärä on pienempi kuin kanta. Tämän seurauksena kirjoita yhdelle riville viimeinen osamäärä ja kaikki jäännökset viimeisestä alkaen.

Esimerkki 1. Muunnetaan desimaaliluku 46 binäärilukujärjestelmäksi.

Esimerkki 2. Muunnetaan desimaaliluku 672 oktaalilukujärjestelmäksi.

Esimerkki 3. Muunnetaan desimaaliluku 934 heksadesimaalilukujärjestelmäksi.

3. Muunnos mistä tahansa numerojärjestelmästä desimaaliksi.

Jotta opimme muuttamaan numerot mistä tahansa muusta järjestelmästä desimaalilukuiksi, analysoidaan tavallista desimaaliluvun merkintää.
Esimerkiksi desimaaliluku 325 on 5 yksikköä, 2 kymmeniä ja 3 sataa, ts.

Tilanne on täsmälleen sama muissa lukujärjestelmissä, vain emme kerro 10:llä, 100:lla jne., vaan lukujärjestelmän kantaluvun potenssilla. Otetaan esimerkiksi numero 1201 kolminumerojärjestelmässä. Numeroidaan numerot oikealta vasemmalle alkaen nollasta ja kuvitellaan lukumme luvun ja kolmen tulojen summana luvun numeron potenssiin:

Tämä on numeromme desimaalimerkintä, ts.

Esimerkki 4. Muunnetaan oktaaliluku 511 desimaalilukujärjestelmäksi.

Esimerkki 5. Muunnetaan heksadesimaaliluku 1151 desimaalilukujärjestelmäksi.

4. Muunnos binäärijärjestelmästä järjestelmään, jossa on "kahden potenssi" (4, 8, 16 jne.).

Binääriluvun muuntamiseksi luvuksi, jonka potenssi on kaksi kantaa, on tarpeen jakaa binäärisekvenssi ryhmiin niiden numeroiden lukumäärän mukaan, jotka vastaavat potenssia oikealta vasemmalle, ja korvata kukin ryhmä vastaavalla uuden luvun numerolla. numerojärjestelmä.

Esimerkiksi Muunnetaan binääriluku 1100001111010110 oktaalijärjestelmäksi. Tätä varten jaamme sen 3 merkin ryhmiin alkaen oikealta (alkaen ), ja käytämme sitten vastaavuustaulukkoa ja korvaamme jokaisen ryhmän uudella numerolla:

Opimme rakentamaan vastaavuustaulukon vaiheessa 1.

Nuo.

Esimerkki 6. Muunnetaan binääriluku 1100001111010110 heksadesimaaliksi.

5. Muunnos järjestelmästä, jonka peruspotenssi on "kaksi" (4, 8, 16 jne.) binääriksi.

Tämä käännös on samanlainen kuin edellinen, tehty päinvastaiseen suuntaan: korvaamme jokaisen numeron binäärijärjestelmän numeroryhmällä vastaavuustaulukosta.

Esimerkki 7. Muunnetaan heksadesimaaliluku C3A6 binäärilukujärjestelmäksi.

Voit tehdä tämän korvaamalla jokaisen numeron numeron 4-numeroisella ryhmällä (alkaen ) vastaavuustaulukosta ja täydentämällä ryhmää tarvittaessa nolilla alussa:

Suurin osa planeettamme ihmisistä käyttää desimaalilukujärjestelmää laskeessaan, mutta tietokoneet käyttävät binäärilukujärjestelmää. Jotkut heimot käyttivät ihmiskehityksen kynnyksellä kaksois- ja seksagesimaaleja. Juuri niistä meille jää 12 tuntia kellotaululle ja 60 minuuttia tunnissa.

Joskus on tarpeen muuntaa numero järjestelmästä toiseen. Tässä artikkelissa tarkastelemme tarkemmin, kuinka muuntaa desimaalijärjestelmään joistakin muista suosituista järjestelmistä.

Periaate luvun muodostamiseksi numeroista

Ensinnäkin sinun on ymmärrettävä, mikä numerojärjestelmä on ja sen perusta. Numerojärjestelmä on tapa esittää numeroita tiettyjen numeroiden yhdistelmänä. Järjestelmän perusta on siinä käytettyjen numeroiden lukumäärä. Esimerkiksi desimaalijärjestelmässä, jonka kantaluku on 10, on vain 10 numeroa - 0 - 9. Heksadesimaalijärjestelmässä on vastaavasti 16 numeroa, jotka on merkitty arabialaisilla numeroilla 0 - 9 ja latinalaisilla kirjaimilla A - F numeroiden sijaan 10 - 15. Esimerkiksi 2F7BE 16 - heksadesimaaliluku. Näin kirjoitettuna alaindeksi tarkoittaa lukujärjestelmän kantaa. Keskeinen ero eri kantajärjestelmien välillä on luvun 10 "arvo". Heksadesimaalimuodossa 10 16 olisi yhtä suuri kuin 16 10, mutta binäärimuodossa 10 2 olisi vain kaksi. 100 16 lasketaan

100 16 = 10 16 * 10 16 = 16 10 * 16 10 = 256 10 .

On myös tarpeen tehdä ero käsitteiden "numero" ja "numero" välillä. Numero on merkitty yhdellä symbolilla, ja numeroa voidaan esittää useilla. Esimerkiksi luku 9 10 binäärijärjestelmässä näyttää 1001 2:lta, ja numeroa 9 binäärijärjestelmässä ei ole olemassa sellaisenaan.

Käännösalgoritmi

Jos haluat muuntaa luvun desimaalijärjestelmäksi, sinun on opittava käyttämään yksinkertaista algoritmia.

1. Määritä lukujärjestelmän kanta. Se osoitetaan alaindeksillä numeron jälkeen, esimerkiksi numerossa 2F7BE 16 kanta on 16.
2. Kerro luvun jokainen numero kantaluvulla potenssiin, joka on yhtä suuri kuin numeron numero oikealta vasemmalle, alkaen nollasta. Luvussa 2F7BE 16 E (yhtä kuin 14) kerrotaan 16:lla nollateholla, B (numero 11) 16:lla ensimmäisellä teholla ja niin edelleen: 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7 * 16 2 + 11 * 16 1 + 14 * 16 0 .
3. Laske tulokset yhteen.

2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10 .

Katsotaanpa esimerkkejä siitä, kuinka suosituimmat heksadesimaali-, oktaali- ja binaarijärjestelmät muunnetaan desimaalijärjestelmiksi.

• 5736 8 = 5*8 3 + 7*8 2 + 3*8 1 + 6*8 0 = 3038 10
• 1001011 2 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 75 10
• 2F7BE 16 = 2*16 4 +15*16 3 + 7*16 2 + 11*16 1 + 14*16 0 = 194494 10

Tietenkin manuaalinen laskeminen joka kerta on hankalaa, järjetöntä ja jopa vastahakoista. On monia laskimia, jotka voivat muuntaa lukuja järjestelmästä toiseen. Esimerkiksi tavallinen Windows-laskin ohjelmoijatilassa (Alt+3-näppäimet tai Näytä-valikko) voi toimia kantalukujärjestelmien 2, 8, 10 ja 16 kanssa.