Superpositio- ja sulkemisoperaatiot. Täydellisyys, toimintojärjestelmän perusta. Funktioiden superpositiot Boolen funktioiden ominaisuudet

Yksijaksoiset (ei sisällä muistielementtejä) diskreetit logiikkalaitteet toteuttavat lähdössä tietyn joukon logiikkaalgebran funktioita `F m =(F 1 ,F 2 ,…,F m), jotka kullakin hetkellä riippuvat vain laitteen tulojen tilasta `x n =(x 1 ,x 2 ,…,x n): `F m = `F m(`x n). Käytännössä tällaiset laitteet suunnitellaan ja valmistetaan erillisistä jakamattomista elementeistä, jotka toteuttavat tietyn sarjan (järjestelmän) ( f) algebran perusfunktiot yhdistämällä joidenkin elementtien ulostulot toisten tuloihin.

Logiikkalaitteita suunniteltaessa seuraavat kysymykset ovat olennaisia.

1. Alkuperäisten funktioiden järjestelmä on annettu ( f). Mitkä ovat lähtötoiminnot F i voidaan saada käyttämällä funktioita kohteesta ( f}?

2. Joukko tulostettavia Boolen funktioita ( F) (erityisesti yhtä suuri kuin logiikan algebran koko funktiosarja R 2). Millainen pitäisi olla perusfunktioiden alkuperäinen järjestelmä ( f), joka tarjoaa mahdollisuuden saada ulostulossa mikä tahansa joukon toiminto ( F}?

Järkevän vastauksen saamiseksi näihin kysymyksiin käytetään käsitteitä funktiojärjestelmien superpositio, suljetus ja täydellisyys.

Määritelmä. Tarkastellaanpa joukko loogisia liitäntöjä ( F), joka vastaa jotakin toimintojärjestelmää ( f} . Superpositio ohi{f) on mikä tahansa funktio j, joka voidaan toteuttaa kaavalla yli ( F}.

Käytännössä superpositio voidaan esittää tuloksena korvaamalla funktioita ( f) argumentteina funktiolle samasta joukosta.

Esimerkki 1. Harkitse funktiojärjestelmää ( f} = {f 1 (X) =`x, f 2 (x,y)= X&y, f 3 (x,y)=XÚ y). Korvaaminen funktioon f 3 (x,y) ensimmäisen argumentin sijaan X toiminto f 1 (X), toisen sijasta - f 2 (x,y), saamme superposition h(x,y)=f 3 (f 1 (X),f 2 (x,y))=`xÚ X& klo. Korvauksen fyysinen toteutus on esitetty kuvassa 1.18.

Määritelmä. Antaa M- tietty joukko loogisia algebran funktioita ( P 2). Kaikkien superpositioiden joukko yli M nimeltään oikosulku sarjat M ja on merkitty [ M]. Vastaanotetaan [ M]alkuperäisellä sarjalla M nimeltään sulkemistoiminto. Joukko M nimeltään toiminnallisesti suljettu luokka, Jos [ M] = M. Osajoukko mÍ M nimeltään toiminnallisesti täydellinen järjestelmä M, Jos [ m] = M.

Sulkeminen [ M] edustaa kaikkia funktioita, joista voidaan saada M soveltamalla superpositiooperaatiota, ts. kaikki mahdolliset vaihdot.

Huomautuksia. 1. Ilmeisesti mikä tahansa funktiojärjestelmä ( f) on itsessään toiminnallisesti täydellinen.

2 . Yleisyyttä menettämättä voimme olettaa, että identiteetti toimii f(X)=x, joka ei muuta muuttujien totuusarvoja, on alun perin osa mitä tahansa funktiojärjestelmää.

Esimerkki 2. Alla käsitellyille toimintojärjestelmille ( f) tee seuraava:

1) löytää sulku [ f],

2) selvittää, onko järjestelmä ( f) suljettu luokka,

3) löytää toiminnallisesti täydellisiä järjestelmiä ( f}.

Ratkaisu.

I. ( f}={0} . Kun korvaat funktion ( fº 0) vastaanotamme sen itseemme, ts. uusia toimintoja ei luoda. Tämä tarkoittaa: [ f] = {f). Tarkasteltu järjestelmä on toiminnallisesti suljettu luokka. Sen toiminnallisesti täydellinen järjestelmä on yksi ja yhtä suuri kuin koko ( f}.

II. ( f} = {0,Ø } . Korvaus Ø (Ø X)antaa identtisen funktion, joka ei muodollisesti laajenna alkuperäistä järjestelmää. Korvattaessa Ø (0) saadaan kuitenkin identtinen yksikkö - uusi funktio, joka ei ollut alkuperäisessä järjestelmässä: Ø (0)=1 . Kaikkien muiden korvausten soveltaminen ei johda uusien funktioiden ilmaantumiseen, esimerkiksi: ØØ 0 = 0, 0(Ø X)=0.

Siten superpositiooperaation käyttö mahdollisti alkuperäistä laajemman joukon toimintoja [ f]=(0,Ø ,1). Tämä tarkoittaa tiukkaa merkintää: ( f} Ì [ f]. Lähdejärjestelmä ( f) ei ole toiminnallisesti suljettu luokka. Itse järjestelmän lisäksi ( f) siinä ei ole muita toiminnallisesti täydellisiä järjestelmiä, koska sen kaventuessa yhdestä funktiosta f= 0:ta ei voida kumota substituutiolla, eikä identtistä nollaa voida saada pelkästään negatiivisesta funktiosta.

III. ( f) = (& ,Ú ,Ø ).Tämän järjestelmän sulkeminen on logiikan algebran koko funktiosarja P 2, koska minkä tahansa niistä kaava voidaan esittää DNF- tai CNF-muodossa, joka käyttää perusfunktioita ( f) = (& ,Ú ,Ø). Tämä tosiasia on rakentava todiste tarkasteltavan toimintojärjestelmän täydellisyydestä P 2: [f]=P 2 .

Vuodesta lähtien P 2 sisältää äärettömän määrän muita toimintoja kuin ( f) = (& ,Ú ,Ø ), tämä tarkoittaa tiukkaa esiintymää: ( f}Ì[ f]. Tarkasteltu järjestelmä ei ole toiminnallisesti suljettu luokka.

Itse järjestelmän lisäksi osajärjestelmät ovat toiminnallisesti täydellisiä ( f) 1 = (& ,Ø ) ja ( f) 2 = (Ú ,Ø ). Tämä johtuu siitä, että De Morganin sääntöjä käyttäen looginen yhteenlaskufunktio Ú voidaan ilmaista kautta (& , Ø) ja looginen kertolaskufunktio & kautta (Ú, Ø):

(X & klo) = Ø (` XÚ` klo), (X Ú klo) = Ø ( X &`klo).

Muut toiminnallisesti täydelliset osajärjestelmät ( f) Ei.

Toimintoalijärjestelmän täydellisyyden tarkistaminen ( f) 1 М ( f)koko järjestelmässä ( f) voidaan valmistaa sekoittamalla ( f) 1 toiseen, ilmeisesti täydellinen ( f)järjestelmä.

Osajärjestelmän epätäydellisyys ( f) 1 in ( f) voidaan varmistaa todistamalla, että [ f 1 ] М [ f].

Määritelmä. Osajoukko mÍ M nimeltään toiminnallinen perusta(perusta)järjestelmät M, Jos [ m] = M, ja kun siitä on poistettu kaikki toiminnot, jäljellä olevien toimintojen joukko ei ole täydellinen M .

Kommentti. Toimintojärjestelmän perusteet (f) ovat kaikki sen toiminnallisesti täydellisiä alijärjestelmiä (f) 1, jota ei voida pienentää ilman täydellisyyden menetystä (f).

Esimerkki 3. Etsi perusteet kaikille esimerkissä 2 tarkastetuille järjestelmille.

Ratkaisu.Tapauksissa 1 ja 2 vain itse järjestelmät ovat toiminnallisesti valmiita, eikä niitä voida kaventaa. Näin ollen ne ovat myös tukikohtia.

Tapauksessa 3 on kaksi toiminnallisesti täydellistä ( f)alajärjestelmät ( f) 1 = (&,Ø ) ja ( f) 2 =(Ú,Ø ), jota ei voida pienentää ilman täydellisyyden menetystä. Ne ovat järjestelmän perusta ( f} = {&,Ú,Ø}.

Määritelmä. Anna järjestelmän ( f) on suljettu luokka. Sen osajoukko ( f) 1 М ( f) kutsutaan junioriluokka sisään{f), jos ( f) 1 ei ole täydellinen kohteessa ( f} ([f 1 ] М [ f]), ja mille tahansa funktiolle j järjestelmästä ( f), ei sisälly ( f) 1 (jО( f} \ {f) 1) totta: [ jÈ { f} 1 ] = [f], eli lisäämällä jк ( f) 1 tekee siitä valmiiksi ( f} .

Tehtävät

1. Tarkista toimintojoukkojen sulkeutuminen:

a) (Ø); b) (1, Ø ); c) ((0111); (10));d) ((11101110); (0110));d) ((0001); (00000001); (0000000000000001); … ).

2. Tarkista toimintojärjestelmien täydellisyys P 2:

a) (0,Ø); b) ((0101) , (1010) ); V ); d) ((0001), (1010)).

3. Etsi funktiojärjestelmän sulkeutuminen ja sen perusta:

a) (0, 1, Ø); b) ((1000) , (1010), (0101) ); c) ((0001) , (1110), (10) ); d) ((1010), (0001), (0111)).

1.10.2 Funktiot, jotka tallentavat vakioita. Luokat T0 ja T1

Määritelmä. Toiminto f(`x n) säästää 0 jos f(0,..., 0) = 0. Toiminto f(`x n) säästää 1 jos f(1, ... , 1) = 1.

Paljon ominaisuuksia n muuttujat, jotka tallentavat 0:n ja 1:n, merkitään vastaavasti, T 0 n Ja T 1 n. Kaikki loogiset algebran funktiot, jotka säilyttävät 0:n ja 1:n , merkitse T 0 Ja T 1 . Jokainen sarjoista T 0 ja T 1 on suljettu esitäydellinen luokka R 2 .

Perusfunktioista aina T 0 ja T 1 sisältyvät samanaikaisesti, esimerkiksi & ja Ú. Minkä tahansa toiminnon kuuluminen luokkiin T 0 , T 1 voidaan tarkistaa sen arvovektorin ensimmäisellä ja viimeisellä arvolla totuustaulukossa tai korvaamalla suoraan nollia ja ykkösiä kaavaan määritettäessä funktiota analyyttisesti.

Määritelmä.Kopioi on substituutio, jossa sama muuttuja korvataan funktiolla useiden riippumattomien muuttujien sijaan. Tässä tapauksessa muuttujien arvot joukoissa, jotka aiemmin ottivat arvoja toisistaan riippumatta, ovat aina samat.

TEHTÄVÄT

1. Tarkista luokan jäsenyys T 0 Ja T 1 toiminnot:

a) yleinen yhteenlasku, b) yleinen kertolasku, c) vakiot, d) xyÚ yz, d) X® klo® xy, e) XÅ klo, ja)( X 1 Å … Å X n) ® ( y 1 Å … Å y matto n,mÎ N.

2. Todista kunkin luokan sulkeutuneisuus T 0 Ja T 1 .

3. Todista, että jos f(`x n) Ï T 0, sitten siitä monistamalla substituutio saadaan vakio 1 tai negaatio.

4. Todista, että jos f(`x n) Ï T 1 , niin siitä monistamalla substituutio saadaan vakio 0 tai negaatio.

5. Todista kunkin luokan esitäydellisyys T 0 Ja T 1 (esimerkiksi pienentämällä laajennettu järjestelmä muotoon ( f} = {& ,Ú ,Ø }).

6. Löydä luokkien voima T 0 n Ja T 1 n.

Toiminnon, laajuuden ja arvojoukon määrittely. Funktioiden merkintätapaan liittyvät määritelmät. Kompleksisten, numeeristen, reaalisten, monotonisten ja moniarvoisten funktioiden määritelmät. Maksimi-, minimi-, ylä- ja alarajojen määritelmät rajoitetuille funktioille.

Sisältö

Toiminto y = f (x) kutsutaan laiksi (sääntö, mapping), jonka mukaan joukon X jokainen alkio x liittyy yhteen ja vain yhteen joukon Y alkioon y.

Joukkoa X kutsutaan toiminnon toimialue.
Elementtien joukko y ∈ Y, joilla on esikuvat joukossa X, kutsutaan joukko funktioarvoja(tai arvoalue).

Verkkotunnus funktioita kutsutaan joskus määritelmä asetettu tai monia tehtäviä toimintoja.

Elementti x ∈ X nimeltään funktion argumentti tai itsenäinen muuttuja.
Elementti y ∈ Y nimeltään funktion arvo tai riippuva muuttuja.

Itse kartoitus f on nimeltään toiminnolle ominaista.

Ominaisuudella f on se ominaisuus, että jos kahdella alkiolla ja määritelmäjoukosta on samat arvot: , niin .

Ominaisuutta ilmaiseva symboli voi olla sama kuin funktion arvoelementin symboli. Eli voit kirjoittaa sen näin: . On syytä muistaa, että y on elementti funktioarvojen joukosta, ja se on sääntö, jonka mukaan elementti y määritetään elementille x.

Itse funktion laskentaprosessi koostuu kolmesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa valitsemme elementin x joukosta X. Seuraavaksi sääntöä käyttäen elementti x liitetään joukon Y elementtiin. Kolmannessa vaiheessa tämä elementti määrätään muuttujalle y.

Toiminnon yksityinen arvo kutsua funktion arvoa, jolle on annettu sen argumentin valittu (erityinen) arvo.

Funktion f kuvaaja kutsutaan parijoukoksi.

Monimutkaiset toiminnot

Määritelmä
Olkoon funktiot ja annettu. Lisäksi funktion f määritelmäalue sisältää joukon funktion g arvoja. Tällöin jokainen funktion g määritelmäalueen alkio t vastaa elementtiä x ja tämä x vastaa y:tä. Tätä kirjeenvaihtoa kutsutaan monimutkainen toiminto: .

Monimutkaista funktiota kutsutaan myös toimintojen koostumus tai päällekkäisyys ja joskus merkitty seuraavasti: .

Matemaattisessa analyysissä on yleisesti hyväksyttyä, että jos funktion ominaisuus on merkitty yhdellä kirjaimella tai symbolilla, se määrittää saman vastaavuuden. Muilla tieteenaloilla on kuitenkin toinen merkintätapa, jonka mukaan kartoituksia, joilla on sama ominaisuus, mutta eri argumentit, pidetään erilaisina. Toisin sanoen kartoituksia pidetään erilaisina. Otetaan esimerkki fysiikasta. Oletetaan, että harkitsemme liikemäärän riippuvuutta koordinaateista. Ja olkoon koordinaattien riippuvuus ajasta. Tällöin impulssin riippuvuus ajasta on monimutkainen funktio. Mutta lyhyyden vuoksi se on nimetty seuraavasti: . Tällä lähestymistavalla, ja ovat erilaisia toimintoja. Jos argumenttiarvot ovat samat, ne voivat antaa erilaisia arvoja. Tätä merkintää ei hyväksytä matematiikassa. Jos vähennys on tarpeen, on otettava käyttöön uusi ominaisuus. Esimerkiksi . Sitten on selvästi nähtävissä, että ja ovat eri toimintoja.

Kelvolliset toiminnot

Toiminnon verkkoalue ja sen arvojen joukko voivat olla mikä tahansa joukko.
Esimerkiksi numerosarjat ovat toimintoja, joiden toimialue on luonnollisten lukujen joukko ja arvot ovat reaali- tai kompleksilukuja.
Ristitulo on myös funktio, koska kahdelle vektorille ja vektorilla on vain yksi arvo. Tässä määritelmäalue on kaikkien mahdollisten vektoriparien joukko. Arvojoukko on kaikkien vektorien joukko.
Boolen lauseke on funktio. Sen määritelmäalue on reaalilukujen joukko (tai mikä tahansa joukko, jossa vertailuoperaatio elementin "0" kanssa on määritelty). Arvojoukko koostuu kahdesta elementistä - "true" ja "false".

Numeerisilla funktioilla on tärkeä rooli matemaattisessa analyysissä.

Numeerinen toiminto on funktio, jonka arvot ovat reaali- tai kompleksilukuja.

Todellinen tai todellinen toiminto on funktio, jonka arvot ovat reaalilukuja.

Maksimi ja minimi

Reaaliluvuilla on vertailutoiminto. Siksi todellisen funktion arvojen joukko voi olla rajoitettu ja niillä on suurimmat ja pienimmät arvot.

Varsinaista funktiota kutsutaan rajoitettu ylhäältä (alhaalta), jos on sellainen luku M, että epäyhtälö pätee kaikkiin:
.

Numerofunktiota kutsutaan rajoitettu, jos on luku M, joka kaikille:
.

Enintään M (minimi m) funktio f, jossain joukossa X, funktion arvoa kutsutaan tietylle argumentin arvolle, jolle kaikille,
.

Yläreuna tai tarkka yläraja Ylhäältä rajattu todellinen funktio on pienin luku, joka rajoittaa sen arvoalueen ylhäältä. Tämä on siis luku s, jolle kaikille ja mille tahansa on argumentti, jonka funktion arvo ylittää arvon s′: .
Funktion yläraja voidaan merkitä seuraavasti:
.

Ylärajallisen funktion yläraja

Alareuna tai tarkka alaraja Alhaalta rajattu todellinen funktio on suurin luku, joka rajoittaa sen arvoalueen alhaalta. Tämä on siis luku i, jolle kaikille ja kaikille on argumentti, jonka funktion arvo on pienempi kuin i′: .
Toiminnon infim voidaan ilmaista seuraavasti:
.

Alarajallisen funktion infimum on piste äärettömyydessä.

Siten millä tahansa todellisella funktiolla ei-tyhjässä joukossa X on ylä- ja alaraja. Mutta jokaisella funktiolla ei ole maksimi- ja minimiarvoa.

Esimerkkinä voidaan harkita funktiota, joka on määritelty avoimella aikavälillä.
Se on rajoitettu tällä aikavälillä ylhäältä arvolla 1 ja alla - arvo 0 :
kaikille .
Tällä funktiolla on ylä- ja alaraja:
.
Mutta sillä ei ole enimmäis- ja vähimmäismäärää.

Jos tarkastelemme samaa funktiota segmentillä, niin tässä joukossa se on rajoitettu ylä- ja alapuolelle, sillä on ylä- ja alaraja ja sillä on maksimi ja minimi:
kaikille ;
;
.

Monotoniset toiminnot

Kasvavien ja laskevien funktioiden määritelmät
Olkoon funktio määritelty jollain reaalilukujoukolla X. Funktiota kutsutaan tiukasti kasvava (tiukasti laskeva)
.
Funktiota kutsutaan ei-laskeva (ei-nouseva), jos kaikille sellaisille, että seuraava epäyhtälö pätee:
.

Monotonisen funktion määritelmä
Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen, jos se on ei-laskeva tai ei-nouseva.

Moniarvoiset toiminnot

Esimerkki moniarvoisesta funktiosta. Sen oksat on merkitty eri väreillä. Jokainen haara on funktio.

Kuten funktion määritelmästä seuraa, jokainen määritelmäalueen elementti x liittyy vain yhteen elementtiin arvojoukosta. Mutta on olemassa kuvauksia, joissa elementillä x on useita tai ääretön määrä kuvia.

Harkitse esimerkkinä funktiota arcsininen: . Se on funktion käänteinen sinus ja se määritetään yhtälöstä:
(1) .
Väliin kuuluvan riippumattoman muuttujan x tietylle arvolle tämä yhtälö täyttyy äärettömän monella y:n arvolla (katso kuva).

Asetetaan rajoitus yhtälön (1) ratkaisuille. Antaa
(2) .
Tässä tilanteessa annettu arvo vastaa vain yhtä yhtälön (1) ratkaisua. Toisin sanoen yhtälön (1) määrittelemä vastaavuus ehdon (2) yhteydessä on funktio.

Ehdon (2) sijasta voit asettaa lomakkeelle minkä tahansa muun ehdon:
(2.n) ,
missä n on kokonaisluku. Tämän seurauksena jokaiselle n:n arvolle saamme oman funktiomme, joka eroaa muista. Samanlaisia toimintoja on monia moniarvoinen funktio. Ja funktio, joka määritetään funktiosta (1) ehdolla (2.n) on moniarvoisen funktion haara.

Tämä on joukko toimintoja, jotka on määritetty tietylle joukolle.

Moniarvoinen funktiohaara on yksi moniarvoisen funktion funktioista.

Yksiarvoinen funktio on toiminto.

Viitteet:
O.I. Besov. Matemaattisen analyysin luentoja. Osa 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudrjavtsev. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 2003.
CM. Nikolsky. Matemaattisen analyysin kurssi. Osa 1. Moskova, 1983.

Vastaavuus G joukkojen välillä A Ja SISÄÄN kutsutaan osajoukoksi. Jos, niin he sanovat niin b

vastaa A. Kaikkien vastaavien elementtien joukko

Nimeltään tapa elementti a. Kutsutaan joukko kaikkia, joita elementti vastaa

prototyyppi elementti b.

Paljon pareja (b, a) sellainen, jota kutsutaan käänteiseksi

kohti G ja on nimetty. Kuvan ja prototyypin käsitteet

"G ja ovat keskenään käänteisiä.

Esimerkkejä. 1) Laitetaan se vastaamaan luonnollista lukua P

joukko reaalilukuja . Kuva numerosta 5