Hyväksyttyjen arvojen alue on ODZ. (2019). Toiminnon määritelmä

Toiminto y=f(x) on sellainen muuttujan y riippuvuus muuttujasta x, kun muuttujan x jokainen kelvollinen arvo vastaa yhtä muuttujan y arvoa.

Toiminnon määrittelyalue D(f) on muuttujan x kaikkien mahdollisten arvojen joukko.

Toimintoalue E(f) on muuttujan y kaikkien sallittujen arvojen joukko.

Funktion kaavio y=f(x) on joukko tason pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät tietyn funktionaalisen riippuvuuden, eli pisteet muotoa M (x; f(x)). Funktion kuvaaja on tietty viiva tasossa.

Jos b=0, niin funktio saa muotoa y=kx ja sitä kutsutaan suoraa suhteellisuutta.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

Lineaarifunktion kuvaaja on suora.

Suoran y=kx+b kaltevuus k lasketaan seuraavalla kaavalla:

k= tan \alpha, missä \alpha on suoran kaltevuuskulma Ox-akselin positiiviseen suuntaan.

1) Funktio kasvaa monotonisesti, kun k > 0.

Esimerkki: y=x+1

2) Funktio pienenee monotonisesti k:lla< 0 .

Esimerkki: y=-x+1

3) Jos k=0, niin antamalla b mielivaltaisia arvoja, saadaan perhe Ox-akselin suuntaisia suoria.

Esimerkiksi: y=-1

Käänteinen suhteellisuus

Käänteinen suhteellisuus kutsutaan muodon funktioksi y=\frac (k)(x), jossa k on nollasta poikkeava reaaliluku

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Funktiokaavio y=\frac (k)(x) on hyperboli.

1) Jos k > 0, niin funktion kuvaaja sijaitsee koordinaattitason ensimmäisellä ja kolmannella neljänneksellä.

Esimerkiksi: y=\frac(1)(x)

2) Jos k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Esimerkiksi: y=-\frac(1)(x)

Virtatoiminto

Virtatoiminto on funktio muodossa y=x^n, jossa n on nollasta poikkeava reaaliluku

1) Jos n=2, niin y=x^2. D(f): x \ in R; \: E(f) : y \in; funktion pääjakso T=2 \pi

Jokaisella muuttujan sisältävällä lausekkeella on oma kelvollinen arvoalue, jos se on olemassa. ODZ on aina otettava huomioon päätöksiä tehtäessä. Jos se puuttuu, saatat saada väärän tuloksen.

Tämä artikkeli näyttää, kuinka löytää ODZ oikein ja käyttää esimerkkejä. Keskustellaan myös DZ:n ilmoittamisen tärkeydestä päätöstä tehtäessä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kelvolliset ja virheelliset muuttujan arvot

Tämä määritelmä liittyy muuttujan sallittuihin arvoihin. Kun esittelemme määritelmän, katsotaan, mihin tulokseen se johtaa.

7. luokasta alkaen alamme työskennellä numeroiden ja numeeristen lausekkeiden kanssa. Alkuperäiset muuttujia sisältävät määritelmät siirtyvät valittuja muuttujia sisältävien lausekkeiden merkitykseen.

Jos lausekkeissa on valittuja muuttujia, jotkin niistä eivät välttämättä täyty. Esimerkiksi lauseke muotoa 1: a, jos a = 0, niin siinä ei ole järkeä, koska sitä ei voida jakaa nollalla. Eli lausekkeessa on oltava arvot, jotka sopivat joka tapauksessa ja antavat vastauksen. Toisin sanoen ne ovat järkeviä olemassa olevien muuttujien kanssa.

Määritelmä 1

Jos lausekkeessa on muuttujia, se on järkevää vain, jos arvo voidaan laskea korvaamalla ne.

Määritelmä 2

Jos lausekkeessa on muuttujia, ei ole järkeä, kun niitä korvattaessa arvoa ei voida laskea.

Tämä tarkoittaa siis täydellistä määritelmää

Määritelmä 3

Olemassa olevat sallitut muuttujat ovat arvoja, joille lauseke on järkevä. Ja jos se ei ole järkevää, niitä pidetään mahdottomana hyväksyä.

Selvennykseksi yllä olevaa: jos muuttujia on useampi kuin yksi, niin sopivia arvoja voi olla pari.

Esimerkki 1

Tarkastellaan esimerkiksi muotoa 1 x - y + z olevaa lauseketta, jossa on kolme muuttujaa. Muussa tapauksessa voit kirjoittaa sen muodossa x = 0, y = 1, z = 2, kun taas toisen merkinnän muoto on (0, 1, 2). Näitä arvoja kutsutaan valideiksi, mikä tarkoittaa, että lausekkeen arvo löytyy. Saamme, että 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Tästä näemme, että (1, 1, 2) eivät ole hyväksyttäviä. Korvaus johtaa jakoon nollalla, eli 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Mikä on ODZ?

Hyväksyttyjen arvojen alue on tärkeä elementti algebrallisten lausekkeiden arvioinnissa. Siksi tähän kannattaa kiinnittää huomiota laskelmia tehtäessä.

Määritelmä 4

ODZ alue on tietylle lausekkeelle sallittujen arvojen joukko.

Katsotaanpa esimerkkilauseketta.

Esimerkki 2

Jos meillä on lauseke muotoa 5 z - 3, niin ODZ:n muoto on (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Tämä on kelvollisten arvojen alue, joka täyttää muuttujan z tietylle lausekkeelle.

Jos on lausekkeita muotoa z x - y, niin on selvää, että x ≠ y, z saa minkä tahansa arvon. Tätä kutsutaan ODZ-lausekkeeksi. Se on otettava huomioon, jotta ei saada jakoa nollalla korvattaessa.

Sallittujen arvojen alueella ja määritelmäalueella on sama merkitys. Vain toista niistä käytetään lausekkeisiin ja ensimmäistä yhtälöihin tai epäyhtälöihin. DL:n avulla lauseke tai epäyhtälö on järkevä. Toiminnon määrittelyalue vastaa lausekkeen f (x) muuttujan x sallittujen arvojen alueen kanssa.

Kuinka löytää ODZ? Esimerkkejä, ratkaisuja

ODZ:n löytäminen tarkoittaa kaikkien kelvollisten arvojen löytämistä, jotka sopivat tiettyyn funktioon tai epäyhtälöön. Näiden ehtojen laiminlyönti voi johtaa vääriin tuloksiin. ODZ:n löytämiseksi on usein tarpeen käydä läpi muunnoksia tietyssä lausekkeessa.

On lausekkeita, joissa niiden laskeminen on mahdotonta:

jos on jako nollalla;
negatiivisen luvun juuren ottaminen;
negatiivisen kokonaisluvun ilmaisimen läsnäolo - vain positiivisille luvuille;
lasketaan negatiivisen luvun logaritmi;
tangentin π 2 + π · k, k ∈ Z ja kotangentin π · k, k ∈ Z määritelmäalue;
luvun arkosinin ja arkosinin arvon löytäminen arvolle, joka ei kuulu joukkoon [-1; 1].

Kaikki tämä osoittaa, kuinka tärkeää ODZ:n käyttö on.

Esimerkki 3

Etsi ODZ-lauseke x 3 + 2 x y − 4 .

Ratkaisu

Mikä tahansa numero voidaan kuutioida. Tässä lausekkeessa ei ole murtolukua, joten x:n ja y:n arvot voivat olla mitä tahansa. Eli ODZ on mikä tahansa numero.

Vastaus: x ja y – mitkä tahansa arvot.

Esimerkki 4

Etsi lausekkeen 1 3 - x + 1 0 ODZ.

Ratkaisu

Voidaan nähdä, että on yksi murtoluku, jonka nimittäjä on nolla. Tämä tarkoittaa, että millä tahansa x:n arvolla saamme jaon nollalla. Tämä tarkoittaa, että voimme päätellä, että tätä ilmaisua pidetään määrittelemättömänä, eli sillä ei ole lisävastuuta.

Vastaus: ∅ .

Esimerkki 5

Etsi annetun lausekkeen ODZ x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Ratkaisu

Neliöjuuren läsnäolo tarkoittaa, että tämän lausekkeen on oltava suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Jos se on negatiivinen, sillä ei ole merkitystä. Tämä tarkoittaa, että on tarpeen kirjoittaa epäyhtälö muotoa x + 2 · y + 3 ≥ 0. Tämä on siis haluttu hyväksyttävien arvojen alue.

Vastaus: x:n ja y:n joukko, jossa x + 2 y + 3 ≥ 0.

Esimerkki 6

Määritä ODZ-lauseke muodossa 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Ratkaisu

Ehdon mukaan meillä on murtoluku, joten sen nimittäjä ei saa olla nolla. Saamme, että x + 1 - 1 ≠ 0. Radikaalilauseke on aina järkevä, kun se on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, eli x + 1 ≥ 0. Koska sillä on logaritmi, sen lausekkeen on oltava ehdottomasti positiivinen, eli x 2 + 3 > 0. Myös logaritmin kantalla on oltava positiivinen arvo ja eri kuin 1, sitten lisätään ehdot x + 8 > 0 ja x + 8 ≠ 1. Tästä seuraa, että haluttu ODZ on muodossa:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Toisin sanoen sitä kutsutaan epäyhtälöjärjestelmäksi, jossa on yksi muuttuja. Ratkaisu johtaa seuraavaan ODZ-merkintään [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Vastaus: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Miksi on tärkeää ottaa huomioon DPD vaihtoa ajaessa?

Identiteettimuunnosten aikana on tärkeää löytää ODZ. On tapauksia, joissa ODZ: tä ei esiinny. Ymmärtääksesi, onko tietyllä lausekkeella ratkaisu, sinun on verrattava alkuperäisen lausekkeen muuttujien VA ja tuloksena olevan lausekkeen VA.

Identiteettimuunnokset:

ei voi vaikuttaa DL:ään;
voi johtaa DZ:n laajentamiseen tai lisäämiseen;
voi kaventaa DZ:tä.

Katsotaanpa esimerkkiä.

Esimerkki 7

Jos meillä on lauseke muotoa x 2 + x + 3 · x, niin sen ODZ on määritelty koko määritelmäalueen yli. Jopa tuottaessa samanlaisia termejä ja yksinkertaistamalla lauseketta, ODZ ei muutu.

Esimerkki 8

Jos otamme esimerkin lausekkeesta x + 3 x − 3 x, asiat ovat toisin. Meillä on murto-osalauseke. Ja tiedämme, että nollalla jakamista ei voida hyväksyä. Tällöin ODZ:n muoto on (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Voidaan nähdä, että nolla ei ole ratkaisu, joten lisäämme sen suluissa.

Tarkastellaan esimerkkiä radikaalilausekkeen läsnäolosta.

Esimerkki 9

Jos on x - 1 · x - 3, sinun tulee kiinnittää huomiota ODZ: hen, koska se on kirjoitettava epäyhtälönä (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. On mahdollista ratkaista intervallimenetelmällä, jolloin havaitaan, että ODZ on muodossa (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Kun on muunnettu x - 1 · x - 3 ja sovellettu juurien ominaisuutta, saadaan, että ODZ voidaan täydentää ja kaikki voidaan kirjoittaa epäyhtälöjärjestelmän muodossa, jonka muoto on x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Kun ratkaisemme sen, huomaamme, että [ 3 , + ∞) . Tämä tarkoittaa, että ODZ on täysin kirjoitettu seuraavasti: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

DZ:tä kaventavat muunnokset on vältettävä.

Esimerkki 10

Tarkastellaan esimerkkiä lausekkeesta x - 1 · x - 3, kun x = - 1. Korvaamalla saamme, että - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Jos muunnamme tämän lausekkeen ja saamme sen muotoon x - 1 · x - 3, niin laskettaessa huomaamme, että 2 - 1 · 2 - 3 lausekkeella ei ole järkeä, koska radikaalilausekkeen ei pitäisi olla negatiivinen.

On välttämätöntä noudattaa identtisiä muunnoksia, jotta ODZ ei muutu.

Jos on esimerkkejä, jotka laajentavat sitä, se tulee lisätä DL:ään.

Esimerkki 11

Katsotaanpa esimerkkiä muodon x x 3 + x murtoluvuista. Jos peruutamme x:llä, saamme 1 x 2 + 1. Sitten ODZ laajenee ja siitä tulee (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Lisäksi laskettaessa työskentelemme jo toisen yksinkertaistetun murto-osan kanssa.

Logaritmien läsnä ollessa tilanne on hieman erilainen.

Esimerkki 12

Jos on lauseke muotoa ln x + ln (x + 3), se korvataan ln:llä (x · (x + 3)) logaritmin ominaisuuden perusteella. Tästä voimme nähdä, että ODZ välillä (0 , + ∞) arvoon (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Siksi ODZ:n ln (x · (x + 3)) määrittämiseksi on suoritettava laskelmat ODZ:lle, eli (0, + ∞) -joukolle.

Ratkaisussa tulee aina kiinnittää huomiota ehdon antaman lausekkeen rakenteeseen ja tyyppiin. Jos määritelmäalue löytyy oikein, tulos on positiivinen.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Kuinka löytää funktion toimialue? Yläasteen oppilaat joutuvat usein käsittelemään tätä tehtävää.

Vanhempien tulee auttaa lapsiaan ymmärtämään tämä ongelma.

Toiminnon määrittäminen.

Muistakaamme algebran perustermit. Matematiikassa funktio on yhden muuttujan riippuvuus toisesta. Voimme sanoa, että tämä on tiukka matemaattinen laki, joka yhdistää kaksi numeroa tietyllä tavalla.

Matematiikassa kaavoja analysoitaessa numeeriset muuttujat korvataan aakkosmerkeillä. Yleisimmin käytetyt ovat x ("x") ja y ("y"). Muuttujaa x kutsutaan argumentiksi ja muuttujaa y kutsutaan x:n riippuvaiseksi muuttujaksi tai funktioksi.

Muuttuvien riippuvuuksien määrittämiseen on erilaisia tapoja.

Listataan ne:

Analyyttinen tyyppi.
Taulukkonäkymä.
Graafinen näyttö.

Analyyttinen menetelmä esitetään kaavalla. Katsotaanpa esimerkkejä: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Kaava y=2x+3 on tyypillinen lineaarifunktiolle. Korvaamalla argumentin numeerisen arvon annettuun kaavaan saadaan y:n arvo.

Taulukkomenetelmä on taulukko, joka koostuu kahdesta sarakkeesta. Ensimmäinen sarake on varattu X-arvoille, ja seuraavaan sarakkeeseen tallennetaan pelaajan tiedot.

Graafista menetelmää pidetään visuaalisimpana. Kaavio on kaikkien tason pisteiden joukon näyttö.

Kuvaajan muodostamiseen käytetään suorakulmaista koordinaattijärjestelmää. Järjestelmä koostuu kahdesta kohtisuorasta suorasta. Akseleille asetetaan identtiset yksikkösegmentit. Laskenta suoritetaan suorien viivojen keskipisteestä.

Riippumaton muuttuja on merkitty vaakaviivalla. Sitä kutsutaan abskissa-akseliksi. Pystyviiva (y-akseli) näyttää riippuvan muuttujan numeerisen arvon. Pisteet on merkitty näiden akselien kohtisuorien leikkauspisteeseen. Yhdistämällä pisteet toisiinsa, saadaan kiinteä viiva. Se on aikataulun perusta.

Muuttuvien riippuvuuksien tyypit

Määritelmä.

Yleensä riippuvuus esitetään yhtälönä: y=f(x). Kaavasta seuraa, että jokaiselle luvun x arvolle on tietty luku y. Pelin arvoa, joka vastaa lukua x, kutsutaan funktion arvoksi.

Kaikki mahdolliset arvot, jotka riippumaton muuttuja saa, muodostavat funktion määritelmäalueen. Näin ollen koko riippuvan muuttujan numerosarja määrittää funktion arvoalueen. Määritelmäalue on kaikki argumentin arvot, joille f(x):llä on järkeä.

Matemaattisten lakien tutkimisen lähtökohtana on löytää määritelmäalue. Tämä termi on määriteltävä oikein. Muuten kaikki lisälaskelmat ovat hyödyttömiä. Loppujen lopuksi arvojen määrä muodostetaan ensimmäisen joukon elementtien perusteella.

Toiminnon laajuus riippuu suoraan rajoituksista. Rajoitukset johtuvat kyvyttömyydestä suorittaa tiettyjä toimintoja. Myös numeeristen arvojen käytöllä on rajoituksia.

Rajoitusten puuttuessa määritelmäalue on koko lukuavaruus. Ääretön merkissä on vaakasuora numero kahdeksan symboli. Koko numerosarja kirjoitetaan näin: (-∞; ∞).

Tietyissä tapauksissa tietojoukko koostuu useista osajoukoista. Numeeristen välien tai välilyöntien laajuus riippuu parametrien muutoksen lain tyypistä.

Tässä on luettelo rajoituksiin vaikuttavista tekijöistä:

käänteinen suhteellisuus;
aritmeettinen juuri;
eksponentio;
logaritminen riippuvuus;
trigonometriset muodot.

Jos tällaisia elementtejä on useita, rajoitusten haku jaetaan jokaiselle niistä. Suurin ongelma on kriittisten kohtien ja aukkojen tunnistaminen. Ratkaisu ongelmaan on yhdistää kaikki numeeriset osajoukot.

Numeroiden joukko ja osajoukko

Tietoja setistä.

Määritelmäalue ilmaistaan muodossa D(f), ja liittomerkki esitetään symbolilla ∪. Kaikki numerovälit on suljettu suluissa. Jos alueen raja ei sisälly sarjaan, asetetaan puoliympyrän muotoinen kiinnike. Muussa tapauksessa, kun luku sisältyy osajoukkoon, käytetään hakasulkuja.

Käänteinen suhteellisuus ilmaistaan kaavalla y=k/x. Funktiograafi on kaareva viiva, joka koostuu kahdesta haarasta. Sitä kutsutaan yleisesti hyperboliksi.

Koska funktio ilmaistaan murto-osana, määrittelyalueen löytäminen rajoittuu nimittäjän analysointiin. Tiedetään hyvin, että matematiikassa jako nollalla on kielletty. Ongelman ratkaiseminen tarkoittaa, että nimittäjä tasoitetaan nollaan ja löydetään juuret.

Tässä on esimerkki:

Annettu: y=1/(x+4). Etsi määrittelyalue.

Yhdistämme nimittäjän nollaan.
x+4=0
Yhtälön juuren löytäminen.
x = -4
Määrittelemme argumentin kaikkien mahdollisten arvojen joukon.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Vastaus: Toimintoalue on kaikki reaaliluvut paitsi -4.

Neliöjuuren alla olevan luvun arvo ei voi olla negatiivinen. Tässä tapauksessa funktion määrittäminen juurella pelkistyy epäyhtälön ratkaisemiseen. Radikaalilausekkeen on oltava suurempi kuin nolla.

Juuren määritysalue liittyy juuriindikaattorin pariteettiin. Jos indikaattori on jaollinen kahdella, lausekkeella on järkeä vain, jos se on positiivinen. Indikaattorin pariton luku osoittaa minkä tahansa radikaalilausekkeen arvon hyväksyttävyyden: sekä positiivisen että negatiivisen.

Epäyhtälöt ratkaistaan samalla tavalla kuin yhtälöt. On vain yksi ero. Kun epäyhtälön molemmat puolet on kerrottu negatiivisella luvulla, etumerkki tulee kääntää.

Jos neliöjuuri on nimittäjässä, on asetettava lisäehto. Numeron arvo ei saa olla nolla. Epätasa-arvo siirtyy tiukan eriarvoisuuden kategoriaan.

Logaritmiset ja trigonometriset funktiot

Logaritminen muoto on järkevä positiivisille luvuille. Siten logaritmisen funktion toimialue on samanlainen kuin neliöjuurifunktio, lukuun ottamatta nollaa.

Tarkastellaan esimerkkiä logaritmisesta riippuvuudesta: y=log(2x-6). Etsi määrittelyalue.

2x-6>0
2x>6
x>6/2

Vastaus: (3; +∞).

Määritelmäalue y=sin x ja y=cos x on kaikkien reaalilukujen joukko. Tangentille ja kotangentille on rajoituksia. Ne liittyvät jakoon kulman kosinilla tai sinillä.

Kulman tangentti määräytyy sinin ja kosinin suhteen perusteella. Osoitetaan kulma-arvot, joissa tangenttiarvoa ei ole. Funktio y=tg x on järkevä kaikille argumentin arvoille paitsi x=π/2+πn, n∈Z.

Funktion y=ctg x määritelmäalue on reaalilukujen koko joukko, pois lukien x=πn, n∈Z. Jos argumentti on yhtä suuri kuin luku π tai luvun π kerrannainen, kulman sini on nolla. Näissä pisteissä (asymptooteissa) kotangenttia ei voi olla olemassa.

Ensimmäiset tehtävät määrittelyalueen tunnistamiseksi alkavat 7. luokalla. Kun opiskelija tutustuu tähän algebran osaan ensimmäisen kerran, hänen tulee ymmärtää aihe selvästi.

On huomattava, että tämä termi seuraa koululaista ja sitten opiskelijaa koko opintojakson ajan.

Matematiikassa on ääretön määrä funktioita. Ja jokaisella on oma luonteensa.) Jotta voit työskennellä monenlaisten toimintojen kanssa, joita tarvitset yksittäinen lähestyminen. Muuten, mitä matematiikkaa tämä on?!) Ja sellainen lähestymistapa on olemassa!

Kun työskentelet minkä tahansa toiminnon kanssa, esitämme sen vakiokysymyksillä. Ja ensimmäinen, tärkein kysymys on funktion määrittelyalue. Joskus tätä aluetta kutsutaan kelvollisten argumenttiarvojen joukoksi, funktion määrittelyalueeksi jne.

Mikä on funktion toimialue? Kuinka löytää se? Nämä kysymykset näyttävät usein monimutkaisilta ja käsittämättömiltä... Vaikka itse asiassa kaikki on äärimmäisen yksinkertaista. Voit nähdä itse lukemalla tämän sivun. Mennä?)

No, mitä voin sanoa... Vain kunnioitusta.) Kyllä! Toiminnon luonnollinen alue (josta keskustellaan täällä) Ottelut funktioon sisältyvien lausekkeiden ODZ. Vastaavasti niitä etsitään samojen sääntöjen mukaan.

Katsotaanpa nyt ei täysin luonnollista määritelmän aluetta.)

Lisärajoituksia toiminnon laajuudelle.

Täällä puhumme tehtävän asettamista rajoituksista. Nuo. Tehtävä sisältää joitain lisäehtoja, jotka kääntäjä keksi. Tai rajoitukset syntyvät funktion määrittelymenetelmästä.

Mitä tulee tehtävän rajoituksiin, kaikki on yksinkertaista. Yleensä ei tarvitse etsiä mitään, kaikki on jo sanottu tehtävässä. Muistutan, että tehtävän tekijän kirjoittamat rajoitukset eivät kumoa matematiikan perusrajoitukset. Sinun tarvitsee vain muistaa ottaa huomioon tehtävän ehdot.

Esimerkiksi tämä tehtävä:

Etsi funktion toimialue:

positiivisten lukujen joukossa.

Löysimme tämän funktion luonnollisen määritelmän yllä. Tämä alue:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Funktion määrittämismenetelmässä sinun on luettava huolellisesti ehto ja löydettävä rajoituksia X:ille. Joskus silmät etsivät kaavoja, mutta sanat viheltävät tajunnan ohi kyllä...) Esimerkki edelliseltä oppitunnilta:

Funktio määritellään ehdolla: luonnollisen argumentin x jokainen arvo liittyy x:n arvon muodostavien numeroiden summaan.

Tässä on syytä huomata, että puhumme vain X:n luonnonarvoista. Sitten D(f) heti tallennettu:

D(f): x ∈ N

Kuten näet, funktion toimialue ei ole niin monimutkainen käsite. Tämän alueen löytäminen edellyttää funktion tutkimista, epäyhtälöjärjestelmän kirjoittamista ja tämän järjestelmän ratkaisemista. Tietysti on kaikenlaisia järjestelmiä, yksinkertaisia ja monimutkaisia. Mutta...

Kerron sinulle pienen salaisuuden. Joskus toiminto, jonka määrittelyalue on löydettävä, näyttää yksinkertaisesti pelottavalta. Haluan kalpeaa ja itkeä.) Mutta heti kun kirjoitan epätasa-arvojärjestelmän ylös... Ja yhtäkkiä järjestelmä osoittautuu alkeelliseksi! Lisäksi usein mitä kauheampi toiminto, sitä yksinkertaisempi järjestelmä...

Moraali: silmät pelkäävät, pää päättää!)

Neliöjuurifunktio määritellään vain niille "x":n arvoille, kun radikaali ilmaisu ei ole negatiivinen: . Jos juuri sijaitsee nimittäjässä , ehtoa on selvästi kiristetty: . Samanlaiset laskelmat pätevät mille tahansa positiivisen parillisen asteen juurelle: kuitenkin juuri on jo 4. asteen in funktiotutkimukset En muista.

Esimerkki 5

Ratkaisu: radikaalilausekkeen on oltava ei-negatiivinen:

Ennen kuin jatkan ratkaisua, muistutan teitä koulusta tunnetuista eriarvoisuuden kanssa työskentelyn perussäännöistä.

kiinnitän erityistä huomiota! Nyt mietitään eriarvoisuutta yhdellä muuttujalla- eli meille on vain yksi ulottuvuus akselia pitkin. Älä sekoita kanssa kahden muuttujan epäyhtälöt, jossa koko koordinaattitaso on geometrisesti mukana. On kuitenkin myös mukavia yhteensattumia! Joten epäyhtälölle seuraavat muunnokset ovat ekvivalentteja:

1) Ehdot voidaan siirtää osasta osaan merkin vaihdolla.

2) Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa positiivisella luvulla.

3) Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan negatiivinen numero, sinun on vaihdettava merkki itse eriarvoisuudesta. Esimerkiksi, jos siellä oli "enemmän", siitä tulee "vähemmän"; jos se oli "pienempi tai yhtä suuri", siitä tulee "suurempi tai yhtä suuri".

Epäyhtälössä siirrämme "kolme" oikealle etumerkin muutoksella (sääntö nro 1):

Kerrotaan epäyhtälön molemmat puolet –1:llä (sääntö nro 3):

Kerrotaan epäyhtälön molemmat puolet (sääntö nro 2):

Vastaus: domain:

Vastaus voidaan kirjoittaa myös vastaavalla lauseella: "funktio on määritelty osoitteessa ."
Geometrisesti määritelmäalue on kuvattu varjostamalla vastaavat intervallit abskissa-akselilla. Tässä tapauksessa:

Muistutan vielä kerran määritelmäalueen - funktion kaavion - geometrisesta merkityksestä on olemassa vain varjostetulla alueella ja puuttuu osoitteessa .

Useimmissa tapauksissa puhtaasti analyyttinen määritelmäalueen määritys on sopiva, mutta kun funktio on hyvin monimutkainen, kannattaa piirtää akseli ja tehdä muistiinpanoja.

Esimerkki 6

Etsi funktion toimialue

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse.

Kun neliöjuuren alla on neliöbinomi tai trinomi, tilanne muuttuu hieman monimutkaisemmaksi, ja nyt analysoimme yksityiskohtaisesti ratkaisutekniikkaa:

Esimerkki 7

Etsi funktion toimialue

Ratkaisu: radikaalilausekkeen on oltava ehdottomasti positiivinen, eli meidän on ratkaistava epätasa-arvo. Ensimmäisessä vaiheessa yritämme ottaa toisen asteen trinomin huomioon:

Diskriminantti on positiivinen, etsimme juuria:

Paraabeli siis leikkaa abskissa-akselin kahdessa pisteessä, mikä tarkoittaa, että osa paraabelista sijaitsee akselin alapuolella (epäyhtälö) ja osa paraabelista sijaitsee akselin yläpuolella (tarpeemme epäyhtälö).

Koska kerroin on , paraabelin haarat osoittavat ylöspäin. Edellä olevasta seuraa, että epäyhtälö toteutuu intervalleilla (paraabelin haarat nousevat äärettömään), ja paraabelin kärki sijaitsee x-akselin alapuolella, mikä vastaa epäyhtälöä:

! Huomautus: Jos et täysin ymmärrä selityksiä, piirrä toinen akseli ja koko paraabeli! On suositeltavaa palata artikkeliin Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet ja koulutuskäsikirja Kuumat kaavat koulun matematiikan kurssille.

Huomaa, että itse pisteet poistetaan (ei sisälly ratkaisuun), koska epäyhtälömme on tiukka.

Vastaus: domain:

Yleisesti ottaen monet eriarvoisuudet (mukaan lukien tarkastelu) ratkaistaan universaalilla intervallimenetelmä, joka tunnetaan jälleen koulun opetussuunnitelmasta. Mutta neliöbinomien ja trinomien tapauksessa mielestäni on paljon kätevämpää ja nopeampaa analysoida paraabelin sijaintia suhteessa akseliin. Ja analysoimme päämenetelmän - intervallimenetelmän - yksityiskohtaisesti artikkelissa. Toimintojen nollia. Vakiovälit.

Esimerkki 8

Etsi funktion toimialue

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Esimerkki kommentoi yksityiskohtaisesti päättelyn logiikkaa + toista ratkaisutapaa ja toista tärkeää epätasa-arvon muunnosa, jonka tietämättä opiskelija ontuu toisella jalalla..., ...hmm... ehkä innostuin jalassa, todennäköisemmin toisessa varpaassa. Peukalo.

Voidaanko neliöjuurifunktio määritellä koko lukuviivalle? Varmasti. Kaikki tutut kasvot: . Tai vastaava summa eksponentin kanssa: . Todellakin, kaikille "x" ja "ka" arvoille: , siis yhtä paljon ja .. Esimerkiksi funktio on määritelty koko lukurivillä. Funktiolla on kuitenkin yksi piste, joka ei vieläkään sisälly määrittelyalueeseen, koska nimittäjä on nolla. Samasta syystä funktiolle pisteet jätetään pois.

Joillekin sivuston kävijöille kyseiset esimerkit näyttävät alkeellisilta ja alkeellisilta, mutta tämä ei ole sattumaa - ensinnäkin yritän "teroittaa" materiaalia noobeille ja toiseksi valitsen realistisia asioita tuleviin tehtäviin: täydellinen toimintotutkimus, löytö kahden muuttujan funktion määritelmäalue ja jotkut muut. Matematiikassa kaikki tarttuu toisiinsa. Vaikka vaikeuksista pitävät eivät myöskään jää ilman, vakavampia tehtäviä löytyy sekä täältä että oppitunnilta.
intervallimenetelmästä.