Selvitä ilmaisun, kuinka ratkaista, merkitys. Ilmaisun merkityksen löytäminen, esimerkkejä, ratkaisuja

(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Määritä toimintatapa. Suorita ensimmäinen toiminto sisäsuluissa 489–296=193. Kerro sitten 193∙8=1544 ja 34∙10=340. Seuraava toimenpide: 340+1544=1884. Jaa seuraavaksi 1884:4=461 ja vähennä sitten 461–410=60. Olet löytänyt tämän ilmaisun merkityksen.

Esimerkki. Etsi lausekkeen 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º arvo. Yksinkertaista tätä ilmaisua. Käytä tätä varten kaavaa tg α∙ctg α=1. Hanki: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Tiedetään, että sin 30º=1/2 ja cos 30º=√3/2. Siksi 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Olet löytänyt tämän ilmaisun merkityksen.

Algebrallisen lausekkeen arvo alkaen . Yksinkertaista lauseke, jos haluat löytää muuttujat annetun algebrallisen lausekkeen arvon. Korvaa muuttujat tietyillä arvoilla. Suorita tarvittavat vaiheet. Tämän seurauksena saat luvun, joka on annettujen muuttujien algebrallisen lausekkeen arvo.

Esimerkki. Etsi lausekkeen 7(a+y)–3(2a+3y) arvo, jossa a=21 ja y=10. Yksinkertaista tätä lauseketta ja saat: a–2y. Korvaa muuttujien vastaavat arvot ja laske: a–2y=21–2∙10=1. Tämä on lausekkeen 7(a+y)–3(2a+3y) arvo, jossa a=21 ja y=10.

Huomautus

On algebrallisia lausekkeita, joissa ei ole järkeä joillekin muuttujien arvoille. Esimerkiksi lausekkeessa x/(7–a) ei ole järkeä, jos a=7, koska tässä tapauksessa murto-osan nimittäjästä tulee nolla.

Lähteet:

etsi lausekkeen pienin arvo
Etsi c 14:n lausekkeiden merkitykset

Matematiikan lausekkeiden yksinkertaistamisen oppiminen on yksinkertaisesti välttämätöntä ongelmien ja erilaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi oikein ja nopeasti. Lausekkeen yksinkertaistaminen vähentää vaiheiden määrää, mikä helpottaa laskelmia ja säästää aikaa.

Ohjeet

Opi laskemaan c:n potenssit. Kerrottaessa potenssit c saadaan luku, jonka kantakanta on sama, ja eksponentit lasketaan yhteen b^m+b^n=b^(m+n). Kun potenssit jaetaan samoilla kantakantoilla, saadaan luvun potenssi, jonka kanta pysyy samana, ja potenssien eksponentit vähennetään ja jakajan eksponentti b^m vähennetään osingon eksponenteista. : b^n=b^(m-n). Kun potenssi nostetaan potenssiin, saadaan luvun potenssi, jonka kanta pysyy samana, ja eksponentit kerrotaan (b^m)^n=b^(mn) Potenssiin nostettaessa jokainen tekijä nostetaan tähän potenssiin (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Kerroinpolynomit, ts. kuvittele ne useiden tekijöiden - ja monomiaalien - tuloksena. Ota yhteinen tekijä pois suluista. Opi lyhennettyjen kertolaskujen peruskaavat: neliöiden erotus, neliöero, summa, kuutioiden erotus, summan kuutio ja erotus. Esimerkiksi m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Nämä kaavat ovat tärkeimmät yksinkertaistamisessa. Käytä menetelmää täydellisen neliön eristämiseksi trinomissa muotoa ax^2+bx+c.

Lyhennä murtolukuja niin usein kuin mahdollista. Esimerkiksi (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Mutta muista, että voit vain pienentää kertoimia. Jos algebrallisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla kuin nollalla, murto-osan arvo ei muutu. Voit muuntaa lausekkeita kahdella tavalla: ketjutettuna ja toimintojen mukaan. Toinen menetelmä on parempi, koska on helpompi tarkistaa välitoimien tulokset.

Usein on tarpeen poimia juuria lausekkeista. Jopa juuret erotetaan vain ei-negatiivisista lausekkeista tai luvuista. Parittomat juuret voidaan poimia mistä tahansa lausekkeesta.

Lähteet:

ilmaisujen yksinkertaistaminen valtuuksilla

Trigonometriset funktiot syntyivät ensin työkaluina suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien terävien kulmien arvojen riippuvuuksien abstrakteihin matemaattisiin laskelmiin. Nyt niitä käytetään erittäin laajasti sekä tieteen että teknisen ihmisen toiminnan aloilla. Käytännön laskelmiin annettujen argumenttien trigonometrisista funktioista voit käyttää erilaisia työkaluja - alla on kuvattu useita helpoimpia työkaluja.

Ohjeet

Käytä esimerkiksi käyttöjärjestelmän oletusarvoisesti asennettua laskinohjelmaa. Se avautuu valitsemalla "Kaikki ohjelmat" -osioon sijoitetun "Standard"-aliosiossa "Apuohjelmat"-kansion "Laskin". Tämä osio voidaan avata napsauttamalla "Käynnistä"-painiketta pääkäyttövalikkoon. Jos käytät Windows 7 -versiota, voit kirjoittaa "Laskin" päävalikon "Hae ohjelmista ja tiedostoista" -kenttään ja napsauttaa sitten vastaavaa linkkiä hakutuloksissa.

Laske tarvittavien toimien määrä ja mieti, missä järjestyksessä ne tulisi suorittaa. Jos tämä kysymys on sinulle vaikea, huomaa, että suluissa olevat operaatiot suoritetaan ensin, sitten jako ja kertolasku; ja vähennys tehdään viimeisenä. Jotta suoritettujen toimintojen algoritmi olisi helpompi muistaa, kirjoita kunkin toimintooperaattorimerkin (+,-,*,:) yläpuolella olevaan lausekkeeseen ohuella kynällä toimintojen suorittamista vastaavat numerot.

Jatka ensimmäisestä vaiheesta vakiintuneen järjestyksen mukaisesti. Laske päässäsi, ovatko toimet helppoja suorittaa suullisesti. Jos laskutoimituksia tarvitaan (sarakkeessa), kirjoita ne lausekkeen alle ja ilmoita toiminnon sarjanumero.

Seuraa selkeästi suoritettujen toimien järjestystä, arvioi, mikä on vähennettävä mistä, jaettava mihin jne. Hyvin usein vastaus lausekkeessa on virheellinen tässä vaiheessa tehtyjen virheiden vuoksi.

Lausekkeen erottuva piirre on matemaattisten operaatioiden läsnäolo. Se osoitetaan tietyillä merkeillä (kerto-, jakolasku-, vähennys- tai yhteenlasku). Matemaattisten operaatioiden suoritusjärjestystä korjataan tarvittaessa suluilla. Matemaattisten operaatioiden suorittaminen tarkoittaa löytää .

Mikä ei ole ilmaisua

Jokaista matemaattista merkintää ei voida luokitella lausekkeeksi.

Tasa-arvot eivät ole ilmaisuja. Ei ole väliä sillä, ovatko tasa-arvossa matemaattisia operaatioita vai ei. Esimerkiksi a=5 on yhtälö, ei lauseke, mutta 8+6*2=20 ei myöskään ole lauseke, vaikka se sisältää kertolaskua. Tämä esimerkki kuuluu myös tasa-arvoluokkaan.

Ilmaisun ja tasa-arvon käsitteet eivät sulje toisiaan pois, ensimmäinen sisältyy jälkimmäiseen. Tasa-arvomerkki yhdistää kaksi lauseketta:
5+7=24:2

Tätä yhtälöä voidaan yksinkertaistaa:
5+7=12

Lauseke olettaa aina, että sen esittämät matemaattiset operaatiot voidaan suorittaa. 9+:-7 ei ole lauseke, vaikka tässä on merkkejä matemaattisista operaatioista, koska näitä toimintoja on mahdotonta suorittaa.

On myös matemaattisia, jotka ovat muodollisesti lausekkeita, mutta joilla ei ole merkitystä. Esimerkki tällaisesta ilmaisusta:
46:(5-2-3)

Luku 46 on jaettava suluissa olevien toimintojen tuloksella, ja se on yhtä suuri kuin nolla. Et voi jakaa nollalla; toimintoa pidetään kiellettynä.

Numeeriset ja algebralliset lausekkeet

Matemaattisia lausekkeita on kahdenlaisia.

Jos lauseke sisältää vain numeroita ja matemaattisten operaatioiden symboleja, tällaista lauseketta kutsutaan numeeriseksi. Jos lausekkeessa on numeroiden ohella muuttujia, jotka on merkitty kirjaimilla tai numeroita ei ole ollenkaan, lauseke koostuu vain matemaattisten operaatioiden muuttujista ja symboleista, sitä kutsutaan algebraksi.

Perusero numeerisen arvon ja algebrallisen arvon välillä on, että numeerisella lausekkeella on vain yksi arvo. Esimerkiksi numeerisen lausekkeen 56–2*3 arvo on aina 50, mitään ei voi muuttaa. Algebrallisella lausekkeella voi olla useita arvoja, koska mikä tahansa luku voidaan korvata. Joten jos lausekkeessa b–7 korvaamme b:n 9:llä, lausekkeen arvo on 2 ja jos 200, se on 193.

Lähteet:

Numeeriset ja algebralliset lausekkeet

Numeeriset lausekkeet koostuvat numeroista, aritmeettisista symboleista ja suluista. Jos tällainen lauseke sisältää muuttujia, sitä kutsutaan algebraksi. Trigonometrinen lauseke on lauseke, jossa muuttuja sisältyy trigonometristen funktioiden merkkien alle. Numeeristen, trigonometristen ja algebrallisten lausekkeiden arvojen määrittämiseen liittyviä ongelmia löytyy usein koulun matematiikan kursseista.

Ohjeet

Löytääksesi numeerisen lausekkeen arvon, määritä toimintojen järjestys annetussa esimerkissä. Merkitse se mukavuuden vuoksi kynällä vastaavien merkkien yläpuolelle. Suorita kaikki ilmoitetut toiminnot tietyssä järjestyksessä: toimet suluissa, eksponentio, kertolasku, jako, yhteenlasku, vähennys. Tuloksena oleva luku on numeerisen lausekkeen arvo.

Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo (34 10+(489–296) 8):4–410. Määritä toimintatapa. Suorita ensimmäinen toiminto sisäsuluissa 489–296=193. Kerro sitten 193 8 = 1544 ja 34 10 = 340. Seuraava toimenpide: 340+1544=1884. Jaa seuraavaksi 1884:4=461 ja vähennä sitten 461–410=60. Olet löytänyt tämän ilmaisun merkityksen.

Löytääksesi trigonometrisen lausekkeen arvon tunnetulle kulmaksi? Käytä tätä varten asianmukaisia trigonometrisiä kaavoja. Laske annetut trigonometristen funktioiden arvot ja korvaa ne esimerkissä. Seuraa askelmia.

Esimerkki. Löydätkö ilmaisun 2sin 30 merkityksen? hinta 30? tg 30? ctg 30?. Yksinkertaista tätä ilmaisua. Käytä tätä varten kaavaa tg? ctg ?=1. Hanki: 2sin 30? hinta 30? 1=2sin 30? hinta 30?. Tiedetään, että sin 30?=1/2 ja cos 30?=?3/2. Siksi 2sin 30? cos 30?=2 1/2?3/2=?3/2. Olet löytänyt tämän ilmaisun merkityksen.

Algebrallisen lausekkeen merkitys riippuu muuttujan arvosta. Yksinkertaista lauseke, jos haluat löytää muuttujat annetun algebrallisen lausekkeen arvon. Korvaa muuttujat tietyillä arvoilla. Suorita tarvittavat vaiheet. Tämän seurauksena saat luvun, joka on annettujen muuttujien algebrallisen lausekkeen arvo.

Esimerkki. Etsi lausekkeen 7(a+y)–3(2a+3y) arvo, jossa a=21 ja y=10. Yksinkertaista tätä lauseketta ja saat: a–2y. Korvaa muuttujien vastaavat arvot ja laske: a–2y=21–2 10=1. Tämä on lausekkeen 7(a+y)–3(2a+3y) arvo, jossa a=21 ja y=10.

Huomautus

Kaava

Yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku - aritmeettiset operaatiot (tai aritmeettiset operaatiot). Nämä aritmeettiset operaatiot vastaavat aritmeettisten operaatioiden merkkejä:

+ (lukea " plus") - lisäysoperaation merkki,

- (lukea " miinus") on vähennyslaskuoperaation merkki,

∙ (lukea " moninkertaistaa") on kertolaskuoperaation merkki,

: (lukea " jakaa") on jakotoiminnon merkki.

Kutsutaan tietuetta, joka koostuu aritmeettisilla etumerkeillä yhdistetyistä luvuista numeerinen lauseke. Numeerinen lauseke voi sisältää myös sulkeita, esimerkiksi merkinnän 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) on numeerinen lauseke.

Numeerisen lausekkeen numeroille suoritettujen toimien tulosta kutsutaan numeerisen lausekkeen arvo. Näiden toimien suorittamista kutsutaan numeerisen lausekkeen arvon laskemiseksi. Aseta ennen numeerisen lausekkeen arvon kirjoittamista yhtäläisyysmerkki"=". Taulukossa 1 on esimerkkejä numeerisista lausekkeista ja niiden merkityksistä.

Tietue, joka koostuu latinalaisten aakkosten numeroista ja pienistä kirjaimista, jotka on yhdistetty aritmeettisten operaatioiden etumerkein, on ns. kirjaimellinen ilmaus. Tämä merkintä voi sisältää sulkeita. Esimerkiksi äänittää +b - 3 ∙c on kirjaimellinen ilmaus. Kirjainten sijasta voit korvata erilaisia numeroita kirjainlausekkeeksi. Tässä tapauksessa kirjainten merkitys voi muuttua, joten myös kirjainlausekkeen kirjaimia kutsutaan muuttujia.

Korvaamalla numeroita kirjainten sijaan kirjaimelliseen lausekkeeseen ja laskemalla tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvon, he löytävät kirjaimellisen lausekkeen merkitys annetuille kirjainarvoille(muuttujien annetuille arvoille). Taulukossa 2 on esimerkkejä kirjainilmaisuista.

Kirjaimellisella lausekkeella ei välttämättä ole merkitystä, jos kirjainten arvojen korvaaminen johtaa numeeriseen lausekkeeseen, jonka arvoa ei löydy luonnollisista luvuista. Tätä numeerista lauseketta kutsutaan väärä luonnollisille luvuille. Sanotaan myös, että tällaisen ilmaisun merkitys on " määrittelemätön" luonnollisille luvuille ja itse lausekkeelle "ei ole järkeä". Esimerkiksi kirjaimellinen ilmaus a-b ei ole väliä, kun a = 10 ja b = 17. Luonnollisten lukujen minuutti ei todellakaan voi olla pienempi kuin osaluku. Esimerkiksi, jos sinulla on vain 10 omenaa (a = 10), et voi antaa niistä 17 pois (b = 17)!

Taulukossa 2 (sarake 2) on esimerkki kirjaimellisesta lausekkeesta. Vastaavasti täytä taulukko kokonaan.

Luonnollisille luvuille lauseke on 10 -17 väärin (ei järkeä), eli eroa 10 -17 ei voida ilmaista luonnollisena lukuna. Toinen esimerkki: et voi jakaa nollalla, joten minkä tahansa luonnollisen luvun b osalta osamäärä b: 0 määrittelemätön.

Matemaattiset lait, ominaisuudet, jotkut säännöt ja suhteet kirjoitetaan usein kirjaimellisesti (eli kirjaimellisen lausekkeen muodossa). Näissä tapauksissa kirjaimellista lauseketta kutsutaan kaava. Esimerkiksi jos seitsemänkulmion sivut ovat yhtä suuret a,b,c,d,e,f,g, sitten kaava (kirjaimellinen lauseke) sen kehän laskemiseksi s on muotoa:

p =+b+c +d+e+f+g

Kun a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, seitsemänkulmion ympärysmitta p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

Kun a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, toisen seitsemänkulmion ympärysmitta p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Lohko 1. Sanasto

Tee kappaleesta sanakirja uusista termeistä ja määritelmistä. Voit tehdä tämän kirjoittamalla sanoja alla olevasta termiluettelosta tyhjiin soluihin. Merkitse taulukossa (lohkon lopussa) termien numerot kehysten numeroiden mukaisesti. Suosittelemme, että luet kappaleen huolellisesti uudelleen ennen sanakirjan solujen täyttämistä.

Operaatiot: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku.

2. Merkit “+” (plus), “-” (miinus), “∙” (kerroin, “ : " (jakaa).

3. Tietue, joka koostuu luvuista, jotka on liitetty toisiinsa aritmeettisten operaatioiden etumerkeillä ja jotka voivat sisältää myös sulkeita.

4. Tulos toimintojen suorittamisesta numeroille numeerisessa lausekkeessa.

5. Numeerisen lausekkeen arvoa edeltävä etumerkki.

6. Tietue, joka koostuu latinalaisten aakkosten numeroista ja pienistä kirjaimista, jotka on yhdistetty toisiinsa aritmeettisten operaatioiden merkeillä (myös suluissa voi olla).

7. Kirjainten yleinen nimi aakkosjärjestyksessä.

8. Numeerisen lausekkeen arvo, joka saadaan korvaamalla muuttujat kirjaimelliseksi lausekkeeksi.

9. Numeerinen lauseke, jonka arvoa ei löydy luonnollisille luvuille.

10. Numeerinen lauseke, jonka arvo luonnollisille luvuille löytyy.

11. Matemaattiset lait, ominaisuudet, jotkin säännöt ja suhteet, kirjainmuodossa.

12. Aakkoset, joiden pieniä kirjaimia käytetään aakkoslausekkeiden kirjoittamiseen.

Lohko 2. Ottelu

Yhdistä vasemman sarakkeen tehtävä oikeanpuoleiseen ratkaisuun. Kirjoita vastauksesi lomakkeeseen: 1a, 2d, 3b...

Lohko 3. Fasettesti. Numeeriset ja aakkoslliset lausekkeet

Facetestit korvaavat matematiikan tehtäväkokoelmia, mutta eroavat niistä suotuisasti siinä, että ne voidaan ratkaista tietokoneella, ratkaisut voidaan tarkistaa ja työn tulos saadaan välittömästi selville. Tämä testi sisältää 70 tehtävää. Mutta voit ratkaista ongelmia omalla valinnallasi, ja sitä varten on arviointitaulukko, joka osoittaa yksinkertaiset ja vaikeammat tehtävät. Alla on testi.

Annettu kolmio, jossa on sivut c,d,m, ilmaistuna cm
Annettu nelikulmio, jossa on sivut b,c,d,m, ilmaistuna m
Auton nopeus km/h on b, matka-aika tunneissa on d
Matka, jonka turisti on ajanut m tuntia on Kanssa km
Matka, jonka turisti liikkuu nopeudella m km/h on b km
Kahden luvun summa on 15:llä suurempi kuin toinen luku
Ero on pienempi kuin se, jota vähennetään 7:llä
Matkustajalaivassa on kaksi kantta, joissa on sama määrä matkustajapaikkoja. Jokaisella kannen rivillä m istuimet, rivit kannella n enemmän kuin paikkoja peräkkäin
Petya on m-vuotias, Masha on n-vuotias ja Katya on k vuotta nuorempi kuin Petya ja Masha yhdessä
m = 8, n = 10, k = 5
m = 6, n = 8, k = 15
t = 121, x = 1458

Tämän ilmaisun merkitys
Kehyksen kirjaimellinen lauseke on
Kehä ilmaistuna senttimetreinä
Autolla kuljetun matkan kaava
Kaava nopeudelle v, turistiliike
Kaava ajalle t, turistiliike
Autolla ajettu matka kilometreissä
Turistinopeus kilometreinä tunnissa
Turistien matka-aika tunneissa
Ensimmäinen numero on...
Alaosa on yhtä suuri kuin...
Lauseke suurimmalle matkustajamäärälle, jonka linjalaiva voi kuljettaa k lennot
Suurin matkustajamäärä, jonka lentokone voi kuljettaa k lennot
Katyan iän kirjainilmaisu
Katjan ikä
Pisteen B koordinaatti, jos pisteen C koordinaatti on t
Pisteen D koordinaatti, jos pisteen C koordinaatti on t
Pisteen A koordinaatti, jos pisteen C koordinaatti on t
Janan BD pituus numeroviivalla
Janan CA pituus numeroviivalla
Janan DA pituus numeroviivalla

Joten jos numeerinen lauseke koostuu luvuista ja merkistä +, −, · ja:, niin vasemmalta oikealle järjestyksessä sinun on ensin suoritettava kerto- ja jakolasku ja sitten yhteen- ja vähennyslasku, jonka avulla voit löytää haluttu lausekkeen arvo.

Annetaan muutamia esimerkkejä selvennykseksi.

Esimerkki.

Laske lausekkeen 14−2·15:6−3 arvo.

Ratkaisu.

Lausekkeen arvon löytämiseksi sinun on suoritettava kaikki siinä määritellyt toiminnot hyväksytyn suoritusjärjestyksen mukaisesti. Ensin, järjestyksessä vasemmalta oikealle, suoritamme kerto- ja jakolaskun, saamme 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Nyt suoritetaan myös loput toiminnot järjestyksessä vasemmalta oikealle: 14−5−3=9−3=6. Näin löysimme alkuperäisen lausekkeen arvon, se on yhtä suuri kuin 6.

Vastaus:

14−2·15:6−3=6.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys.

Ratkaisu.

Tässä esimerkissä meidän täytyy ensin tehdä kertolasku 2·(−7) ja jako kertolaskulla lausekkeessa . Muistamalla kuinka , löydämme 2·(−7)=−14. Ja suorittaa ensin lausekkeen toiminnot , sitten , ja suorita: .

Korvaamme saadut arvot alkuperäiseen lausekkeeseen: .

Mutta entä jos juurimerkin alla on numeerinen lauseke? Saadaksesi tällaisen juuren arvon, sinun on ensin löydettävä radikaalilausekkeen arvo noudattaen hyväksyttyä toimintojen suoritusjärjestystä. Esimerkiksi, .

Numeerisissa lausekkeissa juuret tulisi nähdä joinakin numeroina, ja on suositeltavaa korvata juuret välittömästi niiden arvoilla ja löytää sitten tuloksena olevan lausekkeen arvo ilman juuria suorittamalla toiminnot hyväksytyssä järjestyksessä.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys juurilla.

Ratkaisu.

Etsitään ensin juuren arvo . Tätä varten laskemme ensin olemassa olevan radikaalilausekkeen arvon −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Ja toiseksi löydämme juuren arvon.

Lasketaan nyt toisen juuren arvo alkuperäisestä lausekkeesta: .

Lopuksi voimme löytää alkuperäisen ilmaisun merkityksen korvaamalla juuret niiden merkityksillä: .

Vastaus:

Melko usein juurten sisältävän ilmaisun merkityksen löytämiseksi se on ensin muutettava. Esitetään esimerkin ratkaisu.

Esimerkki.

Mikä on ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Emme pysty korvaamaan kolmen juuria sen tarkalla arvolla, mikä estää meitä laskemasta tämän lausekkeen arvoa yllä kuvatulla tavalla. Voimme kuitenkin laskea tämän lausekkeen arvon suorittamalla yksinkertaisia muunnoksia. Sovellettava neliön erotuskaava: . Ottaen huomioon, saamme . Alkuperäisen lausekkeen arvo on siis 1.

Vastaus:

Astinten kanssa

Jos kanta ja eksponentti ovat lukuja, niin niiden arvo lasketaan määrittämällä aste, esim. 3 2 =3·3=9 tai 8 −1 =1/8. On myös merkintöjä, joissa kanta ja/tai eksponentti ovat joitain lausekkeita. Näissä tapauksissa sinun on löydettävä lausekkeen arvo kannasta, lausekkeen arvo eksponenteista ja laskettava sitten itse asteen arvo.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo muodon potenssien avulla 2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4.

Ratkaisu.

Alkuperäisessä lausekkeessa on kaksi potenssia 2 3·4−10 ja (1−1/2) 3,5−2·1/4. Niiden arvot on laskettava ennen muiden toimien suorittamista.

Aloitetaan potenssilla 2 3·4−10. Sen indikaattori sisältää numeerisen lausekkeen, lasketaan sen arvo: 3·4−10=12−10=2. Nyt löydät itse asteen arvon: 2 3·4−10 =2 2 =4.

Kanta ja eksponentti (1−1/2) 3.5−2 1/4 sisältävät lausekkeita, joiden arvot lasketaan eksponentin arvon löytämiseksi. Meillä on (1–1/2) 3,5–2 1/4 = (1/2) 3 = 1/8.

Nyt palaamme alkuperäiseen lausekkeeseen, korvaamme siinä olevat asteet niiden arvoilla ja löydämme tarvitsemamme lausekkeen arvon: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Vastaus:

2 3·4–10 +16·(1–1/2) 3,5–2·1/4 =6.

On syytä huomata, että on yleisempiä tapauksia, joissa on suositeltavaa suorittaa alustava ilmaisun yksinkertaistaminen valtuuksilla pohjalla.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Tämän lausekkeen eksponenteista päätellen ei ole mahdollista saada tarkkoja eksponenttiarvoja. Yritetään yksinkertaistaa alkuperäistä ilmaisua, ehkä tämä auttaa löytämään sen merkityksen. Meillä on

Vastaus:

Lausekkeiden tehot kulkevat usein käsi kädessä logaritmien kanssa, mutta puhumme logaritmien ilmaisujen merkityksen löytämisestä yhdessä niistä.

Murtolukuja sisältävän lausekkeen arvon löytäminen

Numeeriset lausekkeet voivat sisältää murto-osia merkinnöissään. Kun sinun on löydettävä tällaisen lausekkeen merkitys, muut kuin murtoluvut tulee korvata niiden arvoilla ennen kuin jatkat muihin vaiheisiin.

Murtolukujen osoittaja ja nimittäjä (jotka eroavat tavallisista murtoluvuista) voivat sisältää sekä joitain lukuja että lausekkeita. Tällaisen murtoluvun arvon laskemiseksi sinun on laskettava lausekkeen arvo osoittajassa, laskettava lausekkeen arvo nimittäjässä ja laskettava sitten itse murto-osan arvo. Tämä järjestys selittyy sillä, että murto-osa a/b, jossa a ja b ovat joitain lausekkeita, edustaa olennaisesti muodon (a):(b) osamäärää, koska .

Katsotaanpa esimerkkiratkaisua.

Esimerkki.

Selvitä lausekkeen merkitys murtoluvuilla .

Ratkaisu.

Alkuperäisessä numeerisessa lausekkeessa on kolme murtolukua Ja . Löytääksemme alkuperäisen lausekkeen arvon meidän on ensin korvattava nämä murtoluvut niiden arvoilla. Tehdään se.

Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät numeroita. Jos haluat selvittää tällaisen murtoluvun arvon, korvaa murtopalkki jakomerkillä ja suorita seuraava toiminto: .

Murtoluvun osoittajassa on lauseke 7−2·3, jonka arvo on helppo löytää: 7−2·3=7−6=1. Täten, . Voit siirtyä etsimään kolmannen murto-osan arvon.

Kolmas murto-osa osoittajassa ja nimittäjässä sisältää numeerisia lausekkeita, joten sinun on ensin laskettava niiden arvot, jolloin voit löytää itse murto-osan arvon. Meillä on .

On vielä korvattava löydetyt arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava loput toiminnot: .

Vastaus:

Usein, kun etsit fraktioiden arvoja, sinun on suoritettava yksinkertaistaa murtolausekkeita, joka perustuu toimintojen suorittamiseen murto-osien kanssa ja murtolukujen vähentämiseen.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Viiden juurta ei voida purkaa kokonaan, joten alkuperäisen lausekkeen arvon löytämiseksi yksinkertaistetaan sitä ensin. Tätä varten päästään eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä ensimmäinen murto: . Tämän jälkeen alkuperäinen lauseke saa muodon . Murtolukujen vähentämisen jälkeen juuret katoavat, jolloin voimme löytää alun perin annetun lausekkeen arvon: .

Vastaus:

Logaritmeilla

Jos numeerinen lauseke sisältää , ja jos niistä on mahdollista päästä eroon, tämä tehdään ennen muiden toimien suorittamista. Esimerkiksi, kun löydetään lausekkeen log 2 4+2·3 arvo, logaritmi log 2 4 korvataan sen arvolla 2, minkä jälkeen loput toiminnot suoritetaan tavallisessa järjestyksessä eli log 2 4+2 ·3=2+2·3=2+6=8.

Kun logaritmin etumerkin alla ja/tai sen pohjalla on numeerisia lausekkeita, löydetään ensin niiden arvot, minkä jälkeen logaritmin arvo lasketaan. Harkitse esimerkiksi lauseketta, jolla on muodon logaritmi . Logaritmin pohjalta ja sen etumerkin alta löytyy numeeriset lausekkeet: . Nyt löydämme logaritmin, jonka jälkeen suoritamme laskelmat: .

Jos logaritmeja ei lasketa tarkasti, niin sen alustava yksinkertaistaminen käyttämällä . Tässä tapauksessa sinun tulee hallita artikkelimateriaalia hyvin logaritmisen lausekkeiden muuntaminen.

Esimerkki.

Etsi lausekkeen arvo logaritmeilla .

Ratkaisu.

Aloitetaan laskemalla log 2 (log 2 256) . Koska 256 = 2 8, sitten log 2 256 = 8, log 2 (log 2 256) = log 2 8 = log 2 2 3 =3.

Logaritmit log 6 2 ja log 6 3 voidaan ryhmitellä. Logaritmien log 6 2+log 6 3 summa on yhtä suuri kuin tulologaritmin logaritmi (2 3), joten log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Katsotaan nyt murto-osaa. Aluksi kirjoitamme uudelleen logaritmin kantan nimittäjään tavallisen murtoluvun muodossa 1/5, jonka jälkeen käytämme logaritmien ominaisuuksia, joiden avulla voimme saada murtoluvun arvon:
.

Jäljelle jää vain korvaamalla saadut tulokset alkuperäisellä lausekkeella ja viimeistelemällä sen arvon löytäminen:

Vastaus:

Kuinka löytää trigonometrisen lausekkeen arvo?

Kun numeerinen lauseke sisältää tai jne., niiden arvot lasketaan ennen muiden toimien suorittamista. Jos trigonometristen funktioiden merkin alla on numeerisia lausekkeita, lasketaan ensin niiden arvot, minkä jälkeen löydetään trigonometristen funktioiden arvot.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Siirrymme artikkeliin, saamme ja cosπ=−1 . Korvaamme nämä arvot alkuperäiseen lausekkeeseen, se ottaa muodon . Löytääksesi sen arvon, sinun on ensin suoritettava eksponentio ja suoritettava sitten laskelmat: .

Vastaus:

On syytä huomata, että lausekkeiden arvojen laskeminen sinillä, kosinilla jne. vaatii usein etukäteen trigonometrisen lausekkeen muuntaminen.

Esimerkki.

Mikä on trigonometrisen lausekkeen arvo .

Ratkaisu.

Muunnetaan alkuperäinen lauseke käyttämällä , tässä tapauksessa tarvitsemme kaksinkertaisen kulman kosinikaavan ja summakosinikaavan:

Tekemämme muunnokset auttoivat meitä löytämään ilmaisun merkityksen.

Vastaus:

Yleinen tapaus

Yleensä numeerinen lauseke voi sisältää juuria, potteja, murtolukuja, joitain funktioita ja sulkeita. Tällaisten lausekkeiden arvojen löytäminen koostuu seuraavien toimien suorittamisesta:

ensimmäiset juuret, potenssit, murtoluvut jne. korvataan niiden arvoilla,
muut toimet suluissa,
ja järjestyksessä vasemmalta oikealle, loput operaatiot suoritetaan - kerto- ja jakolasku, jota seuraa yhteen- ja vähennyslasku.

Luettelotoimenpiteet suoritetaan, kunnes saadaan lopullinen tulos.

Esimerkki.

Etsi ilmaisun merkitys .

Ratkaisu.

Tämän ilmaisun muoto on melko monimutkainen. Tässä lausekkeessa näemme murtoluvut, juuret, potenssit, sinit ja logaritmit. Kuinka löytää sen arvo?

Liikkuessamme tietuetta vasemmalta oikealle, törmäämme lomakkeen murto-osaan . Tiedämme, että kun työskentelemme monimutkaisten murtolukujen kanssa, meidän on laskettava erikseen osoittajan arvo, erikseen nimittäjä ja lopuksi löydettävä murto-osan arvo.

Osoittimessa on lomakkeen juuri . Sen arvon määrittämiseksi sinun on ensin laskettava radikaalilausekkeen arvo . Tässä on sini. Voimme löytää sen arvon vasta lausekkeen arvon laskemisen jälkeen . Tämän voimme tehdä: . Siis mistä ja mistä .

Nimittäjä on yksinkertainen: .

Täten, .

Kun tämä tulos on korvattu alkuperäisellä lausekkeella, se saa muotoa . Tuloksena oleva lauseke sisältää asteen . Löytääksemme sen arvon meidän on ensin löydettävä indikaattorin arvo, meillä on .

Joten,.

Vastaus:

Jos ei ole mahdollista laskea juurien, potenssien jne. tarkkoja arvoja, voit yrittää päästä eroon niistä käyttämällä joitain muunnoksia ja palata sitten arvon laskemiseen määritetyn järjestelmän mukaisesti.

Rationaalisia tapoja laskea lausekkeiden arvot

Numeeristen lausekkeiden arvojen laskeminen vaatii johdonmukaisuutta ja tarkkuutta. Kyllä, on tarpeen noudattaa edellisissä kappaleissa tallennettua toimintosarjaa, mutta tätä ei tarvitse tehdä sokeasti ja mekaanisesti. Tarkoitamme tällä sitä, että ilmaisun merkityksen löytämisprosessi on usein mahdollista järkeistää. Esimerkiksi tietyt numerooperaatioiden ominaisuudet voivat merkittävästi nopeuttaa ja yksinkertaistaa lausekkeen arvon löytämistä.

Tunnemme esimerkiksi tämän kertolaskuominaisuuden: jos tuotteen yksi tekijöistä on nolla, tuotteen arvo on myös nolla. Käyttämällä tätä ominaisuutta voimme heti sanoa, että lausekkeen arvo 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)·(45·36−2·4+456:3·43) on yhtä suuri kuin nolla. Jos noudatettaisiin normaalia toimintojen järjestystä, olisi ensin laskettava suluissa olevien hankalien lausekkeiden arvot, mikä veisi paljon aikaa ja tulos olisi silti nolla.

On myös kätevää käyttää yhtäläisten lukujen vähennysominaisuutta: jos vähennät yhtä suuren luvun luvusta, tulos on nolla. Tätä ominaisuutta voidaan tarkastella laajemmin: ero kahden identtisen numeerisen lausekkeen välillä on nolla. Voit esimerkiksi löytää lausekkeen arvon laskematta sulkeissa olevien lausekkeiden arvoa (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), se on yhtä suuri kuin nolla, koska alkuperäinen lauseke on identtisten lausekkeiden erotus.

Identiteettimuunnokset voivat helpottaa lausekearvojen rationaalista laskemista. Esimerkiksi termien ja tekijöiden ryhmittely voi olla hyödyllistä, ja sitä käytetään yhtä usein. Joten lausekkeen 53·5+53·7−53·11+5 arvo on erittäin helppo löytää, kun tekijä 53 on otettu pois suluista: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Suora laskeminen kestäisi paljon kauemmin.

Tämän kohdan lopuksi kiinnitämme huomiota rationaaliseen lähestymistapaan fraktioiden arvojen laskemiseen - identtiset tekijät murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä peruutetaan. Esimerkiksi samojen lausekkeiden vähentäminen murtoluvun osoittajassa ja nimittäjässä voit löytää välittömästi sen arvon, joka on yhtä suuri kuin 1/2.

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvon löytäminen

Kirjaimellisen lausekkeen ja muuttujalausekkeen arvo löytyy tietyille kirjainten ja muuttujien arvoille. Toisin sanoen puhumme kirjaimellisen lausekkeen arvon löytämisestä annetuille kirjainarvoille tai muuttujien arvon löytämisestä valituille muuttujan arvoille.

Sääntö kirjaimellisen lausekkeen tai muuttujia sisältävän lausekkeen arvon löytäminen annetuille kirjainten arvoille tai valituille muuttujien arvoille on seuraava: sinun on korvattava annetut kirjainten tai muuttujien arvot alkuperäisellä lausekkeella ja laskettava tuloksena olevan numeerisen lausekkeen arvo, se on haluttu arvo.

Esimerkki.

Laske lausekkeen 0.5·x−y arvo kohdissa x=2.4 ja y=5.

Ratkaisu.

Löytääksesi lausekkeen vaaditun arvon, sinun on ensin korvattava muuttujien annetut arvot alkuperäisellä lausekkeella ja suoritettava sitten seuraavat vaiheet: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Vastaus:

−3,8 .

Viimeisenä huomautuksena, toisinaan muuntaminen kirjaimellisille ja muuttujalausekkeille tuottaa niiden arvot riippumatta kirjainten ja muuttujien arvoista. Esimerkiksi lauseke x+3−x voidaan yksinkertaistaa, minkä jälkeen se saa muotoa 3. Tästä voimme päätellä, että lausekkeen x+3−x arvo on yhtä suuri kuin 3 mille tahansa muuttujan x arvolle sen sallittujen arvojen alueelta (APV). Toinen esimerkki: lausekkeen arvo on yhtä suuri kuin 1 x:n kaikille positiivisille arvoille, joten muuttujan x sallittujen arvojen alue alkuperäisessä lausekkeessa on positiivisten lukujen joukko, ja tällä alueella yhtäläisyys pitää.

Bibliografia.

Matematiikka: oppikirja 5 luokalle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. painos, poistettu. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematiikka. 6. luokka: koulutus. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [N. Ja Vilenkin ja muut]. - 22. painos, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: oppikirja 7 luokalle Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; muokannut S. A. Teljakovsky. - 17. painos - M.: Koulutus, 2008. - 240 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: oppikirja 8 luokalle. Yleissivistävä koulutus laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; muokannut S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M.: Koulutus, 2008. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. luokka: koulutus. yleissivistävää koulutusta varten laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; muokannut S. A. Teljakovsky. - 16. painos - M.: Koulutus, 2009. - 271 s. : sairas. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Algebra ja analyysin alku: Proc. 10-11 luokalle. Yleissivistävä koulutus instituutiot / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ja muut; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. painos - M.: Koulutus, 2004. - 384 s. - ISBN 5-09-013651-3.

Yleensä lapset alkavat opiskella algebraa peruskoulussa. Opiskeltuaan numeroiden kanssa työskentelyn perusperiaatteet he ratkaisevat esimerkkejä yhdellä tai useammalla tuntemattomalla muuttujalla. Tällaisen ilmaisun merkityksen löytäminen voi olla melko vaikeaa, mutta jos yksinkertaistaa sitä peruskoulun tiedoilla, kaikki selviää nopeasti ja helposti.

Mikä on ilmaisun merkitys

Numeerinen lauseke on algebrallinen merkintä, joka koostuu numeroista, suluista ja merkeistä, jos se on järkevää.

Toisin sanoen, jos ilmaisun merkitys on mahdollista löytää, merkintä ei ole merkityksetön ja päinvastoin.

Esimerkit seuraavista merkinnöistä ovat kelvollisia numeerisia rakenteita:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

Yksi numero edustaa myös numeerista lauseketta, kuten yllä olevan esimerkin numero 18.
Esimerkkejä virheellisistä numerorakenteista, joissa ei ole järkeä:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

Väärät numeeriset esimerkit ovat vain joukko matemaattisia symboleja, eikä niillä ole merkitystä.

Kuinka löytää lausekkeen arvo

Koska tällaiset esimerkit sisältävät aritmeettisia merkkejä, voimme päätellä, että ne mahdollistavat aritmeettiset laskelmat. Merkkien laskemiseksi tai toisin sanoen lausekkeen merkityksen löytämiseksi on suoritettava asianmukaiset aritmeettiset manipulaatiot.

Harkitse esimerkkinä seuraavaa rakennetta: (120-30)/3=30. Numero 30 on numeerisen lausekkeen (120-30)/3 arvo.

Ohjeet:

Numeerisen tasa-arvon käsite

Numeerinen yhtäläisyys on tilanne, jossa esimerkin kaksi osaa erotetaan toisistaan ”=”-merkillä. Toisin sanoen yksi osa on täysin samanlainen (identtinen) toisen kanssa, vaikka se näytetään muina symbolien ja numeroiden yhdistelminä.
Esimerkiksi mitä tahansa konstruktiota, kuten 2+2=4, voidaan kutsua numeeriseksi yhtälöksi, koska vaikka osat vaihdettaisiin, merkitys ei muutu: 4=2+2. Sama koskee monimutkaisempia rakenteita, jotka sisältävät sulkeita, jakoa, kertolaskua, operaatioita murtolukujen kanssa ja niin edelleen.

Kuinka löytää lausekkeen arvo oikein

Lausekkeen arvon löytämiseksi oikein on suoritettava laskelmia tietyn toimintojärjestyksen mukaan. Tätä järjestystä opetetaan matematiikan tunneilla ja myöhemmin peruskoulun algebratunneilla. Se tunnetaan myös aritmeettisina askelina.

Aritmeettiset askeleet:

Ensimmäinen vaihe on lukujen yhteen- ja vähennys.
Toisessa vaiheessa jako ja kertolasku suoritetaan.
Kolmas vaihe - numerot ovat neliöity tai kuutioitu.

Seuraavia sääntöjä noudattamalla voit aina määrittää lauseen merkityksen oikein:

Suorita toimenpiteet alkaen kolmannesta vaiheesta ja päättyen ensimmäiseen, jos esimerkissä ei ole sulkeita. Eli ensin neliö tai kuutio, sitten jakaminen tai kertominen ja vasta sitten yhteen- ja vähennyslasku.
Suluissa varustetuissa konstruktioissa suorita ensin suluissa olevat toimet ja noudata sitten yllä kuvattua järjestystä. Jos suluissa on useita, käytä myös ensimmäisen kappaleen menettelyä.
Esimerkeissä murto-osion muodossa selvitä ensin tulos osoittajasta, sitten nimittäjästä ja jaa sitten ensimmäinen toisella.

Ilmaisun merkityksen löytäminen ei ole vaikeaa, jos hankit perustiedot algebran ja matematiikan peruskursseista. Yllä kuvattujen tietojen ohjaamana voit ratkaista minkä tahansa ongelman, jopa monimutkaisemmankin.

Selvitä salasana VK:sta, tietäen kirjautumisen