Ottaen huomioon, mitä matriisi on yhtä suuri. Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi

Matriisit ovat matematiikan tärkeimpiä käytännön merkitystä. Usein retki matriisien teoriaan alkaa sanoilla: "Matriisi on suorakaiteen muotoinen pöytä...". Aloitamme tämän retken hieman eri suunnasta.

Minkä tahansa kokoiset ja minkä tahansa määrän tilaajatietoja sisältävät puhelinluettelot ovat vain matriiseja. Tällaiset matriisit näyttävät suunnilleen tältä:

On selvää, että me kaikki käytämme tällaisia ​​matriiseja melkein joka päivä. Näissä matriiseissa on eri määrä rivejä (ne vaihtelevat kuten puhelinyhtiön julkaisema luettelo, jossa voi olla tuhansia, satoja tuhansia ja jopa miljoonia rivejä, ja uusi muistikirja, jonka juuri aloitit, jossa on alle kymmenen riviä) ja sarakkeet (jonkinlainen virkamiesluettelo, jossa voi olla sarakkeita, kuten asema ja toimistonumero, ja sama osoitekirja, jossa ei välttämättä ole muita tietoja kuin nimi, joten sarakkeita on vain kaksi). siinä - nimi ja puhelinnumero).

Kaikenlaisia ​​matriiseja voidaan lisätä ja kertoa sekä niille voi tehdä muita operaatioita, mutta puhelinluetteloita ei tarvitse lisätä ja kertoa, siitä ei ole hyötyä, ja lisäksi voi käyttää mieltään.

Mutta monia matriiseja voidaan ja pitääkin lisätä ja kertoa ja siten ratkaista erilaisia ​​kiireellisiä ongelmia. Alla on esimerkkejä tällaisista matriiseista.

Matriisit, joissa sarakkeet ovat tietyntyyppisen tuotteen yksiköiden tuotantoa, ja rivit ovat vuosia, joille tämän tuotteen tuotanto kirjataan:

Voit lisätä tämän tyyppisiä matriiseja, jotka ottavat huomioon eri yritysten samankaltaisten tuotteiden tuotannon, saadaksesi yhteenvetotietoja toimialalle.

Tai matriiseja, jotka koostuvat esimerkiksi yhdestä sarakkeesta, jossa rivit ovat tietyntyyppisen tuotteen keskimääräisiä kustannuksia:

Kaksi viimeistä matriisityyppiä voidaan kertoa, jolloin tuloksena on rivimatriisi, joka sisältää kaikentyyppisten tuotteiden kustannukset vuosittain.

Matriisit, perusmääritelmät

Suorakaiteen muotoinen taulukko, joka koostuu numeroista, jotka on järjestetty sisään m linjat ja n sarakkeita kutsutaan mn-matriisi (tai yksinkertaisesti matriisi ) ja se on kirjoitettu näin:

(1)

Matriisissa (1) lukuja kutsutaan sen elementtejä (kuten determinantissa, ensimmäinen indeksi tarkoittaa rivin numeroa, toinen - saraketta, jonka leikkauskohdassa elementti sijaitsee; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matriisia kutsutaan suorakulmainen , Jos.

Jos m = n, niin matriisia kutsutaan neliö , ja luku n on sen järjestyksessä .

Neliömatriisin A determinantti on determinantti, jonka elementit ovat matriisin elementtejä A. Se on merkitty symbolilla | A|.

Neliömatriisia kutsutaan ei erityinen (tai ei-degeneroitunut , ei-yksikkö ), jos sen determinantti ei ole nolla, ja erityistä (tai rappeutunut , yksikkö ), jos sen determinantti on nolla.

Matriiseja kutsutaan yhtä suuri , jos niissä on sama määrä rivejä ja sarakkeita ja kaikki vastaavat elementit täsmäävät.

Matriisia kutsutaan tyhjä , jos kaikki sen alkiot ovat yhtä suuret kuin nolla. Merkitsemme nollamatriisia symbolilla 0 tai .

Esimerkiksi,

Matriisi-rivi (tai pienet kirjaimet ) kutsutaan nimellä 1 n-matriisi ja matriisi-sarake (tai pylväsmäinen ) – m 1-matriisi.

Matriisi A", joka saadaan matriisista A rivien ja sarakkeiden vaihtamista siinä kutsutaan siirretty osaksi kansallista lainsäädäntöä suhteessa matriisiin A. Siten matriisille (1) transponoitu matriisi on

Matriisisiirtooperaatio A" transponoitu suhteessa matriisiin A, kutsutaan matriisitranspositioksi A. varten mn-matriisitransponoitu on nm-matriisi.

Matriisin suhteen transponoitu matriisi on A, tuo on

(A")" = A .

Esimerkki 1. Etsi matriisi A", transponoitu matriisin suhteen

ja selvittää, ovatko alkuperäisen ja transponoidun matriisin determinantit yhtä suuret.

Päädiagonaali Neliömatriisi on sen elementtejä yhdistävä kuvitteellinen viiva, jonka molemmat indeksit ovat samat. Näitä elementtejä kutsutaan diagonaalinen .

Kutsutaan neliömatriisi, jossa kaikki päälävistäjän ulkopuoliset elementit ovat yhtä suuria kuin nolla diagonaalinen . Kaikki diagonaalimatriisin diagonaaliset elementit eivät välttämättä ole nollasta poikkeavia. Niiden joukossa voi olla nolla.

Neliömatriisia, jossa päälävistäjän alkiot ovat yhtä suuret, kuin nolla, ja kaikki muut ovat nollia, kutsutaan skalaarimatriisi .

Identiteettimatriisi kutsutaan diagonaalimatriisiksi, jossa kaikki diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin yksi. Esimerkiksi kolmannen asteen identiteettimatriisi on matriisi

Esimerkki 2. Annetut matriisit:

Ratkaisu. Lasketaan näiden matriisien determinantit. Kolmiosäännön avulla löydämme

Matriisin determinantti B lasketaan kaavalla

Sen saamme helposti

Siksi matriisit A ja ovat ei-singulaarisia (ei-degeneroituneita, ei-singulaarisia) ja matriisi B– erityinen (rappeutunut, yksikkö).

Minkä tahansa kertaluvun identiteettimatriisin determinantti on ilmeisesti yhtä suuri kuin yksi.

Ratkaise matriisitehtävä itse ja katso sitten ratkaisua

Esimerkki 3. Annetut matriisit

,

,

Määritä, mitkä niistä eivät ole yksiköitä (ei rappeutuneet, ei-singulaariset).

Matriisien käyttö matemaattisessa ja taloudellisessa mallintamisessa

Tietyn kohteen strukturoitu tieto tallennetaan yksinkertaisesti ja kätevästi matriisien muodossa. Matriisimalleja luodaan paitsi tämän strukturoidun tiedon tallentamiseen, myös näiden tietojen erilaisten ongelmien ratkaisemiseen lineaarisen algebran avulla.

Näin ollen hyvin tunnettu talouden matriisimalli on venäläistä alkuperää oleva amerikkalainen taloustieteilijä Vasily Leontiev esittelemä input-output -malli. Tämä malli perustuu oletukseen, että talouden koko tuotantosektori on jaettu n puhtaat teollisuudenalat. Jokainen toimiala tuottaa vain yhden tyyppisiä tuotteita, ja eri toimialat tuottavat erilaisia ​​tuotteita. Tästä toimialojen välisestä työnjaosta johtuen on olemassa toimialojen välisiä yhteyksiä, joiden tarkoitus on, että osa kunkin toimialan tuotannosta siirtyy tuotantoresurssina muille toimialoille.

Tuotteen määrä i-th toimiala (tietyllä mittayksiköllä mitattuna), joka on tuotettu raportointijakson aikana, on merkitty ja sitä kutsutaan täydeksi tuotokseksi i-th toimiala. Asiat voidaan laittaa kätevästi n-matriisin komponenttirivi.

Yksiköiden lukumäärä i-teollisuus, joka on käytettävä j-toimiala, joka tuottaa yksikön tuotannostaan, on nimetty ja nimeltään suora kustannuskerroin.

Matriisit. Toimet matriiseilla. Matriisien operaatioiden ominaisuudet. Matriisien tyypit.

Matriisit (ja vastaavasti matemaattinen osa - matriisialgebra) ovat tärkeitä soveltavassa matematiikassa, koska niiden avulla voidaan kirjoittaa melko yksinkertaisessa muodossa muistiin merkittävä osa esineiden ja prosessien matemaattisista malleista. Termi "matriisi" ilmestyi vuonna 1850. Matriisit mainittiin ensin muinaisessa Kiinassa ja myöhemmin arabimatemaatikot.

Matriisi A = A mn tilaus m*n kutsutaan suorakaiteen muotoinen lukutaulukko, joka sisältää m - riviä ja n - saraketta.

Matriisielementit aij, joita i=j kutsutaan diagonaaliksi ja muodoksi päädiagonaali.

Neliömatriisille (m=n) päädiagonaali muodostuu alkioista a 11, a 22,..., a nn.

Matriisin tasa-arvo.

A=B, jos matriisi määrää A Ja B ovat samat ja a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Toimet matriiseilla.

1. Matriisilisäys - elementtikohtainen toiminta

2. Matriisien vähentäminen - elementtikohtainen operaatio

3. Matriisin ja luvun tulo on elementtikohtainen operaatio

4. Kertominen A*B matriiseja säännön mukaan rivistä sarakkeeseen(matriisin A sarakkeiden lukumäärän on oltava yhtä suuri kuin matriisin B rivien lukumäärä)

A mk *B kn = C mn ja jokainen elementti ij:n kanssa matriiseja Cmn on yhtä suuri kuin matriisin A i:nnen rivin alkioiden tulojen summa matriisin B j:nnen sarakkeen vastaavilla alkioilla, ts.

Havainnollistetaan esimerkin avulla matriisin kertolasku

5. Eksponentointi

m>1 on positiivinen kokonaisluku. A on neliömatriisi (m=n) ts. koskee vain neliömatriiseja

6. Transponoitu matriisi A. Transponoitu matriisi on merkitty A T tai A"

Rivit ja sarakkeet vaihdettu

Esimerkki

Matriisien operaatioiden ominaisuudet

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Matriisien tyypit

1. Suorakaiteen muotoinen: m Ja n- mielivaltaiset positiiviset kokonaisluvut

2. Neliö: m = n

3. Matriisirivi: m = 1. Esimerkiksi (1 3 5 7) - monissa käytännön ongelmissa tällaista matriisia kutsutaan vektoriksi

4. Matriisisarake: n = 1. Esimerkiksi

5. Diagonaalimatriisi: m = n Ja a ij = 0, Jos i≠j. Esimerkiksi

6. Identiteettimatriisi: m = n Ja

7. Nollamatriisi: a ij = 0, i = 1,2,...,m

j = 1,2,...,n

8. Kolmiomatriisi: kaikki päälävistäjän alapuolella olevat elementit ovat 0.

9. Symmetrinen matriisi: m = n Ja a ij =a ji(eli yhtäläiset elementit sijaitsevat symmetrisissä paikoissa suhteessa päädiagonaaliin), ja siksi A"=A

Esimerkiksi,

10. Vinosymmetrinen matriisi: m = n Ja a ij =-a ji(eli vastakkaiset elementit sijaitsevat paikoin, jotka ovat symmetrisiä päädiagonaaliin nähden). Näin ollen päädiagonaalissa on nollia (joista lähtien i=j meillä on a ii =-a ii)

Asia selvä, A"=-A

11. Hermitian matriisi: m = n Ja a ii =-ã ii (ã ji- kompleksi - konjugoitu a ji, eli Jos A=3+2i, sitten kompleksikonjugaatti Ã=3-2i)

Määritelmä 1. Matrix A kokom n on suorakaiteen muotoinen taulukko, jossa on m riviä ja n saraketta ja joka koostuu luvuista tai muista matemaattisista lausekkeista (kutsutaan matriisielementeiksi), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, tai

Määritelmä 2. Kaksi matriisia
Ja
samaa kokoa kutsutaan yhtä suuri, jos ne kohtaavat elementti kerrallaan, ts. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Matriisien avulla on helppo kirjata joitain taloudellisia riippuvuuksia, esimerkiksi resurssien jakautumistaulukoita tietyille talouden sektoreille.

Määritelmä 3. Jos matriisin rivien lukumäärä on sama kuin sen sarakkeiden lukumäärä, ts. m = n, niin matriisia kutsutaan neliön järjestysn, muuten suorakulmainen.

Määritelmä 4. Siirtymä matriisista A matriisiin A m, jossa rivit ja sarakkeet vaihdetaan samalla kun järjestys säilyy, on ns. osaksi kansallista lainsäädäntöä matriiseja.

Matriisityypit: neliö (koko 33) -
,

suorakaiteen muotoinen (koko 25) -
,

diagonaali -
, yksittäinen -
, nolla -
,

matriisirivi -
, matriisi-sarake -.

Määritelmä 5. N:n kertaluvun neliömatriisin alkioita, joilla on samat indeksit, kutsutaan päädiagonaalin elementeiksi, ts. nämä ovat elementit:
.

Määritelmä 6. N:n kertaluvun neliömatriisin alkioita kutsutaan toissijaisen diagonaalin elementeiksi, jos niiden indeksien summa on n + 1, ts. nämä ovat elementit: .

1.2. Operaatiot matriiseilla.

1 0 . Määrä kaksi matriisia
Ja
Samankokoista matriisia kutsutaan matriisiksi C = (jossa ij), jonka alkiot määräytyy yhtälöllä ij = a ij + b ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1, 2,3,…,n).

Matriisin summausoperaation ominaisuudet.

Kaikille samankokoisille matriiseille A, B, C seuraavat yhtälöt:

1) A + B = B + A (kommutatiivisuus),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assosiatiivisuus).

2 0 . Työ matriiseja
numeroa kohti  kutsutaan matriisiksi
samankokoinen kuin matriisi A, ja b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Matriisin luvulla kertomisen ominaisuudet.

(A) = ()A (kertoimen assosiatiivisuus);

(A+B) = A+B (kertolaskujakauma suhteessa matriisisummaan);

(+)A = A+A (kertolaskujakauma suhteessa lukujen yhteenlaskuun).

Määritelmä 7. Matriisien lineaarinen yhdistelmä
Ja
samankokoinen on lauseke muotoa A+B, missä  ja  ovat mielivaltaisia ​​lukuja.

3 0 . Tuote A  Matriiseissa A:ta ja B:tä, joiden koko on mn ja nk, kutsutaan matriisiksi C, jonka koko on mk, jolloin alkio, jossa ij on yhtä suuri kuin i:nnen rivin alkioiden tulojen summa. matriisin A ja matriisin B j:nnen sarakkeen, ts. jossa ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Tulo AB on olemassa vain, jos matriisin A sarakkeiden lukumäärä on sama kuin matriisin B rivien lukumäärä.

Matriisin kertolaskuoperaation ominaisuudet:

(AB)C = A(BC) (assosiatiivisuus);

(A+B)C = AC+BC (jakauma suhteessa matriisilisäukseen);

A(B+C) = AB+AC (jakauma suhteessa matriisilisäukseen);

AB  BA (ei kommutatiivinen).

Määritelmä 8. Matriiseja A ja B, joille AB = BA, kutsutaan commutingiksi tai työmatkaksi.

Minkä tahansa järjestyksen neliömatriisin kertominen vastaavalla identiteettimatriisilla ei muuta matriisia.

Määritelmä 9. Elementaariset muunnokset Seuraavia operaatioita kutsutaan matriiseiksi:

Vaihda kaksi riviä (saraketta).

Kerrotaan jokainen rivin (sarakkeen) elementti muulla kuin nollalla.

Lisätään yhden rivin (sarakkeen) elementteihin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit.

Määritelmä 10. Matriisista A alkeismuunnoksilla saatua matriisia B kutsutaan vastaava(merkitty BA).

Esimerkki 1.1. Etsi matriisien 2A–3B lineaarinen yhdistelmä, jos

,
.

,
,

.

Esimerkki 1.2. Etsi matriisien tulo
, Jos

.

Ratkaisu: koska ensimmäisen matriisin sarakkeiden lukumäärä on sama kuin toisen matriisin rivien lukumäärä, matriisien tulo on olemassa. Tuloksena saamme uuden matriisin
, Missä

Tuloksena saamme
.

Luento 2. Determinantit. Toisen ja kolmannen kertaluvun determinanttien laskeminen. Determinanttien ominaisuudetn- järjestys.

Matemaattinen matriisi on järjestettyjen elementtien taulukko. Tämän taulukon mitat määräytyvät siinä olevien rivien ja sarakkeiden lukumäärän mukaan. Mitä tulee matriisien ratkaisemiseen, se viittaa valtavaan määrään operaatioita, jotka suoritetaan näille samoille matriiseille. Matemaatikot erottavat useita matriisetyyppejä. Joihinkin heistä sovelletaan yleisiä päätöksentekosääntöjä, kun taas toisiin ei. Esimerkiksi, jos matriiseilla on sama ulottuvuus, ne voidaan lisätä, ja jos ne ovat yhdenmukaisia ​​keskenään, ne voidaan kertoa. Minkä tahansa matriisin ratkaisemiseksi on löydettävä determinantti. Lisäksi matriisit saatetaan osaksi kansallista lainsäädäntöä ja niistä löydetään alaikäisiä. Joten katsotaan kuinka ratkaista matriisit.

Matriisien ratkaisujärjestys

Ensin kirjoitetaan annetut matriisit muistiin. Laskemme kuinka monta riviä ja saraketta niillä on. Jos rivien ja sarakkeiden lukumäärä on sama, tällaista matriisia kutsutaan neliöksi. Jos matriisin jokainen elementti on yhtä suuri kuin nolla, niin tällainen matriisi on nolla. Seuraava asia, jonka teemme, on löytää matriisin päädiagonaali. Tällaisen matriisin elementit sijaitsevat oikeasta alakulmasta vasempaan yläkulmaan. Matriisin toinen diagonaali on toissijainen. Nyt sinun on transponoitava matriisi. Tätä varten on tarpeen korvata kummankin matriisin rivielementit vastaavilla sarakeelementeillä. Esimerkiksi elementin a21 alla oleva elementti osoittautuu elementiksi a12 tai päinvastoin. Siten tämän menettelyn jälkeen pitäisi ilmestyä täysin erilainen matriisi.

Jos matriiseilla on täsmälleen samat mitat, ne voidaan helposti lisätä. Tätä varten otamme ensimmäisen matriisin a11 ensimmäisen elementin ja lisäämme sen toisen matriisin b11 samanlaiseen elementtiin. Kirjoitamme, mitä seurauksena tapahtuu samassa paikassa, vain uuteen matriisiin. Nyt lisäämme kaikki muut matriisin elementit samalla tavalla, kunnes saamme uuden täysin erilaisen matriisin. Katsotaanpa vielä muutama tapa ratkaista matriisit.

Vaihtoehdot työskentelyyn matriisien kanssa

Voimme myös määrittää, ovatko matriisit johdonmukaisia. Tätä varten meidän on verrattava ensimmäisen matriisin rivien määrää toisen matriisin sarakkeiden määrään. Jos ne osoittautuvat yhtäläisiksi, voit kertoa ne. Tätä varten kerromme pareittain yhden matriisin rivielementin toisen matriisin vastaavalla sarakeelementillä. Vasta tämän jälkeen on mahdollista laskea saatujen tuotteiden summa. Tämän perusteella tuloksena saatavan matriisin alkualkio on g11 = a11* b11 + a12*b21 + a13*b31 + … + a1m*bn1. Kun kaikki tuotteet on lisätty ja kerrottu, voit täyttää lopullisen matriisin.

Matriiseja ratkaistessasi voit löytää kullekin myös niiden determinantin ja determinantin. Jos matriisi on neliö ja sen mitat ovat 2 x 2, niin determinantti löytyy pää- ja toissijaisten diagonaalien elementtien tulojen erotuksena. Jos matriisi on jo kolmiulotteinen, niin determinantti voidaan löytää käyttämällä seuraavaa kaavaa. D = a11* a22*a33 + a13* a21*a32 + a12* a23*a31 - a21* a12*a33 - a13* a22*a31 - a11* a32*a23.

Löytääksesi tietyn elementin molliarvon, sinun on yliviivattava sarake ja rivi, jossa tämä elementti sijaitsee. Etsi tämän jälkeen tämän matriisin determinantti. Hänestä tulee vastaava alaikäinen. Vastaava päätösmatriisimenetelmä kehitettiin useita vuosikymmeniä sitten tuloksen luotettavuuden lisäämiseksi jakamalla ongelma osaongelmiin. Joten matriisien ratkaiseminen ei ole niin vaikeaa, jos osaa matemaattiset perustoiminnot.

Matriisi ulottuvuus on numerotaulukko, joka sisältää rivejä ja sarakkeita. Numeroita kutsutaan tämän matriisin elementeiksi, missä on rivinumero, on sarakkeen numero, jonka leikkauskohdassa tämä elementti on. Rivejä ja sarakkeita sisältävä matriisi on muotoa: .

Matriisityypit:

1) klo - neliö , ja he soittavat matriisijärjestys ;

2) neliömatriisi, jossa kaikki ei-diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuria kuin nolla

– diagonaalinen ;

3) diagonaalimatriisi, jossa kaikki diagonaaliset alkiot ovat yhtä suuret

yksikkö - yksittäinen ja sitä merkitään ;

4) klo - suorakulmainen ;

5) when – rivimatriisi (rivivektori);

6) when – matriisi-sarake (vektori-sarake);

7) kaikille – nollamatriisi.

Huomaa, että neliömatriisin tärkein numeerinen ominaisuus on sen determinantti. Kolmannen kertaluvun matriisia vastaavalla determinantilla on myös kertaluku.

Ensimmäisen asteen matriisin determinantti kutsuttu numero.

Toisen asteen matriisin determinantti kutsuttu numero . (1.1)

Kolmannen asteen matriisin determinantti kutsuttu numero . (1.2)

Esitetään jatkoesitystä varten tarvittavat määritelmät.

Alaikäinen M ij elementti A ij matriiseja n- järjestystä A kutsutaan matriisin determinantiksi ( n-1)- matriisista A poistamalla saatu järjestys i- rivi ja j sarake.

Algebrallinen komplementti A ij elementti A ij matriiseja n- järjestyksen A on tämän elementin molli, otettuna merkillä .

Muotoillaan determinanttien perusominaisuudet, jotka ovat luontaisia ​​kaikkien kertalukujen determinanteille, ja yksinkertaistetaan niiden laskemista.

1. Kun matriisi transponoidaan, sen determinantti ei muutu.

2. Kun matriisin kaksi riviä (saraketta) järjestetään uudelleen, sen determinantti vaihtaa etumerkkiä.

3. Determinantti, jossa on kaksi verrannollista (yhtäsuuruista) riviä (saraketta), on yhtä suuri kuin nolla.

4. Determinantin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin merkistä.

5. Jos determinantin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkiot ovat kahden termin summa, niin determinantti voidaan jakaa kahden vastaavan determinantin summaksi.

6. Determinantti ei muutu, jos sen toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit, jotka on aiemmin kerrottu millä tahansa luvulla, lisätään minkä tahansa sen rivin (sarakkeen) elementteihin.

7. Matriisin determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa sen rivin (sarakkeen) alkioiden tulojen summa näiden elementtien algebrallisilla komplementeilla.

Selitetään tämä ominaisuus 3. asteen determinantin esimerkillä. Tässä tapauksessa ominaisuus 7 tarkoittaa sitä – determinantin hajottaminen 1. rivin elementeiksi. Huomaa, että jaottelua varten valitse se rivi (sarake), jossa on nolla alkiota, koska jaottelussa vastaavat termit muuttuvat nollaksi.

Ominaisuus 7 on Laplacen muotoilema determinanttihajotuslause.

8. Determinantin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden tulojen sen toisen rivin (sarakkeen) vastaavien alkioiden algebrallisten komplementtien summa on nolla.

Viimeistä ominaisuutta kutsutaan usein determinantin pseudohajotukseksi.

Itsetestauskysymykset.

1. Mitä kutsutaan matriisiksi?

2. Mitä matriisia kutsutaan neliöiksi? Mitä sen järjestyksellä tarkoitetaan?

3. Mitä matriisia kutsutaan diagonaaliksi, identiteetiksi?

4. Mitä matriisia kutsutaan rivimatriisiksi ja sarakematriisiksi?

5. Mikä on neliömatriisin tärkein numeerinen ominaisuus?

6. Mitä lukua kutsutaan 1., 2. ja 3. kertaluvun determinantiksi?

7. Mitä kutsutaan matriisielementin molli- ja algebralliseksi komplementiksi?

8. Mitkä ovat determinanttien pääominaisuudet?

9. Minkä ominaisuuden avulla voidaan laskea minkä tahansa järjestyksen determinantti?

Toimet matriiseilla(kaavio 2)

Useita operaatioita määritellään matriisijoukolle, joista tärkeimmät ovat seuraavat:

1) osaksi kansallista lainsäädäntöä – matriisirivien korvaaminen sarakkeilla ja sarakkeiden korvaaminen riveillä;

2) matriisin kertominen luvulla tehdään elementti kerrallaan, eli , Missä , ;

3) matriisilisäys, määritelty vain samankokoisille matriiseille;

4) kahden matriisin kertolasku, jotka on määritelty vain sovitetuille matriiseille.

Kahden matriisin summa (erotus). kutsutaan tällaista tuloksena olevaa matriisia, jonka jokainen elementti on yhtä suuri kuin matriisitermien vastaavien elementtien summa (ero).

Näitä kahta matriisia kutsutaan sovittu , jos ensimmäisen sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin toisen sarakkeiden lukumäärä. Kahden sovitetun matriisin tulo ja tällaista tuloksena olevaa matriisia kutsutaan , Mitä , (1.4)

Missä , . Tästä seuraa, että matriisin :nnen rivin ja sarakkeen elementti on yhtä suuri kuin matriisin :nnen rivin elementtien ja matriisin :nnen sarakkeen elementtien paritulojen summa.

Matriisien tulo ei ole kommutatiivinen, eli A . B B . A. Poikkeuksena on esimerkiksi neliömatriisien ja yksikön A tulo . E = E . A.

Esimerkki 1.1. Kerro matriisit A ​​ja B, jos:

.

Ratkaisu. Koska matriisit ovat johdonmukaisia ​​(matriisin sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin rivien lukumäärä), käytämme kaavaa (1.4):

Itsetestauskysymykset.

1. Mitä toimia matriiseille suoritetaan?

2. Mitä kutsutaan kahden matriisin summaksi (erotukseksi)?

3. Mitä kutsutaan kahden matriisin tuloksi?

Cramerin menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden toisen asteen järjestelmien ratkaisemiseksi(kaavio 3)

Annetaan joukko tarpeellisia määritelmiä.

Lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan heterogeeninen , jos ainakin yksi sen vapaista ehdoista on eri kuin nolla, ja homogeeninen , jos kaikki sen vapaat ehdot ovat nolla.

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen on järjestetty numerojoukko, joka, kun se korvataan järjestelmän muuttujilla, muuttaa jokaisen yhtälön identiteetiksi.

Yhtälöjärjestelmä on ns liitos , jos siinä on vähintään yksi ratkaisu ja ei-nivel , jos hänellä ei ole ratkaisuja.

Samanaikaista yhtälöjärjestelmää kutsutaan varma , jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epävarma , jos siinä on useampi kuin yksi ratkaisu.

Tarkastellaan epähomogeenistä neliöllistä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmää, jolla on seuraava yleinen muoto:

. (1.5) Järjestelmän päämatriisi lineaariset algebralliset yhtälöt on matriisi, joka koostuu tuntemattomiin liittyvistä kertoimista: .

Järjestelmän päämatriisin determinanttia kutsutaan päätekijä ja on nimetty.

Apudeterminantti saadaan päädeterminantista korvaamalla sarake vapaiden termien sarakkeella.

Lause 1.1 (Cramerin lause). Jos neliöllisen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden päädeterminantti on nollasta poikkeava, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka lasketaan kaavoilla:

Jos päädeterminantti on , niin järjestelmässä on joko ääretön määrä ratkaisuja (kaikille nolla apudeterminanteille) tai ei ratkaisua ollenkaan (jos ainakin yksi apudeterminanteista eroaa nollasta)

Yllä olevien määritelmien valossa Cramerin lause voidaan muotoilla eri tavalla: jos lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän päädeterminantti on nollasta poikkeava, niin järjestelmä määritellään yhdessä ja samalla ; jos päädeterminantti on nolla, niin järjestelmä on joko yhdessä määrittelemätön (kaikille ) tai epäjohdonmukainen (jos ainakin yksi niistä eroaa nollasta).

Tämän jälkeen tuloksena oleva liuos on tarkistettava.

Esimerkki 1.2. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä

Ratkaisu. Koska järjestelmän päätekijä

eroaa nollasta, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Lasketaan apudeterminantit

Käytetään Cramerin kaavoja (1.6): , ,

Itsetestauskysymykset.

1. Mitä kutsutaan yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi?

2. Mitä yhtälöjärjestelmää kutsutaan yhteensopivaksi tai yhteensopimattomaksi?

3. Mitä yhtälöjärjestelmää kutsutaan määrätyksi tai epämääräiseksi?

4. Mitä yhtälöjärjestelmän matriisia kutsutaan päämatriisiksi?

5. Kuinka lasketaan lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän apudeterminantit?

6. Mikä on Cramerin menetelmän ydin lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi?

7. Millainen voi olla lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä, jos sen päädeterminantti on nolla?

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden kvadraattisten järjestelmien ratkaiseminen käänteismatriisimenetelmällä(kaavio 4)

Kutsutaan matriisia, jolla on nollasta poikkeava determinantti ei-degeneroitunut ; jonka determinantti on yhtä suuri kuin nolla - rappeutunut .

Matriisia kutsutaan käänteiseksi tietylle neliömatriisille, jos kerrottaessa matriisi sen käänteissuhteella sekä oikealla että vasemmalla, saadaan identiteettimatriisi, eli. (1.7)

Huomaa, että tässä tapauksessa matriisien ja tulo on kommutatiivinen.

Lause 1.2. Välttämätön ja riittävä ehto käänteisen matriisin olemassaololle tietylle neliömatriisille on, että annetun matriisin determinantti on eri kuin nolla

Jos järjestelmän päämatriisi osoittautuu testauksen aikana singulaariseksi, sille ei ole käänteistä, eikä tarkasteltavaa menetelmää voida soveltaa.

Jos päämatriisi on ei-singulaarinen, eli determinantti on 0, niin sille voidaan löytää käänteismatriisi seuraavalla algoritmilla.

1. Laske kaikkien matriisin elementtien algebralliset komplementit.

2. Kirjoita löydetyt algebralliset lisäykset transponoituun matriisiin.

3. Luo käänteimatriisi kaavalla: (1.8)

4. Tarkista löydetyn matriisin A-1 oikeellisuus kaavan (1.7) mukaisesti. Huomaa, että tämä tarkistus voidaan sisällyttää itse järjestelmäratkaisun lopputarkastukseen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä (1.5) voidaan esittää matriisiyhtälönä: , jossa on järjestelmän päämatriisi, on tuntemattomien sarake ja on vapaiden termien sarake. Kerrotaan tämä vasemmalla oleva yhtälö käänteismatriisilla, saadaan:

Koska käänteismatriisin määritelmän mukaan yhtälö saa muodon tai . (1.9)

Siten, jotta voit ratkaista neliöllisen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän, sinun on kerrottava vasemmalla oleva vapaiden termien sarake järjestelmän päämatriisin käänteismatriisilla. Tämän jälkeen sinun tulee tarkistaa tuloksena oleva ratkaisu.

Esimerkki 1.3. Ratkaise järjestelmä käänteismatriisimenetelmällä

Ratkaisu. Lasketaan järjestelmän päädeterminantti

. Näin ollen matriisi on ei-singulaarinen ja sen käänteismatriisi on olemassa.

Etsitään päämatriisin kaikkien elementtien algebralliset komplementit:

Kirjoitetaan matriisiin transponoidut algebralliset lisäykset

. Etsitään systeemiin ratkaisu kaavojen (1.8) ja (1.9) avulla

Itsetestauskysymykset.

1. Mitä matriisia kutsutaan singulaariseksi, ei-degeneroituneeksi?

2. Mitä matriisia kutsutaan annetun matriisin käänteiseksi? Mikä on sen olemassaolon ehto?

3. Mikä on algoritmi käänteisen matriisin löytämiseksi tietylle matriisille?

4. Mikä matriisiyhtälö vastaa lineaarista algebrallista yhtälöjärjestelmää?

5. Miten ratkaistaan ​​lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä käyttämällä järjestelmän päämatriisin käänteismatriisia?

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisten järjestelmien tutkimus(kaavio 5)

Minkä tahansa lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän tutkiminen alkaa sen laajennetun matriisin muuntamisesta Gaussin menetelmällä. Olkoon järjestelmän päämatriisin ulottuvuus yhtä suuri kuin .

Matriisi kutsutaan laajennetuksi järjestelmän matriisi , jos se sisältää tuntemattomien kertoimien kanssa sarakkeen vapaita termejä. Siksi mitta on .

Gaussin menetelmä perustuu alkeellisia muunnoksia , jotka sisältävät:

– matriisirivien uudelleenjärjestely;

– kerrotaan matriisin rivit ohjauspyörästä poikkeavalla luvulla;

– matriisirivien lisäys elementtikohtaisesti;

– nollarivin poistaminen;

– matriisitransponointi (tässä tapauksessa muunnokset suoritetaan sarakkeiden mukaan).

Alkuperäiset muunnokset johtavat alkuperäisen järjestelmän sitä vastaavaan järjestelmään. Järjestelmät kutsutaan vastaaviksi , jos niillä on samat ratkaisut.

Matrix-arvo kutsutaan sen nollasta poikkeavien alaikäisten korkeimmaksi asteeksi. Elementaariset muunnokset eivät muuta matriisin järjestystä.

Seuraava lause vastaa kysymykseen ratkaisujen olemassaolosta epähomogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Lause 1.3 (Kronecker-Capelli-lause). Epähomogeeninen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä on johdonmukainen silloin ja vain, jos järjestelmän laajennetun matriisin järjestys on yhtä suuri kuin sen päämatriisin arvo, ts.

Merkitään matriisissa Gaussin menetelmän jälkeen jäljellä olevien rivien lukumäärää (vastaavasti järjestelmään jäävien yhtälöiden määrällä). Nämä rivit matriiseja kutsutaan perus .

Jos , niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (määritelty yhdessä), sen matriisi pelkistetään kolmiomuotoon alkeismuunnoksilla. Tällainen järjestelmä voidaan ratkaista käyttämällä Cramer-menetelmää, käyttämällä käänteismatriisia tai yleismaailmallista Gauss-menetelmää.

Jos (järjestelmän muuttujien määrä on suurempi kuin yhtälöt), matriisi pelkistetään vaiheittaiseen muotoon alkeismuunnoksilla. Tällaisella järjestelmällä on monia ratkaisuja, ja se on yhteisesti epävarma. Tässä tapauksessa ratkaisujen löytämiseksi järjestelmään on suoritettava useita toimintoja.

1. Jätä tuntemattomien järjestelmä yhtälöiden vasemmalle puolelle ( perusmuuttujia ), loput tuntemattomat siirretään oikealle puolelle ( vapaat muuttujat ). Kun muuttujat on jaettu perus- ja vapaaksi, järjestelmä saa muodon:

. (1.10)

2. Muodosta perusmuuttujien kertoimista sivu ( perus alaikäinen ), jonka on oltava muu kuin nolla.

3. Jos järjestelmän (1.10) perusmolli on nolla, korvaa yksi perusmuuttujista vapaalla; Tarkista, onko tuloksena oleva perus-molli nollasta poikkeava.

4. Soveltamalla Cramer-menetelmän kaavoja (1.6) ja pitäen yhtälöiden oikeat puolet niiden vapaina termeinä, etsi perusmuuttujille lauseke yleisen muodon vapailla muuttujilla. Tuloksena oleva järjestysmuuttujien joukko on sen yleinen päätös .

5. Anna vapaat muuttujat (1.10) mielivaltaisissa arvoissa, laske perusmuuttujien vastaavat arvot. Tuloksena olevaa kaikkien muuttujien järjestettyä arvojen joukkoa kutsutaan yksityinen ratkaisu järjestelmät, jotka vastaavat annettuja vapaiden muuttujien arvoja. Järjestelmässä on ääretön määrä erityisiä ratkaisuja.

6. Hanki perusratkaisu järjestelmä – erityinen ratkaisu, joka saadaan vapaiden muuttujien nollaarvoille.

Huomaa, että järjestelmän (1.10) muuttujien kantajoukkojen lukumäärä on yhtä suuri kuin elementtien yhdistelmien lukumäärä elementeittäin. Koska jokaisella perusmuuttujajoukolla on oma perusratkaisunsa, niin järjestelmällä on myös perusratkaisut.

Homogeeninen yhtälöjärjestelmä on aina johdonmukainen, koska sillä on vähintään yksi – nolla (triviaali) ratkaisu. Jotta homogeenisella muuttujia sisältävällä lineaariyhtälöjärjestelmällä olisi nollasta poikkeavat ratkaisut, on välttämätöntä ja riittävää, että sen päädeterminantti on yhtä suuri kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että sen päämatriisin sijoitus on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä. Tässä tapauksessa homogeenisen yhtälöjärjestelmän tutkimus yleisille ja yksittäisille ratkaisuille suoritetaan samalla tavalla kuin epähomogeenisen järjestelmän tutkimus. Homogeenisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuilla on tärkeä ominaisuus: jos homogeeniseen lineaariseen yhtälöjärjestelmään tunnetaan kaksi eri ratkaisua, niin niiden lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu tähän järjestelmään. Seuraavan lauseen oikeellisuus on helppo varmistaa.

Lause 1.4. Epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu on vastaavan homogeenisen yhtälöjärjestelmän yleisen ratkaisun ja epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän jonkin tietyn ratkaisun summa

Esimerkki 1.4.

Tutustu annettuun järjestelmään ja löydä yksi tietty ratkaisu:

Ratkaisu. Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja sovelletaan siihen alkeismuunnoksia:

. Koska ja , Lauseen 1.3 (Kronecker-Capelli) mukaan annettu lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä on johdonmukainen. Muuttujien määrä tarkoittaa, että järjestelmä on epävarma. Järjestelmämuuttujien kantajoukkojen lukumäärä on yhtä suuri kuin

. Näin ollen 6 muuttujajoukkoa voi olla perusmuuttujia: . Tarkastellaanpa yhtä niistä. Sitten Gaussin menetelmän tuloksena saatu järjestelmä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

. Päätekijä. Cramerin menetelmällä etsimme yleistä ratkaisua järjestelmään. Ylimääräiset karsinnat

Kaavojen (1.6) mukaan meillä on

. Tämä perusmuuttujien ilmaisu vapailla muuttujilla edustaa järjestelmän yleistä ratkaisua:

Vapaiden muuttujien tietyille arvoille saadaan yleisestä ratkaisusta järjestelmän tietty ratkaisu. Esimerkiksi yksityinen ratkaisu vastaa vapaiden muuttujien arvoja. Tällä saamme järjestelmän perusratkaisun

Itsetestauskysymykset.

1. Mitä yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi tai epähomogeeniseksi?

2. Mitä matriisia kutsutaan laajennetuksi?

3. Listaa matriisien alkeismuunnokset. Mikä menetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi perustuu näihin muunnoksiin?

4. Mikä on matriisin arvo? Kuinka voit laskea sen?

5. Mitä Kronecker-Capellin lause sanoo?

6. Mihin muotoon lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä voidaan pelkistää Gaussin menetelmän ratkaisun tuloksena? Mitä tämä tarkoittaa?

7. Mitä matriisin rivejä kutsutaan perusriveiksi?

8. Mitä järjestelmämuuttujia kutsutaan perusmuuttujiksi ja mitkä ovat vapaita?

9. Mitä epähomogeenisen järjestelmän ratkaisua kutsutaan yksityiseksi?

10. Mitä sen ratkaisuista kutsutaan perusratkaisuiksi? Kuinka monta perusratkaisua epähomogeenisellä lineaariyhtälöjärjestelmällä on?

11. Mitä epähomogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisua kutsutaan yleiseksi? Muotoile lause epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän yleisestä ratkaisusta.

12. Mitkä ovat homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisujen pääominaisuudet?