Mikä on Euler Venn -kaavio. Kuinka ratkaista ongelmia Euler-Venn-kaavioiden avulla. Kaavion laatimisen periaate

Osat: Tietokone Tiede

1. Esittely

Perus- ja yläkoulun tietojenkäsittelytieteen ja ICT:n kursseilla pohditaan sellaisia ​​tärkeitä aiheita kuin "Logiikan perusteet" ja "Tiedon etsiminen Internetistä". Tietyntyyppistä ongelmaa ratkaistaessa on kätevää käyttää Euler-ympyröitä (Euler-Venn-kaavioita).

Matemaattinen viittaus. Euler-Venn-kaavioita käytetään ensisijaisesti joukkoteoriassa useiden joukkojen kaikkien mahdollisten leikkauspisteiden kaaviokuvana. Yleensä ne edustavat kaikkia n ominaisuuden 2 n yhdistelmää. Esimerkiksi, kun n=3, Euler-Venn-kaavio kuvataan yleensä kolmena ympyränä, joiden keskipisteet ovat tasasivuisen kolmion kärjessä ja joiden säde on sama, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin kolmion sivun pituus.

2. Loogisten konnektiivien esitys hakukyselyissä

Kun tutkitaan aihetta "Tiedon etsiminen Internetistä", tarkastellaan esimerkkejä hakukyselyistä, jotka käyttävät loogisia konnektiiveja, jotka ovat merkitykseltään samanlaisia ​​​​kuin venäjän kielen konjunktiot "ja", "tai". Loogisten konnektiivien merkitys tulee selvemmäksi, jos havainnollistat niitä graafisella kaaviolla - Euler-ympyrät (Euler-Venn-kaaviot).

3. Loogisten operaatioiden yhteys joukkoteoriaan

Euler-Venn-kaavioiden avulla voidaan visualisoida loogisten operaatioiden ja joukkoteorian välistä yhteyttä. Esittelyyn voit käyttää dioja Liite 1.

Loogiset operaatiot määritellään niiden totuustaulukoilla. SISÄÄN Liite 2 Loogisten operaatioiden graafiset kuvat ja niiden totuustaulukot käsitellään yksityiskohtaisesti. Selvitetään kaavion muodostamisen periaate yleisessä tapauksessa. Kaaviossa A-nimisen ympyrän alue näyttää lauseen A totuuden (joukkoteoriassa ympyrä A on kaikkien tiettyyn joukkoon sisältyvien elementtien nimitys). Vastaavasti ympyrän ulkopuolella oleva alue näyttää vastaavan lauseen "false" arvon. Ymmärtääksesi, mikä kaavion alue näyttää loogisen toiminnon, sinun on varjostettava vain ne alueet, joissa loogisen operaation arvot joukoissa A ja B ovat yhtä suuret kuin "tosi".

Esimerkiksi implikaatioarvo on tosi kolmessa tapauksessa (00, 01 ja 11). Varjostetaan peräkkäin: 1) kahden leikkaavan ympyrän ulkopuolella oleva alue, joka vastaa arvoja A=0, B=0; 2) vain ympyrään B (puolikuu) liittyvä alue, joka vastaa arvoja A=0, B=1; 3) sekä ympyrään A että ympyrään B liittyvä alue (leikkaus) - vastaa arvoja A=1, B=1. Näiden kolmen alueen yhdistelmä on graafinen esitys implikaatioiden loogisesta toiminnasta.

4. Eulerin ympyröiden käyttö loogisten yhtälöiden (lait) todistamisessa

Loogisten yhtäläisyyksien todistamiseksi voit käyttää Euler-Venn-kaaviomenetelmää. Todistetaan seuraava yhtälö ¬(АvВ) = ¬А&¬В (de Morganin laki).

Esittääksesi visuaalisesti yhtälön vasenta puolta, tehdään se peräkkäin: varjostetaan molemmat ympyrät (käytä disjunktiota) harmaalla värillä, sitten näyttääksesi inversion varjostaa ympyröiden ulkopuolella oleva alue mustalla:

Kuva 3 Kuva 4

Esittääksesi visuaalisesti yhtälön oikean puolen, tehdään se peräkkäin: varjostetaan inversion näyttämisalue (¬A) harmaalla ja vastaavasti alue ¬B myös harmaalla; sitten konjunktion näyttämiseksi sinun on otettava näiden harmaiden alueiden leikkauspiste (peittokuvan tulos esitetään mustalla):

Kuva 5 Kuva 6 Kuva 7

Näemme, että vasemman ja oikean osan näyttöalueet ovat yhtä suuret. Q.E.D.

5. Tehtävät valtiokokeen ja yhtenäisen valtiontutkinnon muodossa aiheesta: "Tiedon etsiminen Internetistä"

Ongelma nro 18 GIA 2013:n demoversiosta.

Taulukko näyttää kyselyt hakupalvelimelle. Jokaiselle pyynnölle ilmoitetaan sen koodi - vastaava kirjain A:sta G:hen. Järjestä pyyntökoodit vasemmalta oikealle laskeva kuinka monta sivua hakukone löytää kustakin pyynnöstä.

Koodi	Pyyntö
A	(Fly & Money) | Samovar
B	Fly & Money & Bazaar & Samovar
SISÄÄN	Lentää | Rahaa | Samovar
G	Fly & Money & Samovar

Jokaiselle kyselylle rakennamme Euler-Venn-kaavion:

Pyydä A

Pyyntö B

Pyyntö B

Pyydä G

Vastaus: VAGB.

Tehtävä B12 Unified State Exam 2013:n demoversiosta.

Taulukko näyttää kyselyt ja löydettyjen sivujen lukumäärän tietylle Internet-segmentille.

Pyyntö	Sivuja löydetty (tuhansina)
Fregatti | Hävittäjä	3400
Fregatti ja tuhoaja	900
Fregatti	2100

Kuinka monta sivua (tuhansina) kyselylle löytyy? Hävittäjä?

Uskotaan, että kaikki kyselyt suoritettiin lähes samanaikaisesti, joten kaikki haetut sanat sisältävät sivut eivät muuttuneet kyselyjen suorittamisen aikana.

Ф – sivumäärä (tuhansia) pyynnöstä Fregatti;

E – sivumäärä (tuhansia) pyynnöstä Hävittäjä;

X – sivujen määrä (tuhansina) kyselylle, jossa mainitaan Fregatti Ja Ei mainitsi Hävittäjä;

Y – sivujen määrä (tuhansina) kyselylle, jossa mainitaan Hävittäjä Ja Ei mainitsi Fregatti.

Rakennetaan Euler-Venn-kaaviot jokaiselle kyselylle:

Pyyntö	Euler-Venn kaavio	Sivujen määrä
Fregatti | Hävittäjä	Kuva 12	3400
Fregatti ja tuhoaja	Kuva 13	900
Fregatti	Kuva 14	2100
Hävittäjä	Kuva 15	?

Kaavioiden mukaan meillä on:

1. X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Tästä löydämme Y = 3400-2100 = 1300.
2. E = 900 + U = 900 + 1 300 = 2 200.

Vastaus: 2200.

6. Loogisten merkityksellisten ongelmien ratkaiseminen Euler-Venn-kaaviomenetelmällä

Luokassa on 36 henkilöä. Tämän luokan oppilaat käyvät matematiikan, fysiikan ja kemian piireissä, joista 18 henkilöä matematiikan piirissä, 14 henkilöä fysikaalisessa piirissä, 10 henkilöä. Lisäksi tiedetään, että kaikilla kolmella piirillä on 2 henkilöä, 8 henkilöä osallistua sekä matemaattiseen että fyysiseen, 5 ja matemaattiseen ja kemialliseen, 3 - sekä fysikaaliseen että kemialliseen.

Kuinka monta oppilasta luokassa ei käy kerhoissa?

Tämän ongelman ratkaisemiseksi on erittäin kätevää ja intuitiivista käyttää Eulerin ympyröitä.

Suurin ympyrä on kaikkien luokan oppilaiden joukko. Ympyrän sisällä on kolme leikkaavaa joukkoa: matemaattisen ( M), fyysinen ( F), kemiallinen ( X) ympyrät.

Antaa MFC- paljon kavereita, joista jokainen käy kaikissa kolmessa kerhossa. MF¬X- paljon lapsia, joista jokainen käy matematiikan ja fysiikan kerhoissa ja Ei käy kemian puolella. ¬M¬FH- paljon tyyppejä, joista jokainen käy kemian kerhossa eivätkä käy fysiikan ja matematiikan kerhoissa.

Samoin esittelemme sarjat: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Tiedetään, että kaikkiin kolmeen piiriin osallistuu 2 henkilöä, joten alueella MFC Syötetään numero 2. Koska 8 henkilöä osallistuu sekä matemaattisiin että fyysisiin piireihin, ja heidän joukossaan on jo 2 henkilöä kaikilla kolmella piirillä, sitten alueella MF¬X laitetaan sisään 6 henkilöä (8-2). Määritetään samalla tavalla opiskelijoiden määrä jäljellä olevissa sarjoissa:

Lasketaan yhteen ihmisten määrä kaikilla alueilla: 7+6+3+2+4+1+5=28. Näin ollen 28 henkilöä luokasta käy kerhoissa.

Tämä tarkoittaa, että 36-28 = 8 opiskelijaa ei käy kerhoissa.

Talviloman jälkeen luokanopettaja kysyi, kumpi lapsista meni teatteriin, elokuvateatteriin tai sirkukseen. Kävi ilmi, että luokan 36 oppilaista kaksi ei ollut koskaan käynyt elokuvissa. ei teatterissa eikä sirkuksessa. 25 henkilöä kävi elokuvissa, 11 teatterissa, 17 sirkuksessa; sekä elokuvassa että teatterissa - 6; sekä elokuvateatterissa että sirkuksessa - 10; ja teatterissa ja sirkuksessa - 4.

Kuinka moni on käynyt elokuvissa, teatterissa ja sirkuksessa?

Olkoon x niiden lasten lukumäärä, jotka ovat olleet elokuvissa, teatterissa ja sirkuksessa.

Sitten voit rakentaa seuraavan kaavion ja laskea kavereiden lukumäärän kullakin alueella:

Elokuvateatterissa ja teatterissa vieraili 6 henkilöä, mikä tarkoittaa, että elokuvissa ja teatterissa kävi vain 6 henkilöä. Vastaavasti vain elokuvissa ja sirkuksessa (10.) ihmiset. Vain teatterissa ja sirkuksessa (4) henkilöä. 25 henkilöä kävi elokuvateatterissa, mikä tarkoittaa, että heistä 25 kävi vain elokuvateatterissa - (10s) - (6s) - x = (9+x). Vastaavasti vain teatterissa oli (1+x) henkilöä. Sirkuksessa oli vain (3+x) henkilöä. En ole käynyt teatterissa, elokuvissa tai sirkuksessa – 2 henkilöä. Eli 36-2=34 henkilöä. osallistui tapahtumiin. Toisaalta voimme laskea yhteen teatterissa, elokuvissa ja sirkuksessa olleiden ihmisten lukumäärän: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10s)+(6s)+(4s)+x = 34 Tästä seuraa, että vain yksi henkilö osallistui kaikkiin kolmeen tapahtumaan.

Siten Euler-ympyrät (Euler-Venn-kaaviot) löytävät käytännön sovelluksen Unified State Examination ja State Examination -muodon tehtävien ratkaisemisessa sekä merkityksellisten loogisten ongelmien ratkaisemisessa.

Kirjallisuus

1. V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logiikka tietojenkäsittelytieteessä. M.: Informatiikka ja koulutus, 2006. 155 s.
2. L.L. Bosova. Tietokoneiden aritmeettiset ja loogiset perusteet. M.: Informatiikka ja koulutus, 2000. 207 s.
3. L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Oppikirja. Tietojenkäsittelytiede ja ICT luokalle 8: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 220 s.
4. L.L. Bosova, A. Yu. Bosova. Oppikirja. Tietojenkäsittelytiede ja ICT luokalle 9: BINOM. Knowledge Laboratory, 2012. 244 s.
5. FIPI:n verkkosivusto: http://www.fipi.ru/

Joukon visualisoimiseksi paremmin voit käyttää piirustusta nimeltä Euler_Venn-kaavio Tämä on suljettu viiva, jonka sisällä tietyn joukon elementit sijaitsevat, ja ulkopuolella - elementit, jotka eivät kuulu joukkoon.

Ladata:

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu sisään siihen: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

Venn-kaavio Merkit ∈ ja ∉ Grade 3 Matematiikka Peterson L.G.

Mikä tahansa joukko A voidaan kuvata graafisesti suljettuna viivana. Uskotaan, että joukon (A) elementit sijaitsevat tämän rivin sisällä ja kaikki elementit, jotka eivät kuulu joukkoon (A), ovat sen ulkopuolella. Tätä kaaviota kutsutaan Venn-kaavioksi. a 2 m Esimerkiksi kaavio joukosta B = ( 2, m, ) voidaan piirtää seuraavasti: B

Merkit ∈ ja ∉ a 2 m Lause ”Luku 2 kuuluu joukkoon B” voidaan kirjoittaa lyhyemmin: 2 ∈ B. Etumerkki ∈ luetaan: ”kuuluu” Lause ”Kirjain a ei kuulu joukkoon B ” voidaan kirjoittaa myös lyhyemmin: a ∉ B. Merkki ∉ luetaan : ”ei kuulu” B

e 8 b A 4 Kuvassa on kaavio joukosta A. Mitkä alkiot kuuluvat joukkoon A ja mitkä eivät siihen? b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Lue vastaanotetut nuotit uudelleen.

Merkitse alkiot d, 10, 5 joukon C kaavioon, jos tiedetään, että: ∈ C ∉ C C d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ C d 10 5

On olemassa joukko M = (a, b, c, ). Kumpi merkki pitäisi laittaa: ∈ vai ∉? a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉

D on joukko kaksinumeroisia lukuja. Ovatko luvut 26, 307, 8, 940, 15, 60 joukon D alkioita? 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Merkitään nämä luvut kaavioon. 26 307 8 940 15 60 Nimeä joukon D pienin ja suurin määrä. D = ( 10 , …, …, … 99)

A on paljon perhosia ja B on paljon ruusuja. Kuinka muodostaa kaavioita joukoista A ja B? Kuinka monta perhosta kuuluu joukkoon A? Kuinka monta ruusua kuuluu joukkoon B? Kuinka monta yhteistä elementtiä joukoilla A ja B on?

Kotitehtävä. Sivu 12 nro 11, 12

Joukkoteorian elementit.

"Alla monet ymmärrämme intuitiomme tai ajatuksemme tiettyjen, täysin erotettavissa olevien objektien yhdistämisen yhdeksi kokonaisuudeksi" - näin joukkoteorian perustaja Georg Cantor kuvaili "joukon" käsitettä.

Cantorin joukkoteorian perusoletukset tiivistyvät seuraaviin:

1° Joukko voi koostua mistä tahansa erotettavissa olevista objekteista.

2° Joukko määritellään yksiselitteisesti sen muodostavien objektien joukolla.

3° Mikä tahansa ominaisuus määrittää joukon objekteja, joilla on tämä ominaisuus.

Jos x on objekti, P on ominaisuus, P(x) on merkintä, että x:llä on ominaisuus P, niin (x|P(x)) tarkoittaa koko objektiluokkaa, jolla on ominaisuus P. Objektit, jotka muodostavat luokkaa tai joukkoa kutsutaan elementtejä luokkaa tai sarjaa.

Termi " joukko" käytetään synonyyminä käsitteille joukko, kokoelma, joidenkin elementtien kokoelma. Siten voimme puhua:

a) monta mehiläistä pesässä,

b) joukko pisteitä janalla,

c) neliön kärkijoukko tai sen sivujen ja diagonaalien joukko,

d) paljon opiskelijoita yleisössä jne.

Yllä olevissa esimerkeissä tapauksissa a), c)-d), vastaavat joukot koostuvat tietystä äärellisestä määrästä objekteja, tällaisia ​​joukkoja kutsutaan ns. lopullinen. Janan pistejoukkoa (esimerkki b)) ei voida laskea, joten tällaisia ​​joukkoja kutsutaan loputon. Joukkoa, joka ei sisällä yhtä alkiota, kutsutaan tyhjä monet.

Yksinkertaisin tapa määrittää joukko on listata sen elementit, esimerkiksi A = (4, 7, 13) (joukko A koostuu kolmesta alkiosta - kokonaisluvuista 4, 7, 13). Toinen usein käytetty osoitusmuoto on joukon alkioiden ominaisuuksien osoittaminen, esimerkiksi A = (x| x 2 ≤ 4) - määrätyn ehdon täyttävä lukujen joukko x.

Joukot merkitään yleensä isoilla kirjaimilla A, B, C,... ja niiden elementit pienillä kirjaimilla: a, b, c,... Merkintä a ∈ A (lue: a kuuluu A:lle) tai A ∋ a (lue: A sisältää a) tarkoittaa , että a on joukon A alkio. Tyhjää joukkoa merkitään symbolilla Ø.

Jos jokainen joukon B alkio on myös joukon A alkio, kutsutaan joukkoa B osajoukko asettaa A (nimitys - B ⊆ A tai A ⊇ B).

Jokainen joukko on oma osajoukkonsa (tämä on joukon "levein" osajoukko). Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon osajoukko (tämä on "kapein" osajoukko). Mikä tahansa muu joukon A osajoukko sisältää vähintään yhden joukon A elementin, mutta ei kaikkia sen alkioita. Tällaisia ​​osajoukkoja kutsutaan tosi- tai oikeiksi osajouksiksi. Joukon A todellisille osajoukoille käytetään merkintää B ⊂ A tai A ⊃ B Jos samanaikaisesti B ⊆ A ja A ⊆ B, eli jokainen joukon B alkio kuuluu A:lle, ja samalla. Aikanaan jokainen A:n elementti kuuluu B:hen, silloin A ja B ilmiselvästi koostuvat samoista alkioista ja ovat siksi yhteneväisiä. Tässä tapauksessa käytetään joukkoa yhtäläisyysmerkkiä: A = B. (Symboleja ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ kutsutaan sisällytyssymboleiksi).

Geometrisesti joukot on yleensä kuvattu tiettyinä pistejoukkoina tasossa. Itse kuvat ovat ns Euler-Venn-kaaviot (Eulerin ympyrät). Toisin sanoen Euler-Venn-kaaviot ovat geometrisia esityksiä joukoista tai geometrisia esityksiä käsitemäärien välisistä suhteista leikkaavien ääriviivojen (ympyröiden tai ellipsien) kautta, joita ehdotti englantilainen loogikko John Venn (1834 - 1923) viime vuosisadan lopulla. . Loogisten hahmojen visuaalista graafista esittämistä koskevissa teoksissaan hän turvautui useisiin graafisiin järjestelmiin, joita ehdottivat Euler (1707 - 1783), I. Lambert (1728 - 1777), Gergonne (1771 - 1859), B. Bolzano (1781 - 1848).

Tässä on joitain kaavioita. Kaavion rakentaminen koostuu suuren suorakulmion piirtämisestä, joka edustaa universaalia joukkoa U, ja sen sisällä - ympyröitä (tai muita suljettuja kuvioita), jotka edustavat joukkoja. Muotojen on leikattava yleisimmällä tavalla tehtävän edellyttämällä tavalla ja ne on merkittävä vastaavasti. Kaavion eri alueiden sisällä olevia pisteitä voidaan pitää vastaavien joukkojen elementteinä. Kun kaavio on muodostettu, voit varjostaa tietyt alueet osoittamaan äskettäin muodostettuja joukkoja.

Joukkooperaatioiden katsotaan hankkivan uusia joukkoja olemassa olevista.

Määritelmä. yhdistys joukot A ja B on joukko, joka koostuu kaikista niistä alkioista, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista A, B (kuva 1):

Määritelmä. Ylittämällä joukot A ja B on joukko, joka koostuu kaikista niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat samanaikaisesti sekä joukkoon A että joukkoon B (kuva 2):

Määritelmä. Eron mukaan joukot A ja B ovat kaikkien niiden ja vain niiden A:n elementtien joukko, jotka eivät sisälly B:hen (kuva 3):

Määritelmä. Symmetrinen ero joukot A ja B ovat näiden joukkojen elementtijoukko, jotka kuuluvat joko vain joukkoon A tai vain joukkoon B (kuva 4):

Toinen yleinen nimitys symmetriselle erolle on: A ∆ B, sijasta A + B.

Määritelmä. Ehdoton täydennys joukko A on joukko niitä elementtejä, jotka eivät kuulu joukkoon A (kuva 5):

Leikkausoperaation ominaisuudet: 1) A∩A=A; 2) A∩Ø=Ø; 3) A∩Ā= Ø; 4) A∩U=A; 5) A∩B=B∩A;	Liiton toiminnan ominaisuudet: 1) AUA=A; 2) AUØ = A; 3) AUĀ = U; 4) AUU=U; 5) AUB = BUA;
Erotusoperaation ominaisuudet: 1) A\A= Ø; 2) A\Ø = A; 3) A\Ā = A; 4) A\U = Ø;	5) U\A= Ā; 6) \A =Ø; 7) A\B≠B\A;

Seuraavat yhtälöt ovat voimassa: (AUB)= A∩B; (A∩B) = AUB.

Lopuksi esitämme toisen kaavan kolmen joukon liiton elementtien lukumäärän laskemiseksi (kuvassa esitetylle niiden suhteelliselle järjestelylle):

m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C)

Esimerkki 1. Kirjoita muistiin luvun 15 kaikkien luonnollisten jakajien joukko ja sen alkioiden lukumäärä.

Esimerkki 2. Tietyt joukot A=(2,3,5,8,13,15), B=(1,3,4,8,16), C=(12,13,15,16), D= (0,1 ,20).

Etsi AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D.

AUB= (1,2,3,4,5,8,13,15,16)

CUD= (0,1,12,13,15,16,20)

AUBUC= (1,2,3,4,5,8,12,13,15,16)

BU(D∩C)= (1,3,4,8,16)

(A∩C)\D= (13.15)

Esimerkki 3. Koulussa on 1400 oppilasta. Näistä 1250 osaa hiihtää ja 952 luistelee. 60 opiskelijaa ei osaa hiihtää tai luistella. Kuinka moni oppilas osaa luistella ja hiihtää?

A∩B on joukko opiskelijoita, jotka eivät osaa hiihtää tai luistella.

Ehdolla m(A∩B)=60 käytämme myös yhtälöä (AUB)= A∩B, jolloin m((AUB))=60.

Joten m(AUB)=m( U)-m((AUB))=1400-60=1340.

Ehdolla m(A)=1250, m(B)=952, saamme m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862

Esimerkki 4. 25 opiskelijan ryhmä läpäisi kokeen seuraavin tuloksin: 2 henkilöä sai vain "erinomaisen"; 3 henkilöä sai erinomaiset, hyvät ja tyydyttävät arvosanat; 4 henkilöä vain "hyvä"; 3 henkilöä sai hyvät ja tyydyttävät arvosanat. Vain "erinomainen" tai "hyvä" läpäisseiden opiskelijoiden määrä on yhtä suuri kuin istunnon vain "tyydyttävällä" arvosanalla läpäisineiden lukumäärä. Yksikään opiskelija ei ole saanut vain erinomaisia ​​ja tyydyttäviä arvosanoja. Tyydyttävän tai hyvän arvosanan sai 22 opiskelijaa. Kuinka moni opiskelija ei saapunut kokeisiin? Kuinka moni opiskelija läpäisi istunnon vain ”tyydyttävästi”? Sitten ehdosta saamme

Löydämme kokeeseen saapumattomien opiskelijoiden määrän seuraavasti:

Vastaus: 6 opiskelijaa sai vain "tyydyttävät" arvosanat, 1 opiskelija ei saapunut kokeisiin.

Esimerkki 5.

Liittovaltion koulutusvirasto

Valtion ammatillinen korkeakouluoppilaitos

Kansallinen tutkimus

Tomskin ammattikorkeakoulu

Luonnonvarainstituutti

VM:n laitos

ABSTRAKTI

Aihe : « Euler-Venn kaavio»

Toteuttaja:

Ryhmän 2U00 opiskelija

Valvoja:

Johdanto………………………………………………………………………………..………..3

1. Historiasta……………………………………………………………………………….….…..4

2. Euler-Venn-kaavio………………………………………………………………….…..4

3. Toiminnot Euler-Venn-kaaviosarjoilla……………………….5

a) Yhdistys………………………….. ……………………………….……7

b) Leikkaus, lisäys……………………………………………………..7

c) Peircen nuoli, Schaefferin isku ja ero................................................8

d) Ero………………………………………………………………8

e) Symmetrinen ero ja ekvivalenssi……………………….…….9

Johtopäätös……………………………………………………………………………………10

Viitteet…………………………………………………………………..11

Johdanto

Eulerin ympyrät ovat geometrinen kaavio, jota voidaan käyttää kuvaamaan osajoukkojen välisiä suhteita visuaalista esitystä varten. Ympyrät keksi Leonhard Euler. Käytetään matematiikassa, logiikassa, johtamisessa ja muilla soveltavilla aloilla.

Tärkeä Euler-ympyröiden erikoistapaus ovat Euler-Venn-kaaviot, jotka kuvaavat kaikki 2n n ominaisuuden yhdistelmää, eli äärellistä Boolen algebraa. Kun n = 3, Euler-Venn-kaavio kuvataan yleensä kolmena ympyränä, joiden keskipisteet ovat tasasivuisen kolmion kärjessä ja joiden säde on suunnilleen yhtä suuri kuin kolmion sivun pituus.

Ratkaisessaan useita ongelmia Leonhard Euler käytti ajatusta esittää joukkoja ympyröiden avulla. Eräs saksalainen filosofi ja matemaatikko (1646-1716) käytti tätä menetelmää kuitenkin jo ennen Euleria. Leibniz käytti niitä käsitteiden välisten loogisten yhteyksien geometriseen tulkintaan, mutta halusi silti käyttää lineaarisia kaavioita.

Mutta L. Euler itse kehitti tämän menetelmän melko perusteellisesti. Eulerin ympyrämenetelmää käytti myös saksalainen matemaatikko Ernst Schröder (1841-1902) kirjassaan “Logikin algebra”. Graafiset menetelmät saavuttivat erityisen kukoistuksen englantilaisen loogikon John Vennin (1843-1923) teoksissa. Hän hahmotteli niitä yksityiskohtaisesti kirjassa "Symbolic Logic", joka julkaistiin Lontoossa vuonna 1881. Siksi tällaisia ​​kaavioita kutsutaan joskus Euler-Venn-kaavioiksi.

1. Historiasta

Leonard Euler(1707 - 1783, Pietari, Venäjän valtakunta) - matemaatikko, mekaanikko, fyysikko. Fysiologian dosentti, fysiikan professori, korkeamman matematiikan professori, joka antoi merkittävän panoksen matematiikan sekä mekaniikan, fysiikan, tähtitieteen ja useiden soveltavien tieteiden kehitykseen.

Euler on kirjoittanut yli 800 teosta matemaattisesta analyysistä, differentiaaligeometriasta, lukuteoriasta, likimääräisistä laskelmista, taivaanmekaniikasta, matemaattisesta fysiikasta, optiikasta, ballistiikasta, laivanrakennuksesta, musiikin teoriasta jne.

Hän vietti lähes puolet elämästään Venäjällä, missä hän antoi merkittävän panoksen Venäjän tieteen kehitykseen. Vuonna 1726 hänet kutsuttiin töihin Pietariin, jonne hän muutti vuotta myöhemmin. Vuodet 1711-1741 ja myös 1766 hän oli Pietarin tiedeakatemian akateemikko (1741-1766 hän työskenteli Berliinissä ja pysyi samalla Pietarin akatemian kunniajäsenenä). Hän osasi venäjän kielen hyvin ja julkaisi osan teoksistaan ​​(erityisesti oppikirjoistaan) venäjäksi. Ensimmäiset venäläiset akateemiset matemaatikot (S.K. Kotelnikov) ja tähtitieteilijät (S.Ya. Rumovsky) olivat Eulerin opiskelijoita. Jotkut hänen jälkeläisistään asuvat edelleen Venäjällä.

John Venn (1, englantilainen logiikka. Työskenteli luokkalogiikan alalla, jossa hän loi erityisen graafisen laitteen (ns. Venn-kaaviot), joka löysi sovelluksen "muodollisten hermoverkkojen" loogis-matemaattisessa teoriassa. Venn vastaa mm. käänteisten operaatioiden perustelu J. Boolen loogisessa laskennassa oli logiikka, ja hän julkaisi kolme teosta tästä aiheesta: The Logic of Chance, joka esitteli taajuuden tai todennäköisyysteorian tulkinnan vuonna. 1866, jolla Venn-kaaviot otettiin käyttöön vuonna 1881; empiirinen logiikka" vuonna 1889, joka perustelee Boolen logiikan käänteisiä operaatioita.

Matematiikassa joukkoja edustavien ympyröiden muotoisia piirustuksia on käytetty hyvin pitkään. Yksi ensimmäisistä, jotka käyttivät tätä menetelmää, oli erinomainen saksalainen matemaatikko ja filosofi (1 Hänen karkeista luonnoksistaan ​​löytyi sellaisia ​​ympyröitä sisältäviä piirroksia. Sitten Leonhard Euler kehitti tämän menetelmän melko perusteellisesti. Hän työskenteli monta vuotta Pietarin akatemiassa Tieteet juontavat juurensa hänen kuuluisaan "Kirjeisiin saksalaiselle prinsessalle", joka on kirjoitettu vuosina 1761-1768. Joissakin näistä "kirjeistä..." Euler puhuu hänen menetelmästään Eulerin jälkeen tšekkiläinen matemaatikko Bernard Bolzano (1Vain kirjassa Toisin kuin Euler, hän ei piirtänyt ympyrän muotoisia, vaan suorakulmaisia ​​kaavioita. Eulerin ympyrämenetelmää käytti myös saksalainen matemaatikko Ernest Schroeder (1Tätä menetelmää käytetään laajalti kirjassa "Logikin algebra". graafiset menetelmät saavuttivat suurimman kukoistuksensa englantilaisen loogikon John Vennin teoksissa (1C tämä menetelmä saavutti suurimman täydellisyytensä) hän hahmotteli kirjassa "Symbolic Logic", joka julkaistiin Lontoossa vuonna 1881. Vennin kunniaksi Eulerin ympyröiden sijasta vastaavia piirustuksia kutsutaan joskus Venn-kaavioiksi; joissakin kirjoissa niitä kutsutaan myös Euler-Venn-kaavioiksi (tai ympyröiksi).

2. Euler-Venn-kaavio

Joukon ja osajoukon käsitteitä käytetään monien matematiikan käsitteiden määrittelyssä ja erityisesti geometrisen kuvion määrittelyssä. Määritellään taso universaaliksi joukoksi. Sitten voimme antaa seuraavan määritelmän geometriselle kuviolle planimetriassa:

Geometrinen kuvio kutsutaan mitä tahansa tason pistejoukkoa. Voit näyttää joukot ja niiden väliset suhteet visuaalisesti piirtämällä geometrisia kuvioita, jotka ovat näissä suhteissa keskenään. Tällaisia ​​joukkokuvia kutsutaan Euler-Venn-kaavioiksi. Euler–Venn-kaaviot tekevät selväksi erilaisia ​​väitteitä joukoista. Niissä universaali joukko on kuvattu suorakulmiona ja sen osajoukot ympyröinä. Käytetään matematiikassa, logiikassa, johtamisessa ja muilla soveltavilla aloilla.

Euler-Venn-kaavio koostuu suuresta suorakulmiosta, joka edustaa universaalia joukkoa U, ja sen sisällä - ympyröitä (tai muita suljettuja kuvioita), jotka edustavat joukkoja. Muotojen on leikattava yleisimmällä tavalla tehtävän edellyttämällä tavalla ja ne on merkittävä vastaavasti. Kaavion eri alueiden sisällä olevia pisteitä voidaan pitää vastaavien joukkojen elementteinä. Kun kaavio on muodostettu, voit varjostaa tietyt alueet osoittamaan äskettäin muodostettuja joukkoja.

Sarjojen perustoiminnot:

Risteysliiton ero

3. Toimenpiteet Euler-Venn-kaaviosarjoilla

Joukkooperaatioiden katsotaan hankkivan uusia joukkoja olemassa olevista.

	Määritelmä. yhdistys joukot A ja B on joukko, joka koostuu kaikista niistä alkioista, jotka kuuluvat ainakin yhteen joukoista A, B (kuva 1):
	Määritelmä. Ylittämällä joukot A ja B on joukko, joka koostuu kaikista niistä ja vain niistä alkioista, jotka kuuluvat samanaikaisesti sekä joukkoon A että joukkoon B (kuva 2):
	Määritelmä . Eron mukaan joukot A ja B ovat kaikkien niiden ja vain niiden A:n elementtien joukko, jotka eivät sisälly B:hen (kuva 3):
	Määritelmä. Symmetrinen ero joukot A ja B ovat näiden joukkojen elementtijoukko, jotka kuuluvat joko vain joukkoon A tai vain joukkoon B (kuva 4):
	Määritelmä. Ehdoton täydennys joukko A on joukko niitä elementtejä, jotka eivät kuulu joukkoon A (kuva 5):

Nyt tarkemmin esimerkkien kera.

Olkoon annettu tietty joukko objekteja, jotka uudelleenlaskennan jälkeen voitaisiin merkitä

A = (1, 2, 4, 6) ja B = (2, 3, 4, 8, 9)

pyöreitä ja valkoisia esineitä. Voit soittaa alkuperäiseen sarjaan perustavanlaatuinen, ja osajoukot A ja B ovat yksinkertaisia sarjat.

Tämän seurauksena saamme neljä elementtiluokkaa:

C 0 = (5, 7, 10, 11) - elementeillä ei ole mitään nimetyistä ominaisuuksista,

C 1 = (1, 6) - elementeillä on vain ominaisuus A (pyöreä),

C 2 = (3, 8, 9) - elementeillä on vain ominaisuus B (valkoinen),

C 3 = (2, 4) - elementeillä on samanaikaisesti kaksi ominaisuutta A ja B.

Kuvassa 1.1. määritetyt luokat on kuvattu käyttämällä Euler-Venn kaaviot.

Riisi. 1.1

Usein kaavioissa ei ole täydellistä yleistä, esimerkiksi kuvassa 2 esitettyä. 1.2. Siinä joukko A sisältyy jo kokonaan B:hen. Tässä tapauksessa käytetään erityistä inkluusiomerkkiä (Ì): A Ì B = (1, 2, 4) Ì (1, 2, 3, 4, 6) .

Jos kaksi ehtoa täyttyy samanaikaisesti: A Ì B ja B Ì A, niin A = B, tässä tapauksessa sanotaan, että joukot A ja B täysin vastaava.

Riisi. 1.2

Kun neljä elementtiluokkaa on määritelty ja tarvittavat tiedot Euler-Venn-kaavioista annettu, otamme käyttöön operaatiot joukkoihin. Harkitse ensin operaatiota yhdistykset.

a) Yhdistys

yhdistys asettaa A = (1, 2, 4, 6) ja B = (2, 3, 4, 8, 9)

soitetaan joukkoon

A È B = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9),

jossa È on joukkojen liiton symboli. Siten liitto kattaa kolme elementtiluokkaa - C 1, C 2 ja C 3, jotka on varjostettu kaaviossa (kuva 1.3).

Loogisesti kahden joukon yhdistämistä voidaan luonnehtia sanoilla: elementti x kuuluu joukkoon A tai joukkoon B. Lisäksi konnektiivi "tai" tarkoittaa samanaikaisesti konnektiivista "ja". Tosiasia elementin omistajuudesta x joukko A on merkitty xО A. Mitä siis x kuuluu A:lle tai/ja B, ilmaistaan ​​kaavalla:

xÎ A È B = ( xÎ A) Ú ( xО B),

jossa Ú on loogisen konnektiivin symboli tai, jota kutsutaan disjunktio.

b) Leikkaus, lisäys

Ylittämällä joukkoja A ja B kutsutaan joukoksi A Ç B, joka sisältää ne elementit A:sta ja B:stä, jotka sisältyvät samanaikaisesti molempiin ryhmiin. Numeerista esimerkkiämme varten meillä on:

A Ç B = (1, 2, 4, 6) Ç (2, 3, 4, 8, 9) = (2, 4) = C 3.

Euler-Venn-kaavio leikkauspisteelle on esitetty kuvassa. 1.4.

Mitä x kuuluu samanaikaisesti kahteen joukkoon A ja B voidaan esittää lausekkeella:

xÎ A Ç B = ( xÎ A) Ù ( xО B),

jossa Ù on loogisen konnektiivin "ja" symboli, jota kutsutaan konjunktio.

Kuvitellaan toimenpide, joka johtaa varjostettuihin alueisiin C 1 ja C 3, muodostaen sarjan A (kuva 1.5). Sitten toinen operaatio, joka kattaa kaksi muuta aluetta - C 0 ja C 2 ei sisälly A:een, joka on merkitty nimellä A(Kuva 1.6).

Riisi. 1.5

Riisi. 1.6

Jos yhdistämme varjostetut alueet molemmissa kaavioissa, saadaan koko varjostettu joukko 1; A:n ja risteys A antaa tyhjälle joukolle 0, joka ei sisällä yhtä elementtiä:

A È A= 1, A Ç A = 0.

Joukko A täydentää aseta A perusjoukoksi V (tai 1); siitä syystä nimi: lisää aseta A, tai lisäys kuin operaatio. Boolen muuttujan täydennys x, eli x (Ei- x), soitetaan useimmiten x:n negaatio.

Leikkaus- ja lisäysoperaatioiden käyttöönoton jälkeen kaikki neljä aluetta Ci Euler-Venn-kaavio voidaan ilmaista seuraavasti:

C 0 = A Ç B, C 1 = A Ç B, C 2 = AÇ B, C 3 = A Ç B.

Yhdistämällä asiaankuuluvia alueita Ci Voit kuvitella minkä tahansa monitoimioperaation, mukaan lukien itse liiton:

A È B = (A Ç B) È ( AÇ B) È (A Ç B).

Euler-Venn-kaavio implikaatiota varten (kuva 1.10) näyttää osittainen joukon A sisällyttäminen joukkoon B, joka on erotettava koko sulkeumat (kuva 1.2).

Jos sanotaan, että "joukon A elementit sisältyvät joukkoon B", niin verkkotunnus C 3 on varjostettava, ja alue C 1 samalla välttämättömyydellä tulee jättää valkoiseksi. Alueiden osalta C 0 ja C 1 sijaitsee A Huomaa, että meillä ei ole oikeutta jättää niitä valkoisiksi, mutta olemme silti velvollisia alueille, jotka kuuluvat A, varjoa.

E) Symmetrinen ero ja ekvivalenssi

Jäljelle jää vielä kaksi toisiaan täydentävää operaatiota - symmetrinen ero ja ekvivalenssi. Kahden joukon A ja B symmetrinen ero on kahden eron liitto:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Ekvivalenssi määräytyy niiden joukkojen A ja B elementtien perusteella, jotka ovat niille yhteisiä. Elementtejä, jotka eivät ole A:ssa tai B:ssä, pidetään kuitenkin myös vastaavina:

A ~ B = ( AÇ B) È (A Ç B) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

Kuvassa Kuvat 1.11 ja 1.12 esittävät Euler-Venn-kaavioiden varjostusta.

Riisi. 1.11

Riisi. 1.12

Lopuksi toteamme, että symmetrisellä erolla on useita nimiä: tiukka disjunktio, poissulkeva vaihtoehto, summa modulo kaksi. Tämä operaatio voidaan ilmaista sanoilla - "joko A tai B", eli se on looginen yhdistävä "tai", mutta ilman siihen sisältyvää konnektiivia "ja".

Johtopäätös

Euler-Venn-kaaviot ovat joukkojen geometrisia esityksiä. Yksinkertainen kaavio tarjoaa visuaalisen esityksen yleissarjasta U, ja sen sisällä - ympyröitä (tai muita suljettuja kuvioita), jotka edustavat joukkoja. Kuvat leikkaavat yleisimmässä tehtävässä vaaditussa tapauksessa ja vastaavat figuratiivista kuvaa. Kaavion eri alueiden sisällä olevia pisteitä voidaan pitää vastaavien joukkojen elementteinä. Kun kaavio on muodostettu, voit varjostaa tietyt alueet osoittamaan äskettäin muodostettuja joukkoja. Tämä antaa meille mahdollisuuden saada mahdollisimman kattava käsitys ongelmasta ja sen ratkaisusta. Euler-Venn-kaavioiden yksinkertaisuus mahdollistaa tämän tekniikan käytön esimerkiksi matematiikassa, logiikassa, johtamisessa ja muilla sovelluksilla.

Bibliografia

1. Logiikkasanakirja. - M.: Tumanit, toim. VLADOS-keskus. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. "Venn Diagram" (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla.

VENN DIAGRAMS on graafinen tapa määritellä ja analysoida loogis-matemaattisia teorioita ja niiden kaavoja. Ne rakennetaan jakamalla osa tasosta soluihin (osajoukkoja), joilla on suljetut ääriviivat (Jordan käyrät). Solut esittävät tarkasteltavana olevaa teoriaa tai kaavaa kuvaavaa tietoa. Kaavioiden rakentamisen tarkoitus ei ole vain havainnollistava, vaan myös toiminnallinen - algoritminen tietojenkäsittely. Venn-diagrammilaitteistoa käytetään yleensä analyyttisen laitteiston yhteydessä.

Osiointimenetelmä, solujen lukumäärä sekä niihin liittyvän tiedon tallentamisen ongelmat riippuvat tarkasteltavasta teoriasta, joka voidaan esitellä (kuvailla) myös graafisesti - joidenkin alun perin määritellyillä Venn-kaavioilla, erityisesti yhdessä algoritmeja niiden muunnoksille, kun jotkin kaaviot voivat toimia operaattoreina, jotka vaikuttavat muihin kaavioihin. Esimerkiksi klassisen kohdalla propositionaalinen logiikka kaavoille, jotka koostuvat n:stä erilaisesta lausemuuttujasta, osa tasosta (universumista) jaetaan 2":n soluihin, jotka vastaavat aineosia (konjunktiivi- tai disjunktiivimuodossa). Kunkin kaavan Venn-diagrammin katsotaan olevan sellainen taso soluissa josta on asetettu tähti (tai ei) * Joten kaava

(¬ a& ¬ b&c) V (a&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)

Kolmella lausemuuttujalla a, b ja c määritetään kuvassa esitetyllä kaaviolla, jossa solujen tähdet vastaavat tämän täydellisen normaalin disjunktiivikaavan konjunktiivikomponentteja. Jos tähdellä merkittyjä soluja ei ole, niin Venn-kaavio liittyy esimerkiksi identtisesti väärään kaavaan, esimerkiksi (a&¬a).

Induktiivinen menetelmä tason jakamiseksi 2" soluihin juontaa juurensa englantilaisen loogikon J. Vennin töihin, ja sitä kutsutaan Venn-menetelmäksi ja se koostuu seuraavista:

1. Kun n = 1, 2, 3, ympyröitä käytetään ilmeisellä tavalla. (Näytetyssä kuvassa n = 3.)

2. Oletetaan, että kun n = k (k ≥ 3), k hahmon järjestely on määritelty siten, että taso on jaettu 2k soluun.

Sitten k+1 kuvion paikantamiseksi tälle tasolle riittää, että valitaan ensin avoin käyrä (vrt. ilman itseleikkauspisteitä, eli avoin Jordan-käyrä, joka kuuluu kaikkien 2k-solujen rajoihin ja jolla on vain yksi yhteinen pala kunkin näistä rajoista Toiseksi, ympyrä φ suljettu Jordanin käyrä Ψ k+1 niin, että käyrä Ψ k+1 kulki kaikkien 2k solujen läpi ja ylitti kunkin solun rajan vain kahdesti. Tämä johtaa n= k+1 numeron järjestelyyn siten, että taso on jaettu 2k+1 soluun.

Venn-kaaviomenetelmää laajennetaan edustamaan muita loogis-matemaattisia teorioita. Itse teoria on kirjoitettu siten, että se korostaa kielensä elementtejä graafiseen esitykseen sopivassa muodossa. Esimerkiksi klassisen predikaattilogiikan atomikaavat kirjoitetaan muotoa P(Y1..Yr) olevina sanoina, joissa P on predikaatti ja Y1,..., Yr ovat subjektimuuttujia, eivät välttämättä erilaisia; sana Y1,..., Yr on alaliite. Venn-kaavioiden ilmeinen joukkoteoreettinen luonne mahdollistaa erityisesti joukkoteoreettisten laskelmien esittämisen ja tutkimisen niiden avulla, esimerkiksi Zermelo-Fraenkelin joukkoteorian ZF-laskentaa. Graafisia menetelmiä logiikassa ja matematiikassa on kehitetty jo pitkään. Näitä ovat erityisesti looginen neliö, Eulerin ympyrät ja L. Carrollin alkuperäiset kaaviot. Venn-diagrammimenetelmä eroaa kuitenkin merkittävästi perinteisessä syllogistiikassa käytetystä Eulerin ympyrämenetelmästä. Venn-kaaviot perustuvat ajatukseen Boolen funktion hajottamisesta aineosiksi - keskeisiksi logiikan algebralle, joka määrittää niiden toiminnallisen luonteen. Venn käytti kaavioita ensisijaisesti luokkalogiikan ongelmien ratkaisemiseen. Sen kaavioita voidaan käyttää tehokkaasti myös propositio- ja predikaattilogiikan ongelmien ratkaisemiseen, premissien seurausten tarkastelemiseen, loogisten yhtälöiden ratkaisemiseen sekä muihin kysymyksiin ratkaistavuusongelmaan asti. Venn-kaaviolaitteistoa käytetään matemaattisen logiikan ja automaatioteorian sovelluksissa, erityisesti hermopiireihin liittyvien ongelmien ratkaisemisessa ja luotettavien piirien syntetisoinnissa suhteellisen heikosti luotettavista elementeistä.

A.S. Kuzichev

Uusi filosofinen tietosanakirja. Neljässä osassa. / Filosofian instituutti RAS. Tieteellinen toim. neuvoja: V.S. Stepin, A.A. Guseinov, G. Yu. Semigin. M., Mysl, 2010, osa I, A - D, s. 645.

Kirjallisuus:

Venn J. Symbolinen logiikka. L., 1881. Toim. 2, rev. L., 1894;

Kuzichev A. S. Venn kaaviot. Historia ja sovellukset. M., 1968;

Se on hän. Matemaattisten logiikkaongelmien ratkaiseminen Venn-kaavioiden avulla. - Kirjassa: Loogisten järjestelmien tutkimus. M., 1970.