Что такое диаграмма эйлера венна. Как решать задачи с помощью диаграмм эйлера-венна. Принцип построения диаграмм

Разделы: Информатика

1. Введение

В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей школы рассматриваются такие важные темы как “Основы логики” и “Поиск информации в Интернет”. При решении определенного типа задач удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна).

Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2 n комбинаций n свойств. Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно изображается в виде трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

2. Представление логических связок в поисковых запросах

При изучении темы “Поиск информации в Интернет” рассматриваются примеры поисковых запросов с использованием логических связок, аналогичным по смыслу союзам “и”, “или” русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).

3. Связь логических операций с теорией множеств

С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно представить связь логических операций с теорией множеств. Для демонстрации можно воспользоваться слайдами в Приложение 1.

Логические операции задаются своими таблицами истинности. В Приложении 2 подробно рассматриваются графические иллюстрации логических операций вместе с их таблицами истинности. Поясним принцип построения диаграммы в общем случае. На диаграмме – область круга с именем А отображает истинность высказывания А (в теории множеств круг А – обозначение всех элементов, входящих в данное множество). Соответственно, область вне круга отображает значение “ложь” соответствующего высказывания. Что бы понять какая область диаграммы будет отображением логической операции нужно заштриховать только те области, в которых значения логической операции на наборах A и B равны “истина”.

Например, значение импликации равно “истина” в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем последовательно: 1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к кругу В (полумесяц), которая соответствует значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу А и к кругу В (пересечение) – соответствует значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей и будет графическим представлением логической операции импликации.

4. Использование кругов Эйлера при доказательстве логических равенств (законов)

Для того, чтобы доказать логические равенства можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна. Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон де Моргана).

Для наглядного представления левой части равенства выполним последовательно: заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым цветом, затем для отображения инверсии заштрихуем область за пределами кругов черным цветом:

Рис.3 Рис.4

Для визуального представления правой части равенства выполним последовательно: заштрихуем область для отображения инверсии (¬А) серым цветом и аналогично область ¬В также серым цветом; затем для отображения конъюнкции нужно взять пересечение этих серых областей (результат наложения представлен черным цветом):

Рис.5 Рис.6 Рис.7

Видим, что области для отображения левой и правой части равны. Что и требовалось доказать.

5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск информации в Интернет”

Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

Код	Запрос
А	(Муха & Денежка) | Самовар
Б	Муха & Денежка & Базар & Самовар
В	Муха | Денежка | Самовар
Г	Муха & Денежка & Самовар

Для каждого запроса построим диаграмму Эйлера-Венна:

Запрос А

Запрос Б

Запрос В

Запрос Г

Ответ: ВАГБ.

Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос	Найдено страниц (в тысяч)
Фрегат | Эсминец	3400
Фрегат & Эсминец	900
Фрегат	2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец ?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат ;

Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец ;

Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Фрегат и не упоминается Эсминец ;

У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Эсминец и не упоминается Фрегат.

Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого запроса:

Запрос	Диаграмма Эйлера-Венна	Количество страниц
Фрегат | Эсминец	Рис.12	3400
Фрегат & Эсминец	Рис.13	900
Фрегат	Рис.14	2100
Эсминец	Рис.15	?

Согласно диаграммам имеем:

1. Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
2. Э = 900+У = 900+1300= 2200.

Ответ: 2200.

6. Решение логических содержательных задач методом диаграмм Эйлера-Венна

В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический.

Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.

Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М ), физического (Ф ), химического (Х ) кружков.

Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ - множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.

Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.

Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:

Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.

Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.

После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре - 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре - 6; и в кино и в цирке - 10; и в театре и в цирке - 4.

Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.

Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:

В кино и театре побывало 6 чел., значит, только в кино и театре (6-х) чел. Аналогично, только в кино и цирке (10-х) чел. Только в театре и цирке (4-х) чел. В кино побывало 25 чел., значит, из них только в кино были 25 - (10-х) – (6-х) – х = (9+х). Аналогично, только в театре были (1+х) чел. Только в цирке были (3+х) чел. Не были в театре, кино и цирке – 2 чел. Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях. С другой стороны можем просуммировать количество человек, которые были в театре, кино и цирке: (9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34 Отсюда следует, что только один человек побывал на всех трех мероприятиях.

Таким образом, круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна) находят практическое применение при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при решении содержательных логических задач.

Литература

1. В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Логика в информатике. М.: Информатика и Образование, 2006. 155 с.
2. Л.Л. Босова. Арифметические и логические основы ЭВМ. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
3. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 8 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 220 с.
4. Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 9 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 244 с.
5. Сайт ФИПИ: http://www.fipi.ru/

Чтобы лучше представить себе множество, можно использовать рисунок, называемый диаграммой Эйлера_Венна.Это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а с наружи -элементы, не пренадлежащие множеству.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Диаграмма Венна Знаки ∈ и ∉ 3 класс Математика Петерсон Л.Г.

Любое множество А можно изобразить графически в виде замкнутой линии. Считается, что элементы множества (А) расположены внутри этой линии, а все элементы, которые не принадлежат множеству (А), - снаружи. Такая схема называется диаграммой Венна. a 2 m Например, диаграмму множества В = { 2, m , } можно нарисовать так: В

Знаки ∈ и ∉ a 2 m Предложение «Число 2 принадлежит множеству В» записывают короче: 2 ∈ В. Знак ∈ читают: «принадлежит» Предложение «Буква а не принадлежит множеству В» также можно записать короче: а ∉ В. Знак ∉ читают: «не принадлежит» В

e 8 b A 4 На рисунке изображена диаграмма множества А. Какие элементы принадлежат множеству А, а какие ему не принадлежат? b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Прочти ещё раз полученные записи.

Отметь элементы, d, 10 , 5 на диаграмме множества С, если известно, что: ∈ С ∉ С С d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ С d 10 5

Имеется множество М = {а, b, c, }. Какой знак поставить: ∈ или ∉ ? a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉

D – множество двузначных чисел. Являются ли числа 26, 307, 8, 940, 15, 60 элементами множества D ? 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Отметим эти числа на диаграмме. 26 307 8 940 15 60 Назовите самое маленькое и самое большое число множества D. D = { 10 , …, …, … 99}

А – множество бабочек, а В – множество роз. Как построить диаграммы множеств А и В? Сколько бабочек принадлежит множеству А? Сколько роз принадлежит множеству В? Сколько общих элементов у множеств А и В?

Задание на дом. Стр.12 №11, 12

Элементы теории множеств.

"Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли" - так описал понятие "множество" Георг Кантор, основатель теории множеств.

Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:

1° Множество может состоять из любых различимых объектов.

2° Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.

3° Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х - объект, Р - свойство, Р(х) - обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {х|Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Термин "множество " употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:

а) множестве пчёл в улье,

б) множестве точек отрезка,

в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,

г) множестве студентов в аудитории и т.д.

В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными . Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Наиболее простая форма задания множества - перечисление его элементов, например А={4, 7, 13} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания - указание свойств элементов множества, например A = {x| x 2 ≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы - малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение - B ⊆ A или A ⊇ B).

Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. Сами картинки называются диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера) . То есть диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств или геометрические изображения отношений между объёмами понятий посредством пересекающихся контуров(кругов или эллипсов), предложенная английским логиком Джоном Венном (1834 - 1923) в конце позапрошлого века. В своих работах по наглядному графическому изображению логических фигур он опирался на ряд графических систем, предложенных Эйлером (1707 - 1783), И.Ламбертом (1728 - 1777), Жергонном (1771 -1859), Б. Больцано (1781 -1848).

Приведём некоторые из диаграмм. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Распространено и другое обозначение симметрической разности: А ∆ В, вместо А + В.

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Свойства операции пересечения: 1) A∩A=A; 2) A∩Ø=Ø; 3) A∩Ā= Ø; 4) A∩U=A; 5) A∩B=B∩A;	Свойства операции объединения: 1) AUA=A; 2) AUØ=A; 3) AUĀ= U; 4) AUU=U; 5) AUB=BUA;
Свойства операции разности: 1) A\A= Ø; 2) A\Ø= A; 3) A\Ā= A; 4) A\U= Ø;	5) U\A= Ā; 6) \A =Ø; 7) A\B≠B\A;

Справедливы равенства: (AUB)= A∩B; (A∩B)= AUB.

В заключение приведем еще одну формулу для подсчета числа элементов в объединении трех множеств (для общего случая их взаимного расположения, показанного на рисунке):

m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C)

Пример 1 . Записать множество всех науральных делителей числа 15 и найи число его элементов.

Пример 2 . Заданы множества A={2,3,5,8,13,15}, B={1,3,4,8,16}, C={12,13,15,16}, D= {0,1,20}.

Найти AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D.

AUB= {1,2,3,4,5,8,13,15,16}

CUD= {0,1,12,13,15,16,20}

AUBUC= {1,2,3,4,5,8,12,13,15,16}

BU(D∩C)= {1,3,4,8,16}

(A∩C)\D= {13,15}

Пример 3 . В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учеников умеют кататься и на коньках и на лыжах?

A∩B – множество учащихся, не умеющих кататься ни на лыжах, ни на коньках.

По условию m(A∩B)=60, также используем равенство (AUB)= A∩B, тогда m((AUB))=60.

Значит, m(AUB)=m(U )-m((AUB))=1400-60=1340.

По условию m(A)=1250, m(B)=952, получаем m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862

Пример 4 . Группа из 25 студентов сдала экзаменационную сессию со следующими результатами: 2 человека получили только «отлично»; 3 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 4 человека только «хорошо»; 3 человека получили хорошие и удовлетворительные оценки. Число студентов, сдавших сессию только на «отлично», «хорошо», равно числу студентов, сдавших сессию только на «удовлетворительно». Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки, - нет. Удовлетворительные или хорошие оценки получили 22 студента. Сколько студентов не явились на экзамены? Сколько студентов сдали сессию только на «удовлетворительно»?x . Тогда из условия , получим

Число же студентов, не явившихся на экзамен, найдем следующим образом:

Ответ: 6 студентов получили только «удовлетворительно», 1 студент не явился на экзамены.

Пример 5.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский

Томский политехнический университет

Институт природных ресурсов

Кафедра ВМ

РЕФЕРАТ

Тема: «Диаграмма Эйлера-Венна »

Исполнитель:

Студент группы 2У00

Руководитель:

Введение……………………………………………………………….………..3

1. Из истории…………………………………………………………….….…..4

2. Диаграмма Эйлера-Венна……………………………………………….…..4

3. Операции над множествами диаграммы Эйлера-Венна………………….5

a) Объединение……………………….. ……………………………….……7

b) Пересечение, дополнение………………….……………………………..7

c) Стрелка Пирса, штрих Шеффера и разность...………………………….8

d) Разность……………………………………………………………………8

e) Симметрическая разность и эквивалентность…………………….…….9

Заключение………………………………………………………………………10

Список литературы…………………………………………………….………..11

Введение

Круги Эйлера - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Круги были изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Важный частный случай кругов Эйлера - диаграммы Эйлера - Венна, изображающие все 2n комбинаций n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n = 3 диаграмма Эйлера - Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик (1646-1716). Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер (1841-1902) в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843-1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Поэтому такие схемы иногда называют Диаграммы Эйлера - Венна.

1.Из истории

Леонард Эйлер (1707 - 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) -математик, механик, физик. Адъюнкт по физиологии, профессор физики, профессор высшей математики, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Эйлер - автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др.

Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать вСанкт-Петербург, куда переехал годом позже. С 1711 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Джон Венн (1, английский логик. Работал в области логики классов, где создал особый графический аппарат (так называемые диаграммы Венна), нашедший применение в логико-математической теории «формальных нейронных сетей». Венну принадлежит обоснование обратных операций в логическом исчислении Дж. Буля. Основной областью интереса Джона была логика, и он опубликовал три работы по этой теме. Это были "Логика случая", в которой вводится интерпретация частоты или частотная теория вероятностей в 1866; "Символьная логика", с которой были введены диаграммы Венна в 1881; "Принципы эмпирической логики" в 1889, в которой приводятся обоснования обратных операций в булевой логике.

В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ (1В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые "Письма к немецкой принцессе", написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих "Писем..." Эйлер как раз и рассказывает о своем методе. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1Этот метод широко используется в книге "Алгебра логики". Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге "Символическая логика", изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера-Венна.

2.Диаграмма Эйлера-Венна

Понятия множества и подмножества используются при определении многих понятий математики и, в частности, при определении геометрической фигуры. Определим как универсальное множество плоскость. Тогда можно дать следующее определение геометрической фигуры в планиметрии:

Геометрической фигурой называется всякое множество точек плоскости. Чтобы наглядно отображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения множеств и называют диаграммами Эйлера–Венна. Диаграммы Эйлера–Венна делают наглядными различные утверждения, касающиеся множеств. На них универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – кругами. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

Диаграммы Эйлера-Венна заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Основные операции над множествами:

Пересечение Объединение Разность

3.Операции над множествами диаграммы Эйлера-Венна

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

	Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):
	Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):
	Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
	Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
	Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Теперь более подробно на примерах.

Пусть дана некоторая совокупность предметов, которую после пересчета можно было бы обозначить как

A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}

круглых и белых предметов. Можно исходное множество называть фундаментальным , а подмножества A и B – просто множествами .

В результате получим четыре класса элементов:

C 0 = {5, 7, 10, 11} - элементы не обладают ни одним из названных свойств,

C 1 = {1, 6} - элементы обладают только свойством A (круглые),

C 2 = {3, 8, 9} - элементы обладают только свойством B (белые),

C 3 = {2, 4} - элементы обладают одновременно двумя свойствами A и B.

На рис. 1.1. указанные классы изображены с помощью диаграммы Эйлера - Венна .

Рис. 1.1

Часто диаграммы не имеют всей полноты общности, например та, что изображена на рис. 1.2. На ней уже множество A полностью включено в B. Для такого случая используется специальный символ включения (Ì): A Ì B = {1, 2, 4} Ì {1, 2, 3, 4, 6}.

Если одновременно выполняются два условия: A Ì B и B Ì A, то A = B, в этом случае говорят, что множества A и B полностью эквивалентны .

Рис. 1.2

После того, как определены четыре класса элементов и даны необходимые сведения о диаграммах Эйлера - Венна, введем операции на множествах. В качестве первой рассмотрим операцию объединения .

a)Объединение

Объединением множеств A = {1, 2, 4, 6} и B = {2, 3, 4, 8, 9}

назовем множество

A È B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9},

где È - символ объединения множеств. Таким образом, объединением охватываются три класса элементов - C 1, C 2 и C 3, которые на диаграмме (рис. 1.3) заштрихованы.

Логически операцию объединения двух множеств можно охарактеризовать словами: элемент x принадлежит множеству A или множеству B. При этом связка «или» одновременно означает и связку «и». Факт принадлежности элемента x множеству A обозначается как x Î A. Поэтому то, что x принадлежит A или/и B, выражается формулой:

x Î A È B = (x Î A) Ú (x Î B),

где Ú - символ логической связки или, которая называется дизъюнкцией .

b)Пересечение, дополнение

Пересечением множеств A и B называется множество A Ç B, содержащее те элементы из A и B, которые входят одновременно в оба множества. Для нашего числового примера будем иметь:

A Ç B = {1, 2, 4, 6} Ç {2, 3, 4, 8, 9} = {2, 4} = C 3.

Диаграмма Эйлера – Венна для пересечения изображена на рис. 1.4.

То, что x принадлежит одновременно двум множествам A и B можно представить выражением:

x Î A Ç B = (x Î A) Ù (x Î B),

где Ù - символ логической связки «и», которая называется конъюнкцией .

Представим себе операцию, в результате которой окажутся заштрихованными области C 1 и C 3, образующие множество A (рис. 1.5). Затем еще одну операцию, которая охватит две другие области - C 0 и C 2, не входящие в A, что обозначается как A (рис.1.6).

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Если объединить заштрихованные области на обеих диаграммах, то получим все заштрихованное множество 1; пересечение же A и A даст пустое множество 0, в котором не содержится ни одного элемента:

A È A = 1, A Ç A = 0.

Множество A дополняет множество A до фундаментального множества V (или 1); отсюда название: дополнительное множество A, или дополнение как операция. Дополнение к логической переменной x , т. е. x (не-x ), называется чаще всего отрицанием x .

После введения операций пересечения и дополнения все четыре области Ci на диаграмме Эйлера – Венна можно выразить следующим образом:

C 0 = A ÇB , C 1 = A Ç B , C 2 = A Ç B, C 3 = A Ç B.

Путем объединения соответствующих областей Ci можно представить любую множественную операцию, в том числе и само объединение:

A È B = (A Ç B ) È (A Ç B) È (A Ç B).

На диаграмме Эйлера - Венна для импликации (рис. 1.10) показано частичное включение множества A во множество B, которое нужно отличать от полного включения (рис. 1.2).

Если утверждается, что «элементы множества A включены во множество B», то область C 3 обязательно должна быть заштрихована, а область C 1 с такой же необходимостью должна быть оставлена белой. Относительно областей C 0 и C 1, находящихся в A , заметим, что мы не имеем права оставлять их белыми, но, мы обязаны все же области, попадающие в A , заштриховать.

Е)Симметрическая разность и эквивалентность

Остается привести еще две взаимно дополняющих операции - симметрическую разность и эквивалентность. Симметрическая разность двух множеств A и B есть объединение двух разностей:

A + B = (A – B) È (B – A) = C 1 È C 2 = {1, 3, 6, 8, 9}.

Эквивалентность определяется теми элементами множеств A и B, которые для них являются общими. Однако элементы, не входящие ни в A, ни в B, также считаются эквивалентными:

A ~ B = (A Ç B) È (A Ç B ) = C 0 È C 3 = {2, 4, 5, 7, 10, 11}.

На рис. 1.11 и 1.12 показана штриховка диаграмм Эйлера - Венна.

Рис. 1.11

Рис. 1.12

В заключение отметим, что симметрическая разность имеет несколько названий: строгая дизъюнкция , исключающая альтернатива , сумма по модулю два . Эту операцию можно передать словами - «либо А, либо В», т. е. это логическая связка «или», но без включенной в нее связки «и».

Заключение

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Простое построение диаграммы обеспечивает наглядное изображение, представляющее универсальное множество U , а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры пересекаются в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и соответствуют образному изображению. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств. Это позволяет нам иметь наиболее полное представление о задаче и ее решении. Простота диаграмм Эйлера-Венна позволяет использовать данный прием в таких направлениях, как математика, логика, менеджмент и других прикладных направлениях.

Список литературы

1. Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС. , . 1997

2. Weisstein, Eric W. «Диаграмма Венна» (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ДИАГРАММЫ ВЕННА - графический способ задания и анализа логико-математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривыми Жордана). В ячейках представляется информация, характеризующая рассматриваемую теорию или формулу. Цель построения диаграмм не только иллюстративная, но и операторная - алгоритмическая переработка информации. Аппарат диаграмм Венна обычно используется вместе с аналитическим.

Способ разбиения, количество ячеек, а также проблемы записи в них информации зависят от рассматриваемой теории, которая тоже может вводиться (описываться) графически - некоторыми диаграммами Венна, задаваемыми первоначально, в частности, вместе с алгоритмами их преобразований, когда одни диаграммы могут выступать как операторы, действующие на другие диаграммы. Например, в случае классической логики высказываний для формул, составленных из п различных пропозициональных переменных, часть плоскости (универсум) делится на 2" ячеек, соответствующих конституэнтам (в конъюнктивной или в дизъюнктивной форме). Диаграммой Венна каждой формулы считается такая плоскость, в ячейках которой ставится (или не ставится) звездочка *. Так, формулу

(¬ а& ¬ b&c) V (а&¬ b&c) V (¬ a&b&¬ c)

с тремя пропозициональными переменными a, b и c определяет диаграмма, изображенная на рисунке, где звездочки в ячейках соответствуют конъюнктивным составляющим этой совершенной нормальной дизъюнктивной формулы. Если отмеченных звездочками ячеек нет, то диаграмме Венна сопоставляется, напр., тождественно ложная формула, скажем (a&¬ a).

Индуктивный способ разбиения плоскости на 2" ячеек восходит к трудам английского логика Дж. Венна, называется способом Венна и состоит в следующем:

1. При n = 1, 2, 3 очевидным образом используются окружности. (На приведенном рисунке n = 3.)

2. Предположим, что при n = k (k ≥ 3), указано такое рас-положение к фигур, что плоскость разделена на 2k ячеек.

Тогда для расположения k+1 фигуры на этой плоскости достаточно, во-первых, выбрать незамкнутую кривую (ср без точек самопересечения, т.е. незамкнутую кривую Жордана, принадлежащую границам всех 2k ячеек и имеющую с каждой из этих границ только один общий кусок. Во-вторых, обвести φ замкнутой кривой Жордана Ψ k+1 так, чтобы кривая Ψ k+1 проходила через все 2k ячейки и пересекала границу каждой ячейки только два раза. Таким образом получится расположение n= k+1 фигур такое, что плоскость разделится на 2k+1 ячеек.

Для представления других логико-математических теорий метод венновских диаграмм расширяется. Сама теория записывается так, чтобы выделить элементы ее языка в пригодной для графического изображения форме. Напр., атомарные формулы классической логики предикатов записываются как слова вида P(Y1..Yr), где P - предикатная, а Y1,..., Yr - предметные переменные, не обязательно различные; слово Y1,..., Yr - предметный инфикс. Очевидный теоретико-множественный характер диаграмм Венна позволяет представлять и исследовать с их помощью, в частности, теоретико-множественные исчисления, напр., исчисление ZF теории множеств Цермело-Френкеля. Графические методы в логике и математике развивались издавна. Таковы, в частности, логический квадрат, круги Эйлера и оригинальные диаграммы Л. Кэрролла. Однако метод диаграмм Венна существенно отличается от известного метода кругов Эйлера, используемого в традиционной силлогистике. В основе венновских диаграмм лежит идея разложения булевской функции на конституэнты - центральная в алгебре логики, обуславливающая их оперативный характер. Свои диаграммы Венн применял прежде всего для решения задач логики классов. Его диаграммы можно эффективно использовать и для решения задач логики высказываний и предикатов, обзора следствий из посылок, решения логических уравнений, а также других вопросов, вплоть до проблемы разрешимости. Аппарат диаграмм Венна находит применение в приложениях математической логики и теории автоматов, в частности при решении задач, связанных с нейронными цепями и проблемой синтеза надежных схем из относительно мало надежных элементов.

А. С. Кузичев

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. I, А - Д, с. 645.

Литература:

Venn J. Symbolic logic. L., 1881. Ed. 2, rev. L., 1894;

Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. М., 1968;

Он же. Решение некоторых задач математической логики с помощью диаграмм Венна. - В кн.: Исследование логических систем. М., 1970.