Что означают элементы ковариационной матрицы. Отрывок, характеризующий Ковариационная матрица. Условная ковариационная матрица

Компонент вектора, а внедиагональные элементы - ковариации между компонентами.

Ковариационная матрица случайного вектора является многомерным аналогом дисперсии случайной величины для случайных векторов. Матрица ковариаций двух случайных векторов- многомерный аналог ковариации между двумя случайными величинами.

В случае нормально распределенного случайного вектора, ковариационная матрица вместе с математическим ожиданием этого вектора полностью определяют его распределение (по аналогии с тем, что математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины полностью определяют её распределение)

Определения

• Пусть texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{X}:\Omega \to \mathbb{R}^n , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{Y}:\Omega \to \mathbb{R}^m - два случайных вектора размерности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m соответственно. Пусть также случайные величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i,Y_j,\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m имеют конечный второй момент , то есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i,Y_j \in L^2 . Тогда матрицей ковариации векторов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{X},\mathbf{Y} называется

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Sigma = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathbb{E}\left[(\mathbf{X} - \mathbb{E}\mathbf{X})(\mathbf{Y} - \mathbb{E}\mathbf{Y})^{\top}\right], Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Sigma = (\sigma_{ij}) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i,Y_j) \equiv \mathbb{E}\left[(X_i - \mathbb{E}X_i) (Y_j - \mathbb{E}Y_j)\right],\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{E} - математическое ожидание .

Свойства матриц ковариации

• Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}\left[\mathbf{X} \mathbf{X}^{\top}\right] - \mathbb{E}[\mathbf{X}] \cdot \mathbb{E}\left[\mathbf{X}^{\top}\right] . Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \ge 0 .

• Смена масштаба:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}\left(\mathbf{a}^{\top} \mathbf{X}\right) = \mathbf{a}^{\top} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{a},\; \forall \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n .

• Если случайные векторы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc нескоррелированы (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc ), то

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{X}) + \mathrm{cov}(\mathbf{Y}) .

• Матрица ковариации аффинного преобразования :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}\left(\mathbf{A} \mathbf{X} + \mathbf{b}\right) = \mathbf{A} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{A}^{\top} ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{A} - произвольная матрица размера Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n \times n , а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{b}\in \mathbb{R}^n .

• Перестановка аргументов:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^{\top}

• Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{X}_1,\mathbf{Y}) + \mathrm{cov}(\mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1 + \mathbf{Y}_2) = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1) + \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_2) .

• Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{X} и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{Y} независимы, то

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathbf{0} .

Условная ковариационная матрица

Ковариационная матрица случайного вектора является характеристикой его распределения. В случае (многомерного) нормального распределения математическое ожидание вектора и его ковариационная матрица полностью определяют его распределение. Характеристиками условного распределения одного случайного вектора при условии заданного значения другого случайного вектора являются соответственно условное математическое ожидание (функция регрессии) и условная ковариационная матрица.

Пусть случайные векторы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mu_X, \mu_Y , ковариационными матрицами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_X, V_Y и матрицей ковариаций Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C_{XY} . Это означает, что объединенный случайный вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \boldsymbol Z = \begin{bmatrix} \boldsymbol X \\ \boldsymbol Y \end{bmatrix} подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \boldsymbol \mu_{Z} = \begin{bmatrix} \boldsymbol \mu_X \\ \boldsymbol \mu_Y \end{bmatrix}, и ковариационной матрицей которую можно представить в виде следующей блочной матрицы

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \boldsymbol V_Z = \begin{bmatrix} \boldsymbol V_X & \boldsymbol C_{XY} \\ \boldsymbol C_{YX} & \boldsymbol V_{Y} \end{bmatrix} где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C_{YX}=C^T_{XY}

Тогда случайный вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y при заданном значении случайного вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X имеет нормальное распределение (условное) со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): E(Y|X=x)=\mu_Y+C_{YX}V^{-1}_X(x-\mu_X), \qquad V(Y|X=x)=V_Y-C_{YX}V^{-1}_XC_{XY}

Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y от заданного значения x случайного вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X ), причем матрица Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C_{XY}V^{-1} - матрица коэффициентов регрессии.

Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y на вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X .

В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y - обычная случайная величина (однокомпоненнтный вектор), условная ковариационная матрица - это условная дисперсия (по существу - случайной ошибки регрессии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y на вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X )

Напишите отзыв о статье "Ковариационная матрица"

Примечания

Отрывок, характеризующий Ковариационная матрица

Фиолетовые глаза очень внимательно несколько секунд меня изучали, а потом прозвучал неожиданный ответ:
– Я так и думала – ты ещё спишь... Но я не могу тебя разбудить – тебя разбудят другие. И это будет не сейчас.
– А когда? И кто будут эти – другие?..
– Твои друзья... Но ты не знаешь их сейчас.
– А как же я буду знать, что они друзья, и что это именно они? – озадаченно спросила я.
– Ты вспомнишь, – улыбнулась Вэя.
– Вспомню?! Как же я могу вспомнить то, чего ещё нет?..– ошарашено уставилась на неё я.
– Оно есть, только не здесь.
У неё была очень тёплая улыбка, которая её необыкновенно красила. Казалось, будто майское солнышко выглянуло из-за тучки и осветило всё вокруг.
– А ты здесь совсем одна, на Земле? – никак не могла поверить я.
– Конечно же – нет. Нас много, только разных. И мы живём здесь очень давно, если ты это хотела спросить.
– А что вы здесь делаете? И почему вы сюда пришли? – не могла остановиться я.
– Мы помогаем, когда это нужно. А откуда пришли – я не помню, я там не была. Только смотрела, как ты сейчас... Это мой дом.
Девчушка вдруг стала очень печальной. И мне захотелось хоть как-то ей помочь, но, к моему большому сожалению, пока это было ещё не в моих маленьких силах...
– Тебе очень хочется домой, правда же? – осторожно спросила я.
Вэя кивнула. Вдруг её хрупкая фигурка ярко вспыхнула... и я осталась одна – «звёздная» девочка исчезла. Это было очень и очень нечестно!.. Она не могла так просто взять и уйти!!! Такого никак не должно было произойти!.. Во мне бушевала самая настоящая обида ребёнка, у которого вдруг отняли самую любимую игрушку... Но Вэя не была игрушкой, и, если честно, то я должна была быть ей благодарна уже за то, что она вообще ко мне пришла. Но в моей «исстрадавшейся» душе в тот момент крушил оставшиеся крупицы логики настоящий «эмоциональный шторм», а в голове царил полный сумбур... Поэтому ни о каком «логическом» мышлении в данный момент речи идти не могло, и я, «убитая горем» своей страшной потери, полностью «окунулась» в океан «чёрного отчаяния», думая, что моя «звёздная» гостья больше уже никогда ко мне не вернётся... Мне о скольком ещё хотелось её спросить! А она так неожиданно взяла и исчезла... И тут вдруг мне стало очень стыдно... Если бы все желающие спрашивали её столько же, сколько хотела спросить я, у неё, чего доброго, не оставалось бы время жить!.. Эта мысль как-то сразу меня успокоила. Надо было просто с благодарностью принимать всё то чудесное, что она успела мне показать (даже если я ещё и не всё поняла), а не роптать на судьбу за недостаточность желаемого «готовенького», вместо того, чтобы просто пошевелить своими обленившимися «извилинами» и самой найти ответы на мучившие меня вопросы. Я вспомнила бабушку Стеллы и подумала, что она была абсолютно права, говоря о вреде получения чего-то даром, потому что ничего не может быть хуже, чем привыкший всё время только брать человек. К тому же, сколько бы он ни брал, он никогда не получит радости того, что он сам чего то достиг, и никогда не испытает чувства неповторимого удовлетворения оттого, что сам что-либо создал.
Я ещё долго сидела одна, медленно «пережёвывая» данную мне пищу для размышлений, с благодарностью думая об удивительной фиолетовоглазой «звёздной» девчушке. И улыбалась, зная, что теперь уже точно ни за что не остановлюсь, пока не узнаю, что же это за друзья, которых я не знаю, и от какого такого сна они должны меня разбудить... Тогда я не могла ещё даже представить, что, как бы я не старалась, и как бы упорно не пробовала, это произойдёт только лишь через много, много лет, и меня правда разбудят мои «друзья»... Только это будет совсем не то, о чём я могла когда-либо даже предположить...
Но тогда всё казалось мне по-детски возможным, и я со всем своим не сгорающим пылом и «железным» упорством решила пробовать...
Как бы мне ни хотелось прислушаться к разумному голосу логики, мой непослушный мозг верил, что, несмотря на то, что Вэя видимо совершенно точно знала, о чём говорила, я всё же добьюсь своего, и найду раньше, чем мне было обещано, тех людей (или существ), которые должны были мне помочь избавиться от какой-то там моей непонятной «медвежьей спячки». Сперва я решила опять попробовать выйти за пределы Земли, и посмотреть, кто там ко мне придёт... Ничего глупее, естественно, невозможно было придумать, но так как я упорно верила, что чего-то всё-таки добьюсь – приходилось снова с головой окунаться в новые, возможно даже очень опасные «эксперименты»...
Моя добрая Стелла в то время почему-то «гулять» почти перестала, и, непонятно почему, «хандрила» в своём красочном мире, не желая открыть мне настоящую причину своей грусти. Но мне всё-таки как-то удалось уговорить её на этот раз пойти со мной «прогуляться», заинтересовав опасностью планируемого мною приключения, и ещё тем, что одна я всё же ещё чуточку боялась пробовать такие, «далеко идущие», эксперименты.
Я предупредила бабушку, что иду пробовать что-то «очень серьёзное», на что она лишь спокойно кивнула головой и пожелала удачи (!)... Конечно же, это меня «до косточек» возмутило, но решив не показывать ей своей обиды, и надувшись, как рождественский индюк, я поклялась себе, что, чего бы мне это не стоило, а сегодня что-то да произойдёт!... Ну и конечно же – оно произошло... только не совсем то, чего я ожидала.
Стелла уже ждала меня, готовая на «самые страшные подвиги», и мы, дружно и собранно устремились «за предел»...
На этот раз у меня получилось намного проще, может быть потому, что это был уже не первый раз, а может ещё и потому, что был «открыт» тот же самый фиолетовый кристалл... Меня пулей вынесло за предел ментального уровня Земли, и вот тут-то я поняла, что чуточку перестаралась... Стелла, по общему договору, ждала на «рубеже», чтобы меня подстраховать, если увидит, что что-то пошло не так... Но «не так» пошло уже с самого начала, и там, где я в данный момент находилась, она, к моему великому сожалению, уже не могла меня достать.

Мы рассказали о сути преобразования девиации и его применении к матрице квадратов расстояний. Во второй немного напустили туману на спектры простых геометрических наборов.

В данной статье мы постараемся раскрыть смысл преобразования девиации, для чего обратимся к прикладным задачам, связанным с обработкой и анализом данных. Покажем, как связано преобразование девиации матрицы расстояний со статистикой - с дисперсией , корреляцией и ковариацией .

7. Центрирование и нормирование одномерных координат

Разминку проведем на простом и всем понятном - центрировании и нормировании данных. Пусть у нас есть ряд чисел . Тогда операция центрирования сводится к нахождению среднего (центроида набора)

И построению нового набора как разности между исходными числами и их центроидом (средним):

Центрирование - это первый шаг к собственной системе координат (ССК) исходного набора, поскольку сумма центрированных координат равна 0. Вторым шагом является нормирование суммы квадратов центрированных координат к 1. Для выполнения данной операции нам нужно вычислить эту сумму (точнее среднее):

Теперь мы можем построить ССК исходного набора как совокупность собственного числа S и нормированных чисел (координат):

Квадраты расстояний между точками исходного набора определяются как разности квадратов компонент собственного вектора, умноженные на собственное число. Обратим внимание на то, что собственное число S оказалось равно дисперсии исходного набора (7.3).

Итак, для любого набора чисел можно определить собственную систему координат, то есть выделить значение собственного числа (она же дисперсия) и рассчитать координаты собственного вектора путем центрирования и нормирования исходных чисел. Круто.

Упражнение для тех, кто любит «щупать руками». Построить ССК для набора {1, 2, 3, 4}.

Ответ.

Собственное число (дисперсия): 1.25.
Собственный вектор: {-1.342, -0.447, 0.447, 1.342}.

8. Центрирование и ортонормирование многомерных координат

Что, если вместо набора чисел нам задан набор векторов - пар, троек и прочих размерностей чисел. То есть точка (узел) задается не одной координатой, а несколькими. Как в этом случае построить ССК?

Да, можно построить матрицу квадратов расстояний, потом определить матрицу девиации и рассчитать для нее спектр. Но об этом мы узнали не так давно . Обычно поступали (и поступают) по другому.

Введем обозначение компонент набора. Нам заданы точки (узлы, переменные, векторы, кортежи) и каждая точка характеризуется числовыми компонентами . Обращаем внимание, что второй индекс - это номер компоненты (столбцы матрицы), а первый индекс - номер точки (узла) набора (строки матрицы).

Мы получили матрицу центрированных данных (МЦД) .
Следующим шагом нам как будто бы надо вычислить дисперсию для каждой компоненты и их нормировать. Но мы этого делать не будем. Потому что хотя таким образом мы действительно получим нормированные векторы, но нам-то нужно, чтобы эти векторы были независимыми, то есть ортонормированными . Операция нормирования не поворачивает вектора (а лишь меняет их длину), а нам нужно развернуть векторы перпендикулярно друг другу. Как это сделать?

Правильный (но пока бесполезный) ответ - рассчитать собственные вектора и числа (спектр). Бесполезный потому, что мы не построили матрицу, для которой можно считать спектр. Наша матрица центрированных данных (МЦД) не является квадратной - для нее собственные числа не рассчитаешь. Соответственно, нам надо на основе МЦД построить некую квадратную матрицу. Это можно сделать умножением МЦД на саму себя (возвести в квадрат).

Но тут - внимание! Неквадратную матрицу можно возвести в квадрат двумя способами - умножением исходной на транспонированную . И наоборот - умножением транспонированной на исходную. Размерность и смысл двух полученных матриц - разный.

Умножая МЦД на транспонированную, мы получаем матрицу корреляции:

Из данного определения (есть и другие) следует, что элементы матрицы корреляции являются скалярными произведениями центрированных векторов. Соответственно, элементы главной диагонали отражают квадрат длины данных векторов.
Значения матрицы - не нормированы (обычно их нормируют, но для наших целей этого не нужно). Размерность матрицы корреляции совпадает с количеством исходных точек (векторов).

Теперь переставим перемножаемые в (8.1) матрицы местами и получим матрицу ковариации (опять же опускаем множитель 1/(1-n) , которым обычно нормируют значения ковариации):

Здесь перемножаются компоненты (а не векторы). Соответственно, размерность матрицы ковариации равна количеству исходных компонент. Для пар чисел матрица ковариации имеет размерность 2x2, для троек - 3x3 и т.д.

Почему важна размерность матриц корреляции и ковариации? Фишка в том, что поскольку матрицы корреляции и ковариации происходят из произведения одного и того же вектора, то они имеют один и тот же набор собственных чисел, один и тот же ранг (количество независимых размерностей) матрицы. Как правило, количество векторов (точек) намного превышает количество компонент. Поэтому о ранге матриц судят по размерности матрицы ковариации.

Диагональные элементы ковариации отражают дисперсию компонент. Как мы видели выше, дисперсия и собственные числа тесно связаны. Поэтому можно сказать, что в первом приближении собственные числа матрицы ковариации (а значит, и корреляции) равны диагональным элементам (а если межкомпонентная дисперсия отсутствует, то равны в любом приближении).

Если стоит задача найти просто спектр матриц (собственные числа), то удобнее ее решать для матрицы ковариации, поскольку, как правило, их размерность небольшая. Но если нам необходимо найти еще и собственные вектора (определить собственную систему координат) для исходного набора, то необходимо работать с матрицей корреляции, поскольку именно она отражает перемножение векторов. Возможно, что оптимальным алгоритмом является сочетание диагонализаций двух матриц - сначала нашли собственные числа для ковариации и потом на их основе определили собственные вектора матрицы корреляции.

Ну и раз уж мы так далеко зашли, то упомянем, что пресловутый метод главных компонент как раз и состоит в расчете спектра матрицы ковариации/корреляции для заданного набора векторных данных. Найденные компоненты спектра располагаются вдоль главных осей эллипсоида данных. Из нашего рассмотрения это вытекает потому, что главные оси - это и есть те оси, дисперсия (разброс) данных по которым максимален, а значит, и максимально значение спектра.

Правда, могут быть и отрицательные дисперсии, и тогда аналогия с эллипсоидом (псевдоэллипсоидом?) уже не очевидна.

9. Матрица девиации расстояний - это матрица корреляции векторов

Все это прекрасно, но причем здесь преобразование девиации?

Рассмотрим ситуацию, когда нам известен не набор чисел (векторов), характеризующих некоторые точки (узлы), а набор расстояний между точками (причем между всеми). Достаточно ли данной информации для определения ССК (собственной системы координат) набора?

Ответ мы дали в первой части - да, вполне. Здесь же мы покажем, что построенная по формуле (1.3") матрица девиации квадратов расстояний и определенная нами выше матрица корреляции центрированных векторов (8.1) - это одна и та же матрица .

Как такое получилось? Сами в шоке. Чтобы в этом убедиться, надо подставить выражение для элемента матрицы квадратов расстояний

В формулу преобразования девиации:

Отметим, что среднее значение матрицы квадратов расстояний отражает дисперсию исходного набора (при условии, что расстояния в наборе - это сумма квадратов компонент):

Подставляя (9.1) и (9.3) в (9.2), после несложных сокращений приходим к выражению для матрицы корреляции (8.1):

Итак, мы убедились, что применяя операцию девиации к матрице евклидовых расстояний, мы получаем известную матрицу корреляции. Ранг матрицы корреляции совпадает с рангом матрицы ковариации (количеством компонент евклидового пространства). Именно это обстоятельство позволяет нам строить спектр и собственную систему координат для исходных точек на основе матрицы расстояний.

Для произвольной матрицы расстояний (необязательно евклидовой) потенциальный ранг (количество измерений) на единицу меньше количества исходных векторов. Расчет спектра (собственной системы координат) позволяет определить основные (главные) компоненты, влияющие на расстояния между точками (векторами).

Матрица расстояний между городами, например, заведомо неевклидова, - никаких компонент (характеристик городов) не задано. Преобразование девиации тем не менее позволяет определить спектр такой матрицы и собственные координаты городов.

Но уже не в этой статье. Здесь пока все, спасибо за уделенное время.

Вариации оценок параметров будут, в конечном счете, определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу вектора оценок параметров E n , являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной:

В общем виде многомерная линейная регрессионная модель зависимости y от объясняющих переменных,…, имеет вид:

Для оценки неизвестных параметров взята случайная выборка объема n из (k+1)-мерной случайной величины (y,…,).

В матричной форме модель имеет вид:

• - вектор-столбец фактических значений зависимой переменной размерности n;
• - матрица значений объясняющих переменных размерности n*(k+1);
• - вектор-столбец неизвестных параметров, подлежащих оценке, размерности (k+1);
• - вектор-столбец случайных ошибок размерности n с математическим ожиданием ME=0 и ковариационной матрицей соответственно, при этом

Единичная матрица размерности (nxn).

Оценки неизвестных параметров находятся методом наименьших квадратов, минимизируя скалярную сумму квадратов по компонентам вектора в.

получаем скалярную сумму квадратов

Условием обращения полученной суммы в минимум является система нормальных уравнений:

, (j=0,1,2,…,k).

В результате дифференцирования получается:

При замене вектора неизвестных параметров в на оценки, полученные методом наименьших квадратов, получаем следующее выражение :

Полученные оценки вектора b являются не смещенными и эффективными.

Ковариационная матрица вектора b имеет вид:

где - остаточная дисперсия.

Ковариационная матрица может быть любого размера. Пусть - числа, ошибками которых являются. Вычислим дисперсии и ковариации

Из них также можно построить ковариационную матрицу

Эта матрица обладает свойством симметрии где “Т” - знак транспонирования - замена строк матрицы столбцами или наоборот.

Элементы главной диагонали этой матрицы представляют собой дисперсии вектора оценок b. Остальные элементы являются значениями коэффициентов ковариации:

Таким образом, оценка - это линейная функция от зависимой переменной. Она имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией.

Несмещенная оценка остаточной дисперсии определяется по формуле:

где n - объем выборочной совокупности;

k - число объясняющих переменных.

Для проверки значимости уравнения регрессии используют F-критерий дисперсионного анализа, основанного на разложении общей суммы квадратов отклонений на составляющие части:

где - сумма квадратов отклонений (от нуля), обусловленная регрессией;

Сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от расчетных, т.е. сумма квадратов отклонений относительно плоскости регрессии, обусловленное воздействием случайных и неучтенных в модели факторов.

Для проверки гипотезы используется величина

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и. Если, то уравнение регрессии значимо, т.е. в уравнении есть хотя бы один коэффициент регрессии, отличный от нуля.

В случае значимости уравнения регрессии проверяется значимость отдельных коэффициентов регрессии. Для проверки нулевой гипотезы используется величина

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и; - соответствующий элемент главной диагонали ковариационной матрицы.

Коэффициент регрессии считается значимым, если. Для значимых коэффициентов регрессии можно построить доверительные интервалы, используя формулу

где находится по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы.

В многошаговом регрессионном анализе наиболее известны три подхода:

• 1. Метод случайного поиска с адаптацией. Осуществляется путем построения нескольких уравнений регрессии на основе формально разработанного принципа включения факторов и последующего выбора лучшего уравнения с точки зрения определенного критерия.
• 2. Метод включения переменных, основанный на построении уравнения регрессии по одному значимому фактору и последовательном добавлении всех остальных статистически значимых переменных путем расчета частных коэффициентов корреляции и F-критерия при проверке значимости вводимого в модель фактора
• 3. Метод отсева факторов по t-критерию. Данный метод заключается в построении уравнений регрессии по максимально возможному количеству объясняющих переменных и последующем исключении статистически не существенных факторов.

3.3. Математические ожидания и ковариации векторов и матриц

При работе с линейными моделями удобно представлять данные в виде векторов или матриц. Элементы некоторых векторов или матриц статистических линейных моделей являются случайными переменными. Определение случайной переменной было дано. Значение этой переменной зависит от случайного результата опыта.

В этой книге рассматривается такой тип векторов случайных переменных отклика, элементы которого могут быть коррелированы, а влияющие на них переменные являются контролируемыми и неслучайными. В конкретной линейной модели, влияющие на отклик переменные, имеют выбранные или полученные в результате расчёта детерминированные значения. Таким образом, в рассматриваемых линейных моделях имеются два вектора случайных переменных:

у = и e =.

Значения i -й переменной у i (i =1, 2, …, n ) отклика наблюдаются в результате проведения i -го опыта эксперимента, а значения переменной e i случайной ошибки не наблюдаются, но могут оцениваться по наблюдаемым значениям переменной отклика и значениям влияющих на неё переменных.

При рассмотрении линейных моделей широко используются векторы и матрицы случайных переменных, поэтому в первую очередь для них необходимо обобщить идеи математического ожидания, ковариации и дисперсии.

Математические ожидания

Математическое ожидание вектора у размеров п х1 случайных переменных y 1 , y 2 , ..., у п определяется как вектор их ожидаемых значений:

Е (у )=Е = = =y , (3.3.1)

где E (у i )=y i получается в виде E (у i )=, используя функцию f i (у i ) плотности вероятности безусловного распределения переменной у i .

Если х и у п х1, то, в силу (3.3.1) и (3.2.7), математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий:

Е (х +у )=Е (х )+Е (у ). (3.3.2)

Пусть у ij (i =1, 2, ..., m ; j =1, 2, ..., п ) набор случайных переменных с ожидаемыми значениями E (у ij ). Выражая случайные переменные и их математические ожидания в матричной форме, можно определить общий оператор математического ожидания матрицы Y =(y ij ) размеров m хп следующим образом:

Определение 3.3.1 . Математическое ожидание матрицы Y случайных переменных равно матрице математических ожиданий её элементов

E (Y )=[E (y ij )].

По аналогии с выражением (3.3.1), ожидаемые значения матрицы Y случайных переменных представляются в виде матрицы ожидаемых значений:

E (Y )==. (3.3.3)

Вектор можно рассматривать как матрицу, следовательно, определение 3.3.1 и следующая теорема справедливы и для векторов.

Теорема 3.3.1. Если матрицы А= (а ij) размеров l хm , B= (b ij) размеров n хp , С= (c ij) размеров l хp – все имеют элементами постоянные числовые значения, а Y – матрица размеров m хn случайных переменных, то

E (AYB +C )=A E (Y )B +C . (3.3.4)

Доказательство дано в книгах [Себер (1980) стр.19; Seber, Lee (2003) стр.5]

Там же доказывается, что, если матрицы A и В размеров m хn , элементами которых являются постоянные числовые значения, а х и у - векторы случайных переменных размеров п х1, то

E (Aх +Bу )=A E (х )+B E (у ).

Если f (Y ) – линейная функция матрицы Y , то её ожидаемое значение находится по формуле Е [f (Y )]=f [Е (Y )] . Например, если матрицы А размеров р хm , B размеров п хр и С размеров р хр - все имеют элементами постоянные числовые значения, а матрица Y размеров т хп случайных переменных, то

E [след (AYB +C )]=след [E (AYB +C )], так как след матрицы - линейный оператор

=след [A E (Y )B +C ], так как AYB +C - линейная функция матрицы Y

=след [A E (Y )B ]+след (C ). (3.3.5)

Ковариации и дисперсии

Аналогичным образом можно обобщить понятия ковариации и дисперсии для векторов. Если векторыслучайных переменных х размеров m х1 и у размеров n х1, то ковариация этих векторов определяется следующим образом.

Определение 3.3. 2 . Ковариацией векторов х и у случайных переменных является прямоугольная матрица ковариаций их элементов

C (х , у )=[C (х i , у j )].

Теорема 3.3.2. Если случайные векторы х и у имеют векторы математических ожиданий E (x )=x и Е (у )=y , то их ковариация

C (х , у )=E [(x –x )(y –y ) T ].

Доказательство:

C (х , у )=[C (х i , у j )]

={E [(х i –x i )(y j –y j )]} [в силу (3.2.9)]

=E [(x –x )(y –y ) T ]. [по определению 3.3.1]

Применим эту теорему для нахождения матрицы ковариаций векторов х размеров 3х1 и у размеров 2х1

C (х , у )=E [(x –x )(y –y ) T ]

=E

=Е

=.

Определение 3.3. 3 . Если х =у , то матрица ковариаций C (у , у ) записывается в виде D (у )=E [(y –y )(y –y ) T ] и называется матрицей дисперсий и ковариаций вектора у . Таким образом ,

D (у )=E [(y –y )(y –y ) T ]=[C (у i , у j )]

=. (3.3.4)

А так как C (у i , у j )=C (у j , у i ), то матрица (3.3.4) симметричная и квадратная.

Матрица дисперсий и ковариаций вектора у представляется в виде ожидаемого значения произведения (y –y )(y –y ) T . В силу (П.2.13), произведение (y i –y i )(y j –y j ) является (ij )-м элементом матрицы (y –y )(y –y ) T . Таким образом, в силу (3.2.9) и (3.3.4), математическое ожидание E [(y i –y i )(y j –y j )]=s ij является (ij )-м элементом Е [(y –y )(y –y ) T ]. Отсюда

E [(y –y )(y –y ) T ]=. (3.3.5)

Дисперсии s 11 , s 22 , ..., s пп переменных y 1 , y 2 , ..., у п и их ковариации s ij , для всех i ≠j , могут быть удобно представлены матрицей дисперсий и ковариаций, которая иногда называется ковариационной матрицей и обозначается прописной буквой S строчной s:

S =D (у )= (3.3.6)

В матрице S i- я строка содержит дисперсию переменной у i и её ковариации с каждой из остальных переменных вектора у . Чтобы быть последовательными с обозначением s ij , используем для дисперсий s ii =s i 2 , где i =1, 2, ..., n . При этом дисперсии расположены по диагонали матрицы S и ковариации занимают позиции за пределами диагонали. Отметим различие в значении между обозначениями D (у )=S для вектора и С (у i , у j )=s ij для двух переменных.

Матрица S дисперсий и ковариаций симметричная, так как s ij =s ji [см. (3.2.9)]. Во многих приложениях полагается, что матрица S положительно определённая . Это обычно верно, если рассматриваются непрерывные случайные переменные, и между ними нет линейных зависимостей. Если между переменными есть линейные зависимости, то матрица S будет неотрицательно определённой .

Для примера найдём матрицу дисперсий и ковариаций вектора у размеров 3х1

D (у )=E [(y –y )(y –y ) T ]

=E

=E

=
.

=.

Как следует из определения 3.3.3,

D (у )=E [(у –y )(y –y ) T ], (3.3.7)

что после подобного сделанному в (3.2.4) преобразованию приводится к выражению

D (y )=E (yy T)–yy T . (3.3.8)

Последние два выражения являются естественным обобщением одномерных результатов данных выражениями (3.2.2) и (3.2.4).

Пример 3.3.1. Если а - какой-либо вектор числовых значений тех же размеров п х1, что и вектор у , то

D (y –а )=D (y ).

Это следует из того, что y i –a i –E (y i –a i )=y i –a i –E (y i )+a i =y i –E (y i ), так что

C (y i –a i , y j –a j )=C (y i , y j ).

Напомним, что симметричная матрица А является положительно определенной, если для всех векторов у ≠0 квадратичная форма у Т Ау >0. В дальнейшем будет использоваться часто следующая теорема.

Теорема 3.3.3. Если у - вектор случайных переменных, в котором ни одна из переменных не является линейной комбинации остальных, то есть, нет вектора а ≠0 и числа b таких, что а Т у =b для любого у , то D (у )=S - положительно определенная матрица.

Доказательство этой теоремы дано в [Себер (1980) стр.22].

Обобщенная дисперсия и нормированный вектор

Матрица S содержит дисперсии и ковариации всех п случайных переменных вектора у и всесторонне представляет полную их вариацию. Обобщённой мерой, характеризующей вариацию случайных переменных вектора у , может служить определитель матрицы S :

Обобщенная дисперсия =det(S ). (3.3.9)

В качестве статистики обобщённой дисперсии используется обобщённая выборочная дисперсия, определяемая детерминантом матрицы S=Y T (I –Е /n )Y /(n –1) вариаций и ковариаций выборочных значений переменных вектора у , представленных матрицей Y =[y 1 , y 2 , …, y k ], где её столбцы составлены из векторов значений переменных вектора у :

Обобщенная выборочная дисперсия =det(S ). (3.3.10)

Если det(S ) малый, то значения переменных вектора у располагаются ближе к их усреднённым значениям вектора , чем, если бы det(S )был большим. Малое значение det(S ) может указывать также на то, что переменные y 1 , y 2 ,..., у п вектора у сильно взаимно коррелированы и стремятся занимать подпространство меньшее, чем п измерений, что соответствует одному или большему числу малых собственных значений .

Для получения полезной меры разности между векторами у и y необходимо учитывать дисперсии и ковариации переменных вектора у . Как для одной нормированной случайной переменной, получаемой по формуле z=(у–y )/s и имеющей среднее равное 0 и дисперсию равную 1, нормированная разность между векторами у и y определяется в виде

Нормированная разность =(у –y ) Т S –1 (у –y ). (3.3.11)

Использование матрицы S –1 в этом выражении нормирует (трансформирует) переменные вектора у так, что нормированные переменные имеют средние равные 0 и дисперсии равные 1, а также становятся и некоррелированными. Это получается потому, что матрица S положительно определённая. По теореме П.6.5 её обратная матрица тоже положительно определённая. В силу (П.12.18), матрица S –1 =S –1/2 S –1/2 . Отсюда

(у –y ) Т S –1 (у –y )=(у –y ) Т S –1/2 S –1/2 (у –y )

=[S –1/2 (у –y )] Т [S –1/2 (у –y )]

=z Т z ,

где z =S –1/2 (у –y ) - вектор нормированных случайных переменных. Математическое ожидание вектора z получается

Е (z )=Е [S –1/2 (у –y )]=S –1/2 [Е (у )–y ]=0

и его дисперсия

D (z )=D [S –1/2 (у –y )]=S –1/2 D (у –y )S –1/2 =S –1/2 SS –1/2 =S –1/2 S 1/2 S 1/2 S –1/2 =I .

Следовательно, по пункту 2 теоремы 4.5.2 следующей главы вектор S –1/2 (у –y ) имеет нормальное распределение N (0 , I ).

Для нормированной разности, как параметра, есть соответствующая статистика, а именно, выборочная нормированная дистанция, определяемая формулой (у –) Т S –1 (у –) и называемая часто дистанцией Махаланобиса . Некоторый п -мерный гиперэллипсоид (у –) Т S –1 (у –)=а 2 , центрированный вектором и базирующийся на S –1 для нормирования расстояния до центра, содержит выборочные значения переменных вектора у . Гиперэллипсоид (у –) Т S –1 (у –) имеет оси пропорциональные квадратным корням собственных значений матрицы S . Можно показать, что объём гиперэллипсоида пропорционален 1/2 . Если минимальное собственное значение матрицы S равно нулю, то в этом направлении нет оси и гиперэллипсоид расположен в (п –1)-мерном подпространстве п -мерного пространства. Следовательно, его объём в п -мерном пространстве равен 0. Нулевое собственное значение указывает на избыточность переменных вектора у . Для устранения этого необходимо убрать одну или более переменных, являющихся линейными комбинациями остальных.