Частично упорядоченное. Теоремы о частично упорядоченных множествах. Верхние и нижние грани

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Части́чно упоря́доченное мно́жество - математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими (какие элементы больше каких). В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за ».

В качестве абстрактного примера можно привести совокупность подмножеств множества из трёх элементов $\backslash \{\; x,\; y,\; z\backslash \}$ (булеан данного множества), упорядоченную по отношению включения.

Определение и примеры

Порядком , или частичным порядком , на множестве $M$ называется бинарное отношение $\backslash varphi$ на $M$ (определяемое некоторым множеством $R\_\{\backslash varphi\}\; \backslash subset\; M\; \backslash times\; M$), удовлетворяющее следующим условиям :

• Рефлексивность : $\backslash forall\; a\; \backslash ;\; (a\; \backslash varphi\; a)$
• Транзитивность : $\backslash forall\; a,\; b,\; c\; \backslash ;\; (a\; \backslash varphi\; b)\; \backslash wedge\; (b\; \backslash varphi\; c)\; \backslash Rightarrow\; a\; \backslash varphi\; c$
• Антисимметричность : $\backslash forall\; a,\; b\; \backslash ;\; (a\; \backslash varphi\; b)\; \backslash wedge\; (b\; \backslash varphi\; a)\; \backslash Rightarrow\; a\; =\; b$

Множество $M$, на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным . Если быть совсем точным , то частично упорядоченным множеством называется пара $\backslash langle\; M,\; \backslash varphi\; \backslash rangle$, где $M$ - множество, а $\backslash varphi$ - отношение частичного порядка на $M$.

Терминология и обозначения

Отношение частичного порядка обычно обозначают символом $\backslash leqslant$, по аналогии с отношением «меньше либо равно» на множестве действительных чисел . При этом, если $a\; \backslash leqslant\; b$, то говорят, что элемент $a$ не превосходит $b$, или что $a$ подчинён $b$.

Если $a\; \backslash leqslant\; b$ и $a\; \backslash neq\; b$, то пишут , и говорят, что $a$ меньше $b$, или что $a$ строго подчинен $b$.

Иногда, чтобы отличить произвольный порядок на некотором множестве от известного отношения «меньше либо равно» на множестве действительных чисел, вместо $\backslash leqslant$ и используют специальные символы $\backslash preccurlyeq$ и $\backslash prec$ соответственно.

Строгий и нестрогий порядок

Отношение, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, также называют нестрогим , или рефлексивным порядком . Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности (тогда свойство антисимметричности заменится на асимметричность):

$\backslash forall\; a\; \backslash ;\; \backslash neg\; (a\; \backslash varphi\; a)$

то получим определение строгого , или антирефлексивного порядка .

Если $\backslash leqslant$ - нестрогий порядок на множестве $M$, то отношение , определяемое как:

является строгим порядком на $M$. Обратно, если - строгий порядок, то отношение $\backslash leqslant$, определенное как

является нестрогим порядком.

Поэтому всё равно - задать на множестве нестрогий порядок, или строгий порядок. В результате получится одна и та же структура. Разница только в терминологии и обозначениях.

Примеры

Верхнее и нижнее множество

Специальные типы частично упорядоченных множеств

Линейно упорядоченные множества

Пусть $\backslash langle\; M,\; \backslash leqslant\backslash rangle$ - частично упорядоченное множество. Если в $M$ любые два элемента сравнимы, то множество $M$ называется линейно упорядоченным . Линейно упорядоченное множество также называют совершенно упорядоченным , или просто, упорядоченным множеством . Таким образом, в линейно упорядоченном множестве для любых двух элементов $a$ и $b$ имеет место одно и только одно из соотношений: либо

Также всякое линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества называют цепью , то есть цепь в частично упорядоченном множестве $\backslash langle\; M,\; \backslash leqslant\; \backslash rangle$ - такое его подмножество, в котором любые два элемента сравнимы.

Из приведенных выше примеров частично упорядоченных множеств только множество действительных чисел является линейно упорядоченным. Множество действительнозначных функций на отрезке $$ (при условии

В линейно упорядоченном множестве понятия наименьшего и минимального, а также наибольшего и максимального, совпадают.

Вполне упорядоченные множества

Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным , если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент . Такой порядок на множестве называется полным порядком , в контексте, где его невозможно спутать с полным порядком в смысле .

Классический пример вполне упорядоченного множества - множество натуральных чисел $\backslash mathbb\{N\}$. Утверждение о том, что любое непустое подмножество $\backslash mathbb\{N\}$ содержит наименьший элемент, равносильно принципу математической индукции . В качестве примера линейно упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества можно привести множество неотрицательных чисел, упорядоченное естественным образом $\backslash mathbb\{R\}\_\{+\}\; =\; \backslash \{\; x:\; x\; \backslash geqslant\; 0\backslash \}$. Действительно, его подмножество $\backslash \{x:\; x\; >\; 1\backslash \}$ не имеет наименьшего элемента.

Вполне упорядоченные множества играют исключительно важную роль в общей теории множеств .

Полное частично упорядоченное множество - частично упорядоченное множество, у которого есть дно - единственный элемент, который предшествует любому другому элементу и у каждого направленного подмножества которого есть точная верхняя граница . Полные частично упорядоченные множества применяются в λ-исчислении и информатике , в частности, на них вводится топология Скотта , на основе которой строится непротиворечивая модель λ-исчисления и денотационная семантика . Специальным случаем полного частично упорядоченного множества является полная решётка - если любое подмножество, не обязательно направленное, имеет точную верхнюю грань, то оно оказывается полной решёткой.

Упорядоченное множество $M$ тогда и только тогда является полным частично упорядоченным, когда каждая функция $f\; \backslash colon\; M\backslash rightarrow\; M$, монотонная относительно порядка ($a\; \backslash leqslant\; b\; \backslash Rightarrow\; f(a)\; \backslash leqslant\; f(b)$) обладает хотя бы одной неподвижной точкой : $\backslash exists\; \_\{x\; \backslash in\; M\}\; f(x)=x$.

Любое множество $M$ можно превратить в полное частично упорядоченное выделением дна $\backslash bot$ и определением порядка $\backslash leqslant$ как $\backslash bot\; \backslash leqslant\; m$ и $m\; \backslash leqslant\; m$ для всех элементов $m$ множества $M$.

Теоремы о частично упорядоченных множествах

К числу фундаментальных теорем о частично упорядоченных множествах относятся принцип максимума Хаусдорфа и лемма Куратовского - Цорна . Каждая из этих теорем эквивалентна аксиоме выбора .

В теории категорий

Каждое частично упорядоченное множество (и каждый предпорядок) можно рассматривать как категорию , в которой каждое множество морфизмов $\backslash mathrm\{Hom\}(A,B)$ состоит не более чем из одного элемента. Например, эту категорию можно определить так: $\backslash mathrm\{Hom\}(A,B)=\backslash \{(A,B)\backslash \}$, если A ≤ B (и пустое множество в противном случае); правило композиции морфизмов: (y , z )∘(x , y ) = (x , z ). Каждая категория-предпорядок эквивалентна частично упорядоченному множеству.

Напишите отзыв о статье "Частично упорядоченное множество"

Примечания

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М .: Наука , 1977. - 368 с.
• Барендрегт, Хенк. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика = The Lambda Calculus. Its syntax and semantics. - М .: Мир , 1985. - 606 с. - 4800 экз.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - 7-е изд. - М .: Физматлит , 2004. - 572 с. - ISBN 5-9221-0266-4 .
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. - 4-е изд. - М .: УРСС , 2007. - 304 с. - ISBN 978-5-382-00127-2 .
• Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. - 2-е изд. - М .: Либроком , 2013. - 352 с. - ISBN 978-5-397-03899-7 .

См. также

Отрывок, характеризующий Частично упорядоченное множество

Подбитый зверь под Бородиным лежал там где то, где его оставил отбежавший охотник; но жив ли, силен ли он был, или он только притаился, охотник не знал этого. Вдруг послышался стон этого зверя.
Стон этого раненого зверя, французской армии, обличивший ее погибель, была присылка Лористона в лагерь Кутузова с просьбой о мире.
Наполеон с своей уверенностью в том, что не то хорошо, что хорошо, а то хорошо, что ему пришло в голову, написал Кутузову слова, первые пришедшие ему в голову и не имеющие никакого смысла. Он писал:

«Monsieur le prince Koutouzov, – писал он, – j"envoie pres de vous un de mes aides de camps generaux pour vous entretenir de plusieurs objets interessants. Je desire que Votre Altesse ajoute foi a ce qu"il lui dira, surtout lorsqu"il exprimera les sentiments d"estime et de particuliere consideration que j"ai depuis longtemps pour sa personne… Cette lettre n"etant a autre fin, je prie Dieu, Monsieur le prince Koutouzov, qu"il vous ait en sa sainte et digne garde,
Moscou, le 3 Octobre, 1812. Signe:
Napoleon».
[Князь Кутузов, посылаю к вам одного из моих генерал адъютантов для переговоров с вами о многих важных предметах. Прошу Вашу Светлость верить всему, что он вам скажет, особенно когда, станет выражать вам чувствования уважения и особенного почтения, питаемые мною к вам с давнего времени. Засим молю бога о сохранении вас под своим священным кровом.
Москва, 3 октября, 1812.
Наполеон. ]

«Je serais maudit par la posterite si l"on me regardait comme le premier moteur d"un accommodement quelconque. Tel est l"esprit actuel de ma nation», [Я бы был проклят, если бы на меня смотрели как на первого зачинщика какой бы то ни было сделки; такова воля нашего народа. ] – отвечал Кутузов и продолжал употреблять все свои силы на то, чтобы удерживать войска от наступления.
В месяц грабежа французского войска в Москве и спокойной стоянки русского войска под Тарутиным совершилось изменение в отношении силы обоих войск (духа и численности), вследствие которого преимущество силы оказалось на стороне русских. Несмотря на то, что положение французского войска и его численность были неизвестны русским, как скоро изменилось отношение, необходимость наступления тотчас же выразилась в бесчисленном количестве признаков. Признаками этими были: и присылка Лористона, и изобилие провианта в Тарутине, и сведения, приходившие со всех сторон о бездействии и беспорядке французов, и комплектование наших полков рекрутами, и хорошая погода, и продолжительный отдых русских солдат, и обыкновенно возникающее в войсках вследствие отдыха нетерпение исполнять то дело, для которого все собраны, и любопытство о том, что делалось во французской армии, так давно потерянной из виду, и смелость, с которою теперь шныряли русские аванпосты около стоявших в Тарутине французов, и известия о легких победах над французами мужиков и партизанов, и зависть, возбуждаемая этим, и чувство мести, лежавшее в душе каждого человека до тех пор, пока французы были в Москве, и (главное) неясное, но возникшее в душе каждого солдата сознание того, что отношение силы изменилось теперь и преимущество находится на нашей стороне. Существенное отношение сил изменилось, и наступление стало необходимым. И тотчас же, так же верно, как начинают бить и играть в часах куранты, когда стрелка совершила полный круг, в высших сферах, соответственно существенному изменению сил, отразилось усиленное движение, шипение и игра курантов.

Русская армия управлялась Кутузовым с его штабом и государем из Петербурга. В Петербурге, еще до получения известия об оставлении Москвы, был составлен подробный план всей войны и прислан Кутузову для руководства. Несмотря на то, что план этот был составлен в предположении того, что Москва еще в наших руках, план этот был одобрен штабом и принят к исполнению. Кутузов писал только, что дальние диверсии всегда трудно исполнимы. И для разрешения встречавшихся трудностей присылались новые наставления и лица, долженствовавшие следить за его действиями и доносить о них.
Кроме того, теперь в русской армии преобразовался весь штаб. Замещались места убитого Багратиона и обиженного, удалившегося Барклая. Весьма серьезно обдумывали, что будет лучше: А. поместить на место Б., а Б. на место Д., или, напротив, Д. на место А. и т. д., как будто что нибудь, кроме удовольствия А. и Б., могло зависеть от этого.
В штабе армии, по случаю враждебности Кутузова с своим начальником штаба, Бенигсеном, и присутствия доверенных лиц государя и этих перемещений, шла более, чем обыкновенно, сложная игра партий: А. подкапывался под Б., Д. под С. и т. д., во всех возможных перемещениях и сочетаниях. При всех этих подкапываниях предметом интриг большей частью было то военное дело, которым думали руководить все эти люди; но это военное дело шло независимо от них, именно так, как оно должно было идти, то есть никогда не совпадая с тем, что придумывали люди, а вытекая из сущности отношения масс. Все эти придумыванья, скрещиваясь, перепутываясь, представляли в высших сферах только верное отражение того, что должно было совершиться.
«Князь Михаил Иларионович! – писал государь от 2 го октября в письме, полученном после Тарутинского сражения. – С 2 го сентября Москва в руках неприятельских. Последние ваши рапорты от 20 го; и в течение всего сего времени не только что ничего не предпринято для действия противу неприятеля и освобождения первопрестольной столицы, но даже, по последним рапортам вашим, вы еще отступили назад. Серпухов уже занят отрядом неприятельским, и Тула, с знаменитым и столь для армии необходимым своим заводом, в опасности. По рапортам от генерала Винцингероде вижу я, что неприятельский 10000 й корпус подвигается по Петербургской дороге. Другой, в нескольких тысячах, также подается к Дмитрову. Третий подвинулся вперед по Владимирской дороге. Четвертый, довольно значительный, стоит между Рузою и Можайском. Наполеон же сам по 25 е число находился в Москве. По всем сим сведениям, когда неприятель сильными отрядами раздробил свои силы, когда Наполеон еще в Москве сам, с своею гвардией, возможно ли, чтобы силы неприятельские, находящиеся перед вами, были значительны и не позволяли вам действовать наступательно? С вероятностию, напротив того, должно полагать, что он вас преследует отрядами или, по крайней мере, корпусом, гораздо слабее армии, вам вверенной. Казалось, что, пользуясь сими обстоятельствами, могли бы вы с выгодою атаковать неприятеля слабее вас и истребить оного или, по меньшей мере, заставя его отступить, сохранить в наших руках знатную часть губерний, ныне неприятелем занимаемых, и тем самым отвратить опасность от Тулы и прочих внутренних наших городов. На вашей ответственности останется, если неприятель в состоянии будет отрядить значительный корпус на Петербург для угрожания сей столице, в которой не могло остаться много войска, ибо с вверенною вам армиею, действуя с решительностию и деятельностию, вы имеете все средства отвратить сие новое несчастие. Вспомните, что вы еще обязаны ответом оскорбленному отечеству в потере Москвы. Вы имели опыты моей готовности вас награждать. Сия готовность не ослабнет во мне, но я и Россия вправе ожидать с вашей стороны всего усердия, твердости и успехов, которые ум ваш, воинские таланты ваши и храбрость войск, вами предводительствуемых, нам предвещают».
Но в то время как письмо это, доказывающее то, что существенное отношение сил уже отражалось и в Петербурге, было в дороге, Кутузов не мог уже удержать командуемую им армию от наступления, и сражение уже было дано.
2 го октября казак Шаповалов, находясь в разъезде, убил из ружья одного и подстрелил другого зайца. Гоняясь за подстреленным зайцем, Шаповалов забрел далеко в лес и наткнулся на левый фланг армии Мюрата, стоящий без всяких предосторожностей. Казак, смеясь, рассказал товарищам, как он чуть не попался французам. Хорунжий, услыхав этот рассказ, сообщил его командиру.
Казака призвали, расспросили; казачьи командиры хотели воспользоваться этим случаем, чтобы отбить лошадей, но один из начальников, знакомый с высшими чинами армии, сообщил этот факт штабному генералу. В последнее время в штабе армии положение было в высшей степени натянутое. Ермолов, за несколько дней перед этим, придя к Бенигсену, умолял его употребить свое влияние на главнокомандующего, для того чтобы сделано было наступление.
– Ежели бы я не знал вас, я подумал бы, что вы не хотите того, о чем вы просите. Стоит мне посоветовать одно, чтобы светлейший наверное сделал противоположное, – отвечал Бенигсен.
Известие казаков, подтвержденное посланными разъездами, доказало окончательную зрелость события. Натянутая струна соскочила, и зашипели часы, и заиграли куранты. Несмотря на всю свою мнимую власть, на свой ум, опытность, знание людей, Кутузов, приняв во внимание записку Бенигсена, посылавшего лично донесения государю, выражаемое всеми генералами одно и то же желание, предполагаемое им желание государя и сведение казаков, уже не мог удержать неизбежного движения и отдал приказание на то, что он считал бесполезным и вредным, – благословил совершившийся факт.

Записка, поданная Бенигсеном о необходимости наступления, и сведения казаков о незакрытом левом фланге французов были только последние признаки необходимости отдать приказание о наступлении, и наступление было назначено на 5 е октября.
4 го октября утром Кутузов подписал диспозицию. Толь прочел ее Ермолову, предлагая ему заняться дальнейшими распоряжениями.
– Хорошо, хорошо, мне теперь некогда, – сказал Ермолов и вышел из избы. Диспозиция, составленная Толем, была очень хорошая. Так же, как и в аустерлицкой диспозиции, было написано, хотя и не по немецки:
«Die erste Colonne marschiert [Первая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то, die zweite Colonne marschiert [вторая колонна идет (нем.) ] туда то и туда то» и т. д. И все эти колонны на бумаге приходили в назначенное время в свое место и уничтожали неприятеля. Все было, как и во всех диспозициях, прекрасно придумано, и, как и по всем диспозициям, ни одна колонна не пришла в свое время и на свое место.
Когда диспозиция была готова в должном количестве экземпляров, был призван офицер и послан к Ермолову, чтобы передать ему бумаги для исполнения. Молодой кавалергардский офицер, ординарец Кутузова, довольный важностью данного ему поручения, отправился на квартиру Ермолова.
– Уехали, – отвечал денщик Ермолова. Кавалергардский офицер пошел к генералу, у которого часто бывал Ермолов.
– Нет, и генерала нет.
Кавалергардский офицер, сев верхом, поехал к другому.
– Нет, уехали.
«Как бы мне не отвечать за промедление! Вот досада!» – думал офицер. Он объездил весь лагерь. Кто говорил, что видели, как Ермолов проехал с другими генералами куда то, кто говорил, что он, верно, опять дома. Офицер, не обедая, искал до шести часов вечера. Нигде Ермолова не было и никто не знал, где он был. Офицер наскоро перекусил у товарища и поехал опять в авангард к Милорадовичу. Милорадовича не было тоже дома, но тут ему сказали, что Милорадович на балу у генерала Кикина, что, должно быть, и Ермолов там.
– Да где же это?
– А вон, в Ечкине, – сказал казачий офицер, указывая на далекий помещичий дом.
– Да как же там, за цепью?
– Выслали два полка наших в цепь, там нынче такой кутеж идет, беда! Две музыки, три хора песенников.
Офицер поехал за цепь к Ечкину. Издалека еще, подъезжая к дому, он услыхал дружные, веселые звуки плясовой солдатской песни.
«Во олузя а ах… во олузях!..» – с присвистом и с торбаном слышалось ему, изредка заглушаемое криком голосов. Офицеру и весело стало на душе от этих звуков, но вместе с тем и страшно за то, что он виноват, так долго не передав важного, порученного ему приказания. Был уже девятый час. Он слез с лошади и вошел на крыльцо и в переднюю большого, сохранившегося в целости помещичьего дома, находившегося между русских и французов. В буфетной и в передней суетились лакеи с винами и яствами. Под окнами стояли песенники. Офицера ввели в дверь, и он увидал вдруг всех вместе важнейших генералов армии, в том числе и большую, заметную фигуру Ермолова. Все генералы были в расстегнутых сюртуках, с красными, оживленными лицами и громко смеялись, стоя полукругом. В середине залы красивый невысокий генерал с красным лицом бойко и ловко выделывал трепака.
– Ха, ха, ха! Ай да Николай Иванович! ха, ха, ха!..
Офицер чувствовал, что, входя в эту минуту с важным приказанием, он делается вдвойне виноват, и он хотел подождать; но один из генералов увидал его и, узнав, зачем он, сказал Ермолову. Ермолов с нахмуренным лицом вышел к офицеру и, выслушав, взял от него бумагу, ничего не сказав ему.
– Ты думаешь, это нечаянно он уехал? – сказал в этот вечер штабный товарищ кавалергардскому офицеру про Ермолова. – Это штуки, это все нарочно. Коновницына подкатить. Посмотри, завтра каша какая будет!

На другой день, рано утром, дряхлый Кутузов встал, помолился богу, оделся и с неприятным сознанием того, что он должен руководить сражением, которого он не одобрял, сел в коляску и выехал из Леташевки, в пяти верстах позади Тарутина, к тому месту, где должны были быть собраны наступающие колонны. Кутузов ехал, засыпая и просыпаясь и прислушиваясь, нет ли справа выстрелов, не начиналось ли дело? Но все еще было тихо. Только начинался рассвет сырого и пасмурного осеннего дня. Подъезжая к Тарутину, Кутузов заметил кавалеристов, ведших на водопой лошадей через дорогу, по которой ехала коляска. Кутузов присмотрелся к ним, остановил коляску и спросил, какого полка? Кавалеристы были из той колонны, которая должна была быть уже далеко впереди в засаде. «Ошибка, может быть», – подумал старый главнокомандующий. Но, проехав еще дальше, Кутузов увидал пехотные полки, ружья в козлах, солдат за кашей и с дровами, в подштанниках. Позвали офицера. Офицер доложил, что никакого приказания о выступлении не было.

Множество М, в котором введено отношение порядка, т. е. для некоторых пар элементов х, у установлено абстрактное отношение х должно следовать х, введенным выше (тогда его называют строгим порядком), отношение связано следующим образом: или

Примеры. 1. Мн-во действительных чисел с обычным упорядочением; означает, что число положительно. В этом случае для любой пары элементов либо у, либо

Мн-во всех матриц с действительными элементами; означает, что для всех но . Очевидно, что существуют «несравнимые» матрицы , для которых ни ни

Мн-во всех непрерывных ф-ций на отрезке означает, что для всех но

В этом случае также существуют пары для которых ни ни

Понятие частичной упорядоченности важно в сочетании с алгебраическими структурами (напр., абелевой группой), или алгебраическими и топологическими (в теории частично упорядоченных линейных пространств). Частичная упорядоченность в киберн. системах часто имеет характер иерархического подчинения. Простейшей моделью такого подчинения является отношение подчинения между гранями симплекса: означает, что грань х является собственной гранью грани у.

Если М - Ч. у. м. с порядком то положив а -К b в том и только том случае, когда определим на М новый порядок. Возникающее при этом Ч. у. двойственным (или дуальным) к М. Для всякого высказывания о Ч. у. м. существует двойственное высказывание, получаемое заменой символа Напр., нижний конус подмн-ва А в Ч. у. м. М определяется условием а для всех а верхний конус условием: для всех Элемент максимальным, если или минимальным, если а. Элемент а в Ч. у. наибольшим (или единицей), если а для всех . Двойственным образом определяется наименьший элемент (или нуль). Конечно, всякий наибольший (наименьший) элемент максимален (минимален), но не наоборот. Если среди элементов нижнего конуса отличных от а, существует наибольший элемент b, то говорят, что а покрывает b (или что b непосредственно предшествует а, или а непосредственно следует за b). Если Ч. у. м. М имеет «0» и «1», то ряд где покрывает наз. композиционным рядом.

В исследовании Ч. у. м. и их применений чрезвычайно полезен принцип двойственности: если справедлива какая-либо теорема о Ч. у. сформулированная в общелогических терминах и терминах порядка, то справедлива и двойственная ей теорема.

Если для любых элементов х и у из Ч. у. м. М имеет место одно и только одно из трех утверждений: то множество М наз. линейно упорядоченным (или совершенно упорядоченным, а также цепью). Всякий минимальный (максимальный) элемент линейно упорядоченного мн-ва является наименьшим (наибольшим). Вообще говоря, подмножества линейно упорядоченного мн-ва не имеют миним. элементов; напр., во мн-ве упорядоченном обычным отношением «меньше», часть не имеет миним. элемента. Если каждая часть М имеет миним. элемент, М. наз. вполне упорядоченным множеством. Напр., мн-во натуральных чисел вполне упорядочено, а мн-во Z всех целых чисел - нет. По теореме Цермело (1904), любое мн-во может быть вполне упорядочено, т. е. в нем можно ввести отношение порядка, обладающее описанным выше свойством. Ч. у. изоморфными, если существует такое биективное отображение что из следует Если М частично упорядочено, то для любого подмножество отрезком М. Для двух вполне упорядоченных мн-в М и N можно показать, что либо М изоморфно отрезку N, либо - отрезку М: если верно то и другое, то М изоморфно N. Изоморфизм есть эквивалентности отношение между вполне упорядоченными мн-вами; классы эквивалентности наз. ординальными (порядковыми) числами. обозначает ординальное число, соответствующее М. Для ординальных чисел вводится отношение если М изоморфно отрезку N, но не N. Конечное ординальное число есть класс эквивалентности, содержащий отрезок натурального ряда , с

естественным упорядочением. Наименьшее бесконечное ординальное число со есть класс, содержащий весь натуральный ряд с естественным упорядочением. Порядковые числа важны как средство доказательства по методу трансфинитной индукции, который является естественным обобщением обычного метода полной индукции. Пусть требуется доказать предложение Р (а), формулировка которого содержит произвольное ординальное число а. Принцип трансфинитной индукции состоит в том, что если верно Р (1) и из справедливости для следует справедливость Р (а), то Р (а) верно для всех а. Этот принцип можно доказать как теорему в рамках аксиоматической теории Применение его требует предварительного полного упорядочения мн-ва объектов, для которых доказывается предложение, что приводит к их трансфинитной нумерации; такое упорядочение возможно в силу аксиомы выбора Цермело. С помощью трансфинитной индукции доказывается ряд важных теорем математики, напр., теорема Хана-Банаха в функциональном анализе. Важным является также построение различных матем. объектов с помощью трансфинитной индукции. Применение трансфинитной индукции часто заменяется подходом, основанным на теореме Цорна. Пусть М - Ч. у. м., X; если и для всех , то у наз. мажорантой X. Если всякое линейно упорядоченное подмножество имеет мажоранту, М наз. индуктивным. Теорема Цорна о том, что всякое индуктивное упорядоченное мн-во обладает по крайней мере одним максимальным элементом, широко применяется в алгебре, функциональном анализе и др. областях математики. Наглядное представление об этой теореме дает упорядочение подмножеств данного мн-ва «по вложению» означает .

Доказательства с помощью теоремы Цорна состоят в том, что ищется макс. подмножество данного мн-ва М, обладающее некоторым свойством, а затем доказывается, что предположение приводит к противоречию; отсюда заключают, что требуемым свойством обладает все мн-во М.

Лит.: Alexandroff P. Diskrete Raume. «Математический сборник», 1937, т. 2, в. 3; Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.- Л., 1950 [библиогр. с. 543-546]; Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., 1962 [библиогр. с. 383-387]; Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М., 1970 [библиогр. с. 145]; Риге Ж. Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа. В кн.; Кибернетический сборник, в. 7. М., 1963; Бурбаки Н. Начала математики, ч. 1. Основные структуры анализа, кн. 2. Теория множеств. Пер. с франц. М., 1965. А. В. Гладкий.

Бинарное отношениена множестве А называется антисимметричным если:

(а,в А) а ф в в ф а

Бинарное отношение на множестве А называется рефлексивным если:

Бинарное отношение на множестве А называется транзитивным если:

(a,в,cA) aв вc > а с

Отношение делимости (нацело) на множестве натуральных чисел N антисимметрично. В самом деле, если ав, ва, то существуют натуральные q 1 ,qN, такие, что а=вq 1 , в=аq откуда а=аq 1 q, то есть q 1 q=1. Но,

q 1 ,qN,следовательно q 1 =q=1, откуда следует, что а = в.

Рефлексивное антисимметричное транзитивное бинарное отношение на множестве А называется отношением порядка (частичного порядка) на множестве А.

Множество А с заданным на нем отношением частичного порядка? называют частично упорядоченным множеством и обозначают < А; ? >.

В дальнейшем для удобства будем пользоваться сокращением ЧУМ, обозначающим частично упорядоченное множество.

< N, ? > ? обычное нестрогое неравенство чисел (в школьном смысле). Нужно доказать транзитивность, рефлексивность и антисимметричность этого отношения?.

a) a ? a ,(2 ? 2) - рефлексивность,

b) если а? в, в? с, то a ? c, (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5) - транзитивность,

c) если a ? в, в? a, то a=в, (3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3) - антисимметричность.

Из этого следует, что < N, ? > - ЧУМ.

a) Отношение делимости на множестве натуральных чисел N рефлексивно, т.к всякое число кратно самому себе, т.е т.к для любого аN всегда a = a 1 (1N), это, по смыслу отношение, имеем а а. Следовательно, рефлексивно.

б) Если первое число делится нацело на второе(т.е кратное второму), а второе кратно третьему, то первое кратно третьему, значит отношение транзитивно, т.е. если а в, в с, a,в,cN. Значит, существуют такие q,qN, что

Обозначим: q = qqN. Имеем

где qN, т.е. а с - по определению. Следовательно, отношение транзитивно.

в) Антисимметричность отношения следует из того, что два натуральных числа, кратных друг другу, равны между собой, т.е. если ав, ва, то существуют такие q 1 ,qN, что

то есть q 1 q=1. Но, q 1 ,qN,следовательно q 1 =q=1, откуда следует, что а = в. Следовательно антисимметрично.

Поэтому есть частичный порядок и, стало быть, < N, > - ЧУМ(частично упорядоченным множеством).

Элементы a,в ЧУМа А называются несравнимыми и записываются

если a ? в и в? а.

Элементы a,в ЧУМа А называются сравнимыми если a ? в или в? а.

Частичный порядок? на A называется линейным, а само ЧУМ линейно - упорядоченным или цепью, если любые два элемента из А сравнимы, т.е. для любых a,в A, либо a ? в, либо в? a.

< N, ? >, - являются цепью. Однако <В(М) ; > ,где В(М) - множество всех подмножеств множества М или В(М) называется булеаном на множестве М, не является цепью, т.к. не для любых двух подмножеств множество М одно является подмножеством другого.

Пусть < А, ? > - произвольный ЧУМ.

Элемент mA называется минимальным, если для любого x A из того, что x ? m следует x = m.

Смысл этого понятия в том, что А не содержит элементов строго меньших этого элемента m. Говорят, что х строго меньше m и записывают х < m, если x ? m, но притом x ? m. Аналогично определяется максимальный элемент этого ЧУМ. Ясно, что если m, m- разные минимальные (максимальные) элементы ЧУМ, то m || m.

В теории частично упорядоченных множеств условие a ? в иногда читают так: элемент а содержится в элементе в или элемент в содержит элемент а.

Каждый элемент конечного ЧУМа содержит минимальный элемент и содержится в максимальном элементе этого ЧУМа.

Доказательство:

Пусть а - произвольный элемент конечного ЧУМа S. Если а - минимальный элемент, то в силу рефлексивности, лемма доказана. Если А не минимален, то найдется элемент а такой, что

Если а минимален, то всё доказано. Если же элемент ане является минимальным, то для некоторого а получим

Если а минимален, то из (1), (2), благодаря транзитивности, заключаем, что а содержит минимальный элемент а. Если же а не минимален, то

Таким образом, на некотором n - ом шаге рассуждений процесс оборвется, что равносильно тому, что элемент а минимален. При этом

а< а<< а< а< а

За счет транзитивности отсюда следует, что элемент а содержит минимальный элемент а. Аналогично, элемент а содержится в максимальном элементе. Лемма доказана.

Следствие.

Конечное ЧУМ содержит, по меньшей мере, один минимальный элемент.

Сейчас мы введем важное для дальнейшего изложения понятие диаграммы конечного ЧУМа S.

Вначале берем все минимальные элементы m, m, m в S. Согласно следствию такие найдутся. Затем в частично упорядоченном множестве

S = S {m, m, m},

которые, как и S , является конечным, берем минимальные элементы, и рассматриваем множество

Элементы “ первого ряда “m, m, m изображаем точками. Несколько выше отмечаем точками элементы “ второго ряда” , и соединяем отрезками точки в том и только том случаи, если m<

Далее отыскиваем минимальные элементы ЧУМа, изображаем их точками “третьего ряда” и соединяем точками “второго ряда” указанным выше способом. Продолжаем процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы данного ЧУМа S. Процесс конечен в силу конечности множества S. Полученную совокупность точек и отрезков называют диаграммой ЧУМа S. При этом a < в тогда и только тогда, когда от “точки” а можно перейти к “точки” в по некоторой “восходящей” ломаной. В силу этого обстоятельства, любое конечное ЧУМ можно отождествить с его диаграммой.

Здесь задано диаграммой ЧУМ

S = {m, m, },в которой m< , m< , m< m< , m< m< , m< .

Элемент m называется наименьшим элементом ЧУМа, если для любого x A всегда m ? x.

Понятно, что наименьший элемент является минимальным, но обратное не верно: не всякий минимальный элемент является наименьшим. Наименьший элемент (если такой имеется) только один. Аналогично определяется наибольший элемент.

Это ЧУМ, элементы которого попарно несравнимы. Такие частично упорядоченные множества называются антицепями.

Эта цепь с наименьшим и наибольшим элементом. Где 0 - наименьший элемент, а 1 - наибольший элемент.

Пусть М - подмножество частичного упорядоченного множества А. Элемент а A называют нижней гранью множества М, если а? х для любого x М.

Наибольшая из всех нижних граней множества М, если она существует, называется точной нижней гранью множества М и обозначают inf M.

Пусть < А, ? > - произвольный ЧУМ. Элемент сA называется точной нижней гранью элементов a,в A, если с = inf{a,в}.

Замечание 1.

Не во всяком ЧУМ для любых двух элементов существует точная нижняя грань.

Покажем это на примере.

Для {a;c},{d;e} нет нижней грани,

inf{a;в}=d, inf{в;c}=e.

Приведем пример ЧУМ, у которого для любых элементов существует точная нижняя грань.

inf{a;в}=d, inf{a;d}=d, inf{a;0}=0, inf{a;c}=0, inf{a;e}=0,

inf{в;c}=e, inf{в;e}=e, inf{в;d}=d,

inf{c;e}=c, inf{c;0}=0, inf{c;d}=0,

inf{d;e}=0, inf{d;0}=0,

Определение: Частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует точная нижняя грань, называется полурешеткой.

Пример 10.

Приведем пример ЧУМ, которое не является полурешеткой.

Пусть < N, ? > - линейно - упорядоченное множество натуральных чисел и e,eN. На множестве N=N{ e ,e} определим бинарное отношение? , пологая что x ? y, если x,y N, где x ? y, или если x N, y { e ,e}. Также считаем по определению: e ? e ,e? e.

Диаграмма этого ЧУМ следующая:

Любое натуральное число n ? e и n ? e, но в N нет наибольшего элемента, следовательно, N - ЧУМ, но не полурешетка.

Итак, по самому определению, полурешетка есть модель (как множество с отношением?). Как мы сейчас увидим к понятию полурешетки возможен и другой подход, а именно, полурешетку можно определить как некоторую алгебру.

Для этого введем некоторые дополнительные алгебраические понятия. Как известно, полугруппой называется непустое множество с заданной на нем ассоциативной бинарной алгебраической операцией.

Произвольную полугруппу обычно обозначают S (semigroup).

Определение. Элемент eS называется идемпотентом, если

e= e, то есть e · e = e.

Пример 11.

Полугруппа < N; · > ? обладает единственным идемпотентом 1.

Полугруппа < Z; + > ? обладает единственным идемпотентом 0.

Полугруппа < N; + > ? не имеет идемпотента, т.к. 0N.

Для любого непустого множества X, как обычно, через обозначается множество всех подмножеств множества X - булеан множества X. Полугруппа <В;> - такова, что каждый ее элемент идемпотентен.

Полугруппа называется идемпотентной полугруппой или связкой, если каждый ее элемент является идемпотентным. Таким образом, примерами связки является всякий булеан относительно объединения.

Пример 12.

Пусть X - произвольное множество.

B- множество всех подмножеств множества Х.

B- называется булеаном на множестве Х.

Если Х = {1,2,3} , то

B = {O,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}.

Так как пересечение двух подмножеств множества Х вновь является подмножеством в Х, то имеем группоид < В;> , более того, это полугруппа и даже связка, так как

А В и А= АА =А.

Точно также, имеем связку <; В > .

Коммутативная связка называется полурешеткой.

Пример 13.

Пусть Х = {1,2,3}, построим диаграмму < В; >.

Приведем примеры ЧУМ, но не полурешетки.

Пример 14.

ЧУМ с двумя нижними гранями е и d , которые между собой не сравнимы: е||d. Следовательно, inf{a;с} не существует.

Пример 15.

ЧУМ с двумя нижними гранями с и d, которые между собой несравнимы: с||d. Следовательно, inf{a;в} не существует.

Приведем примеры полурешеток.

Пример 16.

Диаграмма:

inf{a;в}=в, inf{a;с}=с, inf{a;d}=d,

inf{в;c}=d, inf{в;d}=d,

Пример 17.

Является полурешеткой, т.к. для любых двух элементов существует точная нижняя грань, т.е.

inf{a;в}=в, inf{a;с}=с, inf{в;c}=с.

Теорема 1.

Пусть - полурешетка. Тогда коммутативная связка, где

aв = inf {a,в} (*).

Доказательство:

Нужно доказать, что в выполняются следующие тождества:

• (1) x y = y x
• (2) (x y) z = x (y z)

1) Согласно равенству(*)

x y = inf (x,y) = inf (y,x) = y x

2) Обозначим а = (x y) z, в = x (y z)

Докажем, что а = в.

Для этого достаточно доказать, что

в? а (5) (в силу антисимметричности)

Обозначим

с = x y , d = y z

По смыслу, а точная нижняя грань между с и z

а? с, а? z , c ? x,

следовательно, в силу транзитивности a ? x.

Аналогично, а? y, т.е. а - общая нижняя грань для y и z. А d - их точная нижняя грань.

Следовательно, a ? d, но в = inf {x,d}.

Из неравенства a ? x , a ? d следует, что а - некоторая общая нижняя грань для х и d, а в - их точная нижняя грань, следовательно,

а? в (4) доказано.

Аналогично доказывается (5).

Из (4) и (5) , в виду антисимметричности, заключаем, что а = в.

Этим мы доказали ассоциативность операции ().

3) Имеем x х = inf {x,x} = x.

Равенство выполняется за счет рефлексивности: х? х.

Т.о. построенная алгебра будет коммутативной идемпотентной полугруппой, т.е. коммутативной связкой.

Теорема 2.

Пусть - коммутативная идемпотентная полугруппа, тогда бинарное отношение? на S, определяемое равенство

? = {(a,в) S?S | a·в = а},

является частичным порядком. При этом ЧУМ является полурешеткой.

Доказательство:

1) рефлексивность?.

По условию удовлетворяет трем тождествам:

• (1) х= х
• (2) х·y = y·x
• (3) (x·y)·z = x·(y·z)

Тогда х·х = х= х - в силу (1). Поэтому х? х.

2) антисимметричность? .

Пусть х? у и у? х, тогда по определению,

• (4) х·у = х
• (5) у·х = у

отсюда, благодаря коммутативности, имеем х = у.

3) транзитивность?.

Пусть х? у и у? z тогда, по определению,

• (6) х·у = х
• (7) у·z = у

Имеем x·z = (x·y)·z x·(y·z) х·у х

Итак, x·z = x, то есть х? z.

Таким образом, имеем ЧУМ . Остается показать, что для любых (а, в)S существует inf{а,в}.

Берем произвольные а,в S и докажем, что элемент с = а·в является inf{а,в}, т.е с = inf{а,в}.

В самом деле,

с·а = (а·в)·а а·(а·в) (а·а)·в а·в = с,

Аналогично, с·в = (а·в)·в а·(в·в) а·в = с,

Итак, с - общая нижняя грань {а,в}.

Докажем ее точность.

Пусть d - некоторая общая нижняя грань для а и в:

• (8) d ? a
• (9) d ? в

• (10) d·a = d
• (11) d·в = d

d·c = d·(а·в) (d·а)·в d·в d,

d·c = d, следовательно, d ? c.

Вывод: с = inf{a,в}.

Доказанные теоремы 1 и 2 позволяют смотреть на полурешетки с двух точек зрения: как на ЧУМ, и как на алгебре (идемпотентные коммутативные полугруппы).

Части́чно упоря́доченное мно́жество - математическое понятие, которое формализует интуитивные идеи упорядочения, расположения элементов в определённой последовательности. Неформально, множество частично упорядочено, если указано, какие элементы следуют за какими (какие элементы больше каких). В общем случае может оказаться так, что некоторые пары элементов не связаны отношением «следует за ».

В качестве абстрактного примера можно привести совокупность подмножеств множества из трёх элементов texvc \{ x, y, z\} (булеан данного множества), упорядоченную по отношению включения.

Определение и примеры

Порядком , или частичным порядком , на множестве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc называется бинарное отношение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M (определяемое некоторым множеством Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_{\varphi} \subset M \times M ), удовлетворяющее следующим условиям :

• Рефлексивность : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \forall a \; (a \varphi a)
• Транзитивность : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \forall a, b, c \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Rightarrow a \varphi c
• Антисимметричность : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \forall a, b \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi a) \Rightarrow a = b

Множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M , на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным . Если быть совсем точным , то частично упорядоченным множеством называется пара Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \langle M, \varphi \rangle , где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M - множество, а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \varphi - отношение частичного порядка на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M .

Терминология и обозначения

Отношение частичного порядка обычно обозначают символом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , по аналогии с отношением «меньше либо равно» на множестве действительных чисел . При этом, если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc \leqslant b , то говорят, что элемент Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не превосходит Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , или что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc подчинён Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc .

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a \neq b , то пишут Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a < b , и говорят, что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a меньше Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b , или что Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a строго подчинен Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b .

Иногда, чтобы отличить произвольный порядок на некотором множестве от известного отношения «меньше либо равно» на множестве действительных чисел, вместо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \leqslant и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): < используют специальные символы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \preccurlyeq и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \prec соответственно.

Строгий и нестрогий порядок

Отношение, удовлетворяющее условиям рефлексивности, транзитивности и антисимметричности, также называют нестрогим , или рефлексивным порядком . Если условие рефлексивности заменить на условие антирефлексивности (тогда свойство антисимметричности заменится на асимметричность):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \forall a \; \neg (a \varphi a)

то получим определение строгого , или антирефлексивного порядка .

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \leqslant - нестрогий порядок на множестве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M , то отношение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): < , определяемое как:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a < b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a \leqslant b) \wedge (a \neq b)

является строгим порядком на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M . Обратно, если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): < - строгий порядок, то отношение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \leqslant , определенное как

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a \leqslant b \; \overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \; (a < b) \vee (a = b)

является нестрогим порядком.

Поэтому всё равно - задать на множестве нестрогий порядок, или строгий порядок. В результате получится одна и та же структура. Разница только в терминологии и обозначениях.

Примеры

• Множество вещественных чисел Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{R} частично упорядочено по отношению «меньше либо равно» - Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \leqslant .

• Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M - множество всех вещественнозначных функций , определенных на отрезке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): , то есть функций вида

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f \colon \to \mathbb{R}

Введём отношение порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \leqslant на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M следующим образом: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f \leqslant g , если для всех Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x \in выполнено неравенство Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f(x) \leqslant g(x) . Очевидно, введенное отношение в самом деле является отношением частичного порядка.

• Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M - некоторое множество. Множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc всех подмножеств Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M (так называемый булеан), частично упорядочено по включению Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M \subseteq N .

• Множество всех натуральных чисел Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc частично упорядочено по отношению делимости Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m \mid n .

Связанные определения

Несравнимые элементы

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b - действительные числа, то имеет место только одно из следующих соотношений:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a < b, \qquad a=b, \qquad b

В случае, если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b - элементы произвольного частично упорядоченного множества, то существует четвёртая логическая возможность: не выполнено ни одно из указанных трех соотношений. В этом случае элементы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b называются несравнимыми . Например, если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M - множество действительнозначных функций на отрезке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): , то элементы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f(x) = x и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g(x) = 1-x будут несравнимы. Возможность существования несравнимых элементов объясняет смысл термина «частично упорядоченное множество» .

Минимальный/максимальный и наименьший/наибольший элементы

Из-за того, что в частично упорядоченном множестве могут быть пары несравнимых элементов, вводятся два различных определения: минимального элемента и наименьшего элемента .

Элемент Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a \in M называется минимальным , если не существует элемента Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b < a . Другими словами, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a - минимальный элемент, если для любого элемента Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc либо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b>a , либо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b=a , либо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a несравнимы. Элемент Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a называется наименьшим , если для любого элемента Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b \in M имеет место неравенство Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b \geqslant a . Очевидно, всякий наименьший элемент является также минимальным, но обратное в общем случае неверно: минимальный элемент Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a может и не быть наименьшим, если существуют элементы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b , не сравнимые с Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a .

Очевидно, что если в множестве существует наименьший элемент, то он единственен. А вот минимальных элементов может быть несколько. В качестве примера рассмотрим множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{N}\setminus \{ 1 \} = \{ 2, 3, \ldots \} натуральных чисел без единицы, упорядоченное по отношению делимости Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mid . Здесь минимальными элементами будут простые числа , а вот наименьшего элемента не существует.

Аналогично вводятся понятия максимального и наибольшего элементов.

Верхние и нижние грани

Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A - подмножество частично упорядоченного множества Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc . Элемент Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): u \in M называется верхней гранью Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A , если любой элемент Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a \in A не превосходит Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): u . Аналогично вводится понятие нижней грани множества Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A .

Любой элемент, больший, чем некоторая верхняя грань Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A , также будет верхней гранью Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A . А любой элемент, меньший, чем некоторая нижняя грань Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A , также будет нижней гранью Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): A . Эти соображения ведут к введению понятий наименьшей верхней грани и наибольшей нижней грани .

Верхнее и нижнее множество

Специальные типы частично упорядоченных множеств

Линейно упорядоченные множества

Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \langle M, \leqslant\rangle - частично упорядоченное множество. Если в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M любые два элемента сравнимы, то множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M называется линейно упорядоченным . Линейно упорядоченное множество также называют совершенно упорядоченным , или просто, упорядоченным множеством . Таким образом, в линейно упорядоченном множестве для любых двух элементов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b имеет место одно и только одно из соотношений: либо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a , либо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a=b , либо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b .

Также всякое линейно упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества называют цепью , то есть цепь в частично упорядоченном множестве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \langle M, \leqslant \rangle - такое его подмножество, в котором любые два элемента сравнимы.

Из приведенных выше примеров частично упорядоченных множеств только множество действительных чисел является линейно упорядоченным. Множество действительнозначных функций на отрезке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (при условии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a), булеан Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathcal{P}(M) (при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): |M|\geqslant 2 ), натуральные числа с отношением делимости - не являются линейно упорядоченными.

В линейно упорядоченном множестве понятия наименьшего и минимального, а также наибольшего и максимального, совпадают.

Вполне упорядоченные множества

Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным , если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент . Такой порядок на множестве называется полным порядком , в контексте, где его невозможно спутать с полным порядком в смысле .

Классический пример вполне упорядоченного множества - множество натуральных чисел Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{N} . Утверждение о том, что любое непустое подмножество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{N} содержит наименьший элемент, равносильно принципу математической индукции . В качестве примера линейно упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества можно привести множество неотрицательных чисел, упорядоченное естественным образом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{R}_{+} = \{ x: x \geqslant 0\} . Действительно, его подмножество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \{x: x > 1\} не имеет наименьшего элемента.

Вполне упорядоченные множества играют исключительно важную роль в общей теории множеств .

Полное частично упорядоченное множество - частично упорядоченное множество, у которого есть дно - единственный элемент, который предшествует любому другому элементу и у каждого направленного подмножества которого есть точная верхняя граница . Полные частично упорядоченные множества применяются в λ-исчислении и информатике , в частности, на них вводится топология Скотта , на основе которой строится непротиворечивая модель λ-исчисления и денотационная семантика . Специальным случаем полного частично упорядоченного множества является полная решётка - если любое подмножество, не обязательно направленное, имеет точную верхнюю грань, то оно оказывается полной решёткой.

Упорядоченное множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M тогда и только тогда является полным частично упорядоченным, когда каждая функция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f \colon M\rightarrow M , монотонная относительно порядка (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b) ) обладает хотя бы одной неподвижной точкой : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \exists _{x \in M} f(x)=x .

Любое множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M можно превратить в полное частично упорядоченное выделением дна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bot и определением порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \leqslant как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bot \leqslant m и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m \leqslant m для всех элементов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m множества Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M .

Теоремы о частично упорядоченных множествах

К числу фундаментальных теорем о частично упорядоченных множествах относятся принцип максимума Хаусдорфа и лемма Куратовского - Цорна . Каждая из этих теорем эквивалентна аксиоме выбора .

В теории категорий

Каждое частично упорядоченное множество (и каждый предпорядок) можно рассматривать как категорию , в которой каждое множество морфизмов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Hom}(A,B) состоит не более чем из одного элемента. Например, эту категорию можно определить так: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Hom}(A,B)=\{(A,B)\} , если A ≤ B (и пустое множество в противном случае); правило композиции морфизмов: (y , z )∘(x , y ) = (x , z ). Каждая категория-предпорядок эквивалентна частично упорядоченному множеству.

Напишите отзыв о статье "Частично упорядоченное множество"

Примечания

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М .: Наука , 1977. - 368 с.
• Барендрегт, Хенк. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика = The Lambda Calculus. Its syntax and semantics. - М .: Мир , 1985. - 606 с. - 4800 экз.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - 7-е изд. - М .: Физматлит , 2004. - 572 с. - ISBN 5-9221-0266-4.
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. - 4-е изд. - М .: УРСС , 2007. - 304 с. - ISBN 978-5-382-00127-2.
• Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. - 2-е изд. - М .: Либроком , 2013. - 352 с. - ISBN 978-5-397-03899-7.

См. также

Отрывок, характеризующий Частично упорядоченное множество

Однажды, Светодар гулял по окрестностям с маленьким Белояром (мирское имя которого было – Франк) недалеко от пещеры, в которой погибла почти что вся его семья. Погода была чудесной – день стоял солнечный и тёплый – и ноги сами понесли Светодара проведать печальную пещеру... Маленький Белояр, как всегда, нарвал близ растущих полевых цветов, и дедушка с праправнуком пришли поклониться месту умерших.
Наверное, кто-то когда-то наложил проклятие на эту пещеру для его семьи, иначе невозможно было понять, как же они, такие необычайно одарённые, вдруг почему-то полностью теряли свою чувствительность, именно попадая только в эту пещеру, и как слепые котята, направлялись прямиком в кем-то расставленный капкан.
Весело щебетавший свою любимую песенку Белояр вдруг замолк, как это всегда случалось, стоило ему войти в знакомую пещеру. Мальчик не понимал, что заставляло его вести себя именно так, но как только они входили внутрь – всё его весёлое настроение куда-то испарялось, и оставалась в сердечке только печаль...
– Скажи мне, дедушка, а почему здесь всегда убивали? Это место очень печальное, я это «слышу»... Давай уйдём отсюда дедушка! Мне оно очень не нравится... Здесь всегда пахнет бедой.
Малыш боязливо передёрнул плечиками, будто и, правда, почувствовав какую-то беду. Светодар печально улыбнулся и крепко обняв мальчика, хотел уже выйти наружу, как у входа в пещеру неожиданно появились четверо незнакомых ему человек.
– Вас не приглашали сюда, незваные. Это семейная печальня, и сюда запрещён вход посторонним. Уходите с миром, – тихо произнёс Светодар. Он тут же горько пожалел, что взял с собой Белояра. Малыш испуганно жался к деду, видимо чувствуя нехорошее.
– Что ж, как раз это и есть подходящее место!.. – нагло захохотал один из незнакомцев. – Не придётся ничего искать...
Они начали окружать безоружную пару, явно стараясь пока не приближаться.
– Ну, прислужник Дьявола, покажи нам свою силёнку! – храбрились «святые войны». – Что, не помогает твой рогатый господин?
Незнакомцы нарочито себя злили, стараясь не поддаваться страху, так как про невероятную силу Огненного Учителя видимо были наслышаны достаточно.
Левой рукой Светодар легко задвинул малыша за спину, а правую протянул к пришедшим, как бы загораживая вход в пещеру.
– Я предупредил вас, остальное ваше дело... – сурово произнёс он. – Уходите и с вами ничего плохого не случится.
Четверо вызывающе загоготали. Один из них, самый высокий, вытащив узкий нож, нагло им размахивая пошёл на Светодара... И тут Белояр, испуганно пискнув, вывернулся из державших его дедушкиных рук, и пулей метнувшись к человеку с ножом, начал больно колотить по его коленям подхваченным на бегу увесистым камушком. Незнакомец взревел от боли и, как муху, отшвырнул мальчика от себя подальше. Но беда-то была в том, что «пришедшие» всё ещё стояли у самого входа в пещеру... И незнакомец швырнул Белояра именно в сторону входа... Тонко закричав, мальчик перевернулся через голову, и лёгким мячиком полетел в пропасть... Это заняло всего несколько коротких секунд, и Светодар не успел... Ослепший от боли, он протянул руку к ударившему Белояра человеку – тот, не издав ни звука, пролетел в воздухе пару шагов и грохнувшись головой об стенку, грузным мешком съехал на каменный пол. Его «напарники», видя столь печальный конец своего вожака, кучей попятились во внутрь пещеры. И тут, Светодар сделал одну-единственную ошибку... Желая увидеть жив ли Белояр, он слишком близко пододвинулся к обрыву и лишь на мгновение отвернулся от убийц. Тут же один из них, молнией подскочив сзади, нанёс ему в спину резкий удар ногой... Тело Светодара улетело в бездну следом за маленьким Белояром... Всё было кончено. Не на что было больше смотреть. Подлые «человечки» толкая друг друга, быстренько убрались из пещеры...
Какое-то время спустя, над обрывом у входа появилась белокурая маленькая головка. Ребёнок осторожно вылез на краешек уступа, и увидев, что внутри никого нет, горестно зарыдал... Видимо, весь дикий страх и обида, а может быть и ушибы, вылились водопадом слёз, смывая пережитое... Он плакал горько и долго, сам себе приговаривая, злясь и жалея, будто дедушка мог услышать... будто мог вернуться, чтобы его спасти...
– Я же говорил – эта пещера злая!.. Я говорил... говорил тебе! – судорожно всхлипывая, причитал малыш – Ну почему ты меня не послушал! И что мне теперь делать?.. Куда мне теперь идти?..
Слёзы лились по грязным щёчкам жгучим потоком, разрывая маленькое сердечко... Белояр не знал, жив ли ещё его любимый дедушка... Не знал, вернутся ли обратно злые люди? Ему просто было до дикости страшно. И не было никого, чтобы его успокоить... никого, чтобы защитить...
А Светодар неподвижно лежал на самом дне глубокой щели. Его широко распахнутые, чистые голубые глаза, ничего не видя, смотрели в небо. Он ушёл далеко-далеко, где ждала его Магдалина... и любимый отец с добрым Раданом... и сестрёнка Веста... и его нежная, ласковая Маргарита с дочкой Марией... и незнакомая внучка Тара... И все-все те, кто давно погиб, защищая свой родной и любимый мир от нелюди, называвшей себя человеками...
А здесь, на земле, в одинокой пустой пещере, на кругленьком камушке, сгорбившись, сидел человек... Он выглядел совсем ещё маленьким. И очень напуганным. Горько, надрывно плача, он яростно растирал кулачками злые слёзы и клялся в своей детской душе, что вот придёт такой день, когда он вырастет, и тогда уж он обязательно поправит «неправильный» мир взрослых... Сделает его радостным и хорошим! Этим человечком был Белояр... великий потомок Радомира и Магдалины. Маленький, потерянный в мире больших людей, плачущий Человек…

Всё услышанное из уст Севера затопило в очередной раз моё сердце печалью… Я снова и снова спрашивала себя – неужели все эти невосполнимые потери закономерны?.. Неужто не существует пути, чтобы избавить мир от нечисти и злобы?!. Вся эта страшная машина глобального убиения заставляла стыть в жилах кровь, не оставляя надежды на спасение. Но в то же время, мощный поток живительной силы втекал откуда-то в мою израненную душу, открывая в ней каждую клеточку, каждый вздох на борьбу с предателями, трусами и подлецами!.. С теми, кто убивал чистых и смелых, не стесняясь, любыми средствами, только бы уничтожить каждого, кто мог оказаться для них опасным…
– Расскажи мне ещё, Север! Расскажи мне, пожалуйста, про Катар… Сколько прожили они без своей Путеводной Звезды, без Магдалины?
Но Север вдруг почему-то заволновался и напряжённо ответил:
– Прости меня, Изидора, но, думаю, я расскажу тебе всё это позже… Я не могу здесь оставаться более. Прошу тебя, держись мой друг. Что бы ни случилось – постарайся быть сильной…
И, мягко растаяв, ушёл «дуновением»...
А на пороге уже снова стоял Караффа.
– Ну что ж, Изидора, надумали ли что-то порассудительнее? – не поздоровавшись, начал Караффа. – Я очень надеюсь, что эта неделя образумит Вас и мне не придётся прибегать к самым крайним мерам. Я ведь говорил Вам совершенно искренне – мне не хочется причинять вред Вашей прекрасной дочери, скорее наоборот. Я был бы рад, если бы Анна и дальше училась и познавала новое. Она пока ещё слишком вспыльчива в своих поступках и категорична в своих суждениях, но в ней живёт огромный потенциал. Можно только представить, на что она была бы способна, если позволить ему правильно раскрыться!.. Как Вы на это смотрите, Изидора? Ведь для этого мне нужно всего лишь Ваше согласие. И тогда снова у Вас будет всё хорошо.
– Не считая смерти моего мужа и отца, не так ли, Ваше святейшество? – горько спросила я.
– Ну, это было непредвиденным осложнением (!..). И ведь у Вас ещё остаётся Анна, не забывайте этого!
– А почему у меня должен вообще кто-то «оставаться», Ваше святейшество?.. У меня ведь была чудесная семья, которую я очень любила, и которая являлась для меня всем на свете! Но Вы её уничтожили… всего лишь из-за «непредвиденного осложнения», как Вы только что выразились!.. Неужели живые люди и впрямь не имеют для Вас никакого значения?!
Караффа расслабленно опустился в кресло и совершенно спокойно произнёс:
– Люди интересуют меня лишь настолько, сколь послушны они нашей святейшей церкви. Или сколь неординарны и необычны их умы. Но таковые попадаются, к сожалению, очень редко. Обычная же толпа не интересует меня вообще! Это сборище мало мыслящего мяса, которое не годится более ни на что, кроме как на выполнение чужой воли и чужих приказов, ибо их мозг не в состоянии постичь даже самую примитивную истину.
Даже зная Караффу, я чувствовала, как у меня от волнения закружилась голова... Как же возможно было жить, думая такое?!.
– Ну, а одарённые?.. Вы ведь боитесь их, Ваше святейшество, не так ли? Иначе Вы бы так зверски не убивали их. Скажите, если Вы всё равно в конце сжигаете их, то зачем же так бесчеловечно их мучить ещё до того, как взойдут на костёр? Неужели для Вас недостаточно того зверства, которое Вы творите, сжигая живьём этих несчастных?..
– Они должны покаяться и признаться, Изидора! Иначе их душа не очистится, несмотря на то, что я предам их пламени святого костра. Они обязаны избавиться от зарождения в них дьявола – должны избавиться от своего грязного Дара! Иначе их душа, придя на Землю из тьмы, снова окунётся в такую же тьму... И я не смогу выполнить свой долг – присоединить их падшие души к Господу Богу. Понимаете ли Вы это, Изидора?!
Нет, я не понимала... так как это был самый настоящий бред крайне сумасшедшего человека!.. Непостижимый мозг Караффы был для меня загадкой за семью самыми тяжёлыми замками... И постичь эту загадку, по-моему, не мог никто. Иногда святейший Папа казался мне умнейшим и образованнейшим человеком, знающим намного больше, чем любой ординарный начитанный и образованный человек. Как я уже говорила раньше, он был чудесным собеседником, блиставшим своим цепким и острым умом, который полностью подчинял себе окружавших. Но иногда... то, что он «изрекал» не было похоже на что-нибудь нормальное или понятное. Где же находился в такие минуты его редкий ум?..
– Помилуйте, Ваше святейшество, Вы ведь говорите сейчас со мной! Зачем же притворяться?!. О каком «господе» здесь идёт речь? И к какому «господу» Вы желали бы присоединить души этих несчастных «грешников»? Да и вообще, не скажете ли, какому господу Вы сами верите? Если, конечно же, верите вообще...
Вопреки моему ожиданию – он не взорвался в гневе... А всего лишь улыбнулся и учительским тоном произнёс:
– Видите ли, Изидора, человеку не нужен Бог, чтобы во что-то верить, – видя моё ошарашенное лицо, Караффа весело рассмеялся. – Не правда ли, забавно слышать это именно от меня, Изидора?.. Но правда – она правда и есть, хотя я понимаю, что из уст Римского Папы это должно звучать более чем странно. Но повторяю – человеку истинно не нужен Бог… Ему для этого хватает и другого человека. Возьмите хотя бы Христа... Он ведь был просто очень одарённым, но всё же ЧЕЛОВЕКОМ! А достало ему всего лишь пройтись по воде, оживить полумёртвого, показать ещё несколько таких же «фокусов», ну, а нам – правильно объявить, что он является сыном Бога (а значит – почти что Богом), и всё пошло точно так, как было всегда – толпа, после его смерти, с радостью понеслась за своим искупителем... даже хорошенько не понимая, что же такое он по-настоящему для них искупил...

Радомир (Иисус Христос), умевший ходить по воде...

Как я уже говорил Вам ранее, людей надо уметь направлять и правильно ими управлять, Изидора. Только тогда возможно полностью держать над ними контроль.
– Но Вы никогда не сможете контролировать целые народы!.. Для этого нужны армии, святейшество! И даже, допустив, что Вы эти народы как-то подчинили бы, я уверена, снова нашлись бы смелые люди, которые повели бы остальных отвоёвывать свою свободу.
– Вы совершенно правы, мадонна, – кивнул Караффа. – Народы не подчиняются добровольно – их надо подчинять! Но я не воин, и я не люблю воевать. Это создаёт большие и ненужные неудобства… Поэтому, чтобы подчинять мирно, я использую очень простой и надёжный способ – я уничтожаю их прошлое... Ибо без прошлого человек уязвим... Он теряет свои родовые корни, если у него нет прошлого. И именно тогда, растерянный и незащищённый, он становится «чистым полотном», на котором я могу писать любую историю!.. И поверите ли, дорогая Изидора, люди этому только радуются...так как, повторяю, они не могут жить без прошлого (даже если сами себе не желают в этом признаваться). И когда такового не имеется, они принимают любое, только бы не «висеть» в неизвестности, которая для них намного страшнее, чем любая чужая, выдуманная «история».
– И неужели Вы думаете, что никто не видит, что по-настоящему происходит?.. Ведь на Земле так много умных, одарённых людей! – возмущённо воскликнула я.
– Ну почему не видят? Избранные – видят, и даже пытаются показать остальным. Но их мы время от времени «подчищаем»... И всё снова становится на свои места.
– Так же, как Вы «подчищали» когда-то семью Христа с Магдалиной? Или сегодня – одарённых?.. Что же это за «бог», которому Вы молитесь, Ваше Святейшество? Что за изверг, которому надобны все эти жертвы?!
– Если уж мы говорим откровенно, я не молюсь богам, Изидора... Я живу РАЗУМОМ. Ну, а Бог нужен всего лишь безпомощным и нищим духом. Тем, кто привык просить – о помощи... о выгоде... да обо всём на свете! Только бы не бороться самому!.. Это – людишки, Изидора! И они стоят того, чтобы ими управляли! А остальное уже дело времени. Вот поэтому я и прошу Вас помочь мне дожить до того дня, когда я обрету полную власть в этом ничтожном мире!.. Тогда Вы увидите, что я не шутил, и что Земля будет полностью мне подчиняться! Я сделаю из неё свою империю... О, мне нужно только время!.. И Вы его мне дадите, Изидора. Вы просто пока об этом не знаете.