Линейный регрессионный анализ в excel. Коэффициент детерминации в Excel (Эксель)

Линия регрессии является графическим отражением взаимосвязи между явлениями. Очень наглядно можно построить линию регрессии в программе Excel.

Для этого необходимо:

1.Открыть программу Excel

2.Создать столбцы с данными. В нашем примере мы будем строить линию регрессии, или взаимосвязи, между агрессивностью и неуверенностью в себе у детей-первоклассников. В эксперименте участвовали 30 детей, данные представлены в таблице эксель:

1 столбик — № испытуемого

2 столбик — агрессивность в баллах

3 столбик — неуверенность в себе в баллах

3.Затем необходимо выделить оба столбика (без названия столбика), нажать вкладку вставка , выбрать точечная , а из предложенных макетов выбрать самый первый точечная с маркерами .

4.Итак у нас получилась заготовка для линии регрессии — так называемая — диаграмма рассеяния . Для перехода к линии регрессии нужно щёлкнуть на получившийся рисунок, нажать вкладку конструктор, найти на панели макеты диаграмм и выбрать Ма кет9 , на нем ещё написано f(x)

5.Итак, у нас получилась линия регрессии. На графике также указано её уравнение и квадрат коэффициента корреляции

6.Осталось добавить название графика, название осей. Также по желанию можно убрать легенду, уменьшить количество горизонтальных линий сетки (вкладка макет , затем сетка ). Основные изменения и настройки производятся во вкладке Макет

Линия регрессии построена в MS Excel. Теперь её можно добавить в текст работы.

Изменение результативного признака y обусловлено вариацией факторного признака x . Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации R 2 . Для линейной зависимости коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:

R 2 = r xy 2 , где r xy - коэффициент корреляции.

Например, значение R 2 = 0.83, означает, что в 83% случаев изменения х приводят к изменению y . Другими словами, точность подбора уравнения регрессии - высокая.

Рассчитывается для оценки качества подбора уравнения регрессии. Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть больше 50%. Модели с коэффициентом детерминации выше 80% можно признать достаточно хорошими. Значение коэффициента детерминации R 2 = 1 означает функциональную зависимость между переменными.

В случае нелинейной регрессии коэффициент детерминации рассчитывается через этот калькулятор . При множественной регрессии, коэффициент детемрминации можно найти через сервис Множественная регрессия
В общем случае, коэффициент детерминации находится по формуле: или
Правило сложения дисперсий:
,
где - общая сумма квадратов отклонений;
- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);
- остаточная сумма квадратов отклонений.

С помощью данного онлайн-калькулятора рассчитывается коэффициент детерминации и проверяется его значимость (Пример решения).

Инструкция . Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также автоматически создается шаблон для проверки решения в Excel .

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

· линейной (у = а + bx);

· параболической (y = a + bx + cx 2);

· экспоненциальной (y = a * exp(bx));

· степенной (y = a*x^b);

· гиперболической (y = b/x + a);

· логарифмической (y = b * 1n(x) + a);

· показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

1. Нажимаем кнопку «Офис» и переходим на вкладку «Параметры Excel». «Надстройки».

2. Внизу, под выпадающим списком, в поле «Управление» будет надпись «Надстройки Excel» (если ее нет, нажмите на флажок справа и выберите). И кнопка «Перейти». Жмем.

3. Открывается список доступных надстроек. Выбираем «Пакет анализа» и нажимаем ОК.

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

1. Открываем меню инструмента «Анализ данных». Выбираем «Регрессия».

2. Откроется меню для выбора входных значений и параметров вывода (где отобразить результат). В полях для исходных данных указываем диапазон описываемого параметра (У) и влияющего на него фактора (Х). Остальное можно и не заполнять.

3. После нажатия ОК, программа отобразит расчеты на новом листе (можно выбрать интервал для отображения на текущем листе или назначить вывод в новую книгу).

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.

Пакет MS Excel позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты.

Для работы необходима надстройка Пакет анализа , которую необходимо включить в пункте меню Сервис\Надстройки

В Excel 2007 для включения пакета анализа надо нажать перейти в блок Параметры Excel , нажав кнопку в левом верхнем углу, а затем кнопку «Параметры Excel » внизу окна:

Для построения модели регрессии необходимо выбрать пункт Сервис\Анализ данных\Регрессия . (В Excel 2007 этот режим находится в блоке Данные/Анализ данных/ Регрессия ). Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить:

1) Входной интервал Y ¾ содержит ссылку на ячейки, которые содержат значения результативного признака y . Значения должны быть расположены в столбце;

2) Входной интервал X ¾ содержит ссылку на ячейки, которые содержат значения факторов . Значения должны быть расположены в столбцах;

3) Признак Метки ставится, если первые ячейки содержат пояснительный текст (подписи данных);

4) Уровень надежности ¾ это доверительная вероятность, которая по умолчанию считается равной 95%. Если это значение не устраивает, то нужно включить этот признак и ввести требуемое значение;

5) Признак Константа-ноль включается, если необходимо построить уравнение, в котором свободная переменная ;

6) Параметры вывода определяют, куда должны быть помещены результаты. По умолчанию строит режим Новый рабочий лист ;

7) Блок Остатки позволяет включать вывод остатков и построение их графиков.

В результате выводится информация, содержащая все необходимые сведения и сгруппированная в три блока: Регрессионная статистика , Дисперсионный анализ , Вывод остатка . Рассмотрим их подробнее.

1. Регрессионная статистика :

множественный R определяется формулой (коэффициент корреляции Пирсона );

R (коэффициент детерминации );

Нормированный R -квадрат вычисляется по формуле (используется для множественной регрессии);

Стандартная ошибка S вычисляется по формуле ;

Наблюдения ¾ это количество данных n .

2. Дисперсионный анализ , строка Регрессия :

Параметр df равен m (количество наборов факторов x );

Параметр SS определяется формулой ;

Параметр MS определяется формулой ;

Статистика F определяется формулой ;

Значимость F . Если полученное число превышает , то принимается гипотеза (нет линейной взаимосвязи), иначе принимается гипотеза (есть линейная взаимосвязь).

3. Дисперсионный анализ , строка Остаток :

Параметр df равен ;

Параметр SS определяется формулой ;

Параметр MS определяется формулой .

4. Дисперсионный анализ , строка Итого содержит сумму первых двух столбцов.

5. Дисперсионный анализ , строка Y-пересечение содержит значение коэффициента , стандартной ошибки и t -статистики .

P -значение ¾ это значение уровней значимости, соответствующее вычисленным t -статистикам. Определяется функцией СТЬЮДРАСП(t -статистика; ). Если P -значение превышает , то соответствующая переменная статистически незначима и ее можно исключить из модели.

Нижние 95% и Верхние 95% ¾ это нижние и верхние границы 95-процентных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии. Если в блоке ввода данных значение доверительной вероятности было оставлено по умолчанию, то последние два столбца будут дублировать предыдущие. Если пользователь ввел свое значение доверительной вероятности, то последние два столбца содержат значения нижней и верхней границы для указанной доверительной вероятности.

6. Дисперсионный анализ , строки содержат значения коэффициентов, стандартных ошибок, t -статистик, P -значений и доверительных интервалов для соответствующих .

7. Блок Вывод остатка содержит значения предсказанного y (в наших обозначениях это ) и остатки .

Это наиболее распространенный способ показать зависимость какой-то переменной от других, например, как зависит уровень ВВП от величины иностранных инвестиций или от кредитной ставки Нацбанка или от цен на ключевые энергоресурсы .

Моделирование позволяет показать величину этой зависимости (коефициенты), благодаря которым можно делать непосредственно прогноз и осуществлять какое-то планирование, опираясь на эти прогнозы. Также, опираясь на регрессионный анализ, можно принимать управленческие решения направленные на стимулирование приоритетных причин влияющих на конечный результат, собственно модель и поможет выделить эти приоритетные факторы.

Общий вид модели линейной регрессии:

Y=a 0 +a 1 x 1 +...+a k x k

где a - параметры (коэффициенты) регрессии, x - влияющие факторы, k - количество факторов модели.

Исходные данные

Среди исходных данных нам необходим некий набор данных, который бы представлял из себя несколько последовательных или связанных между собой величин итогового параметра Y (например, ВВП) и такое же количество величин показателей, влияние которых мы изучаем (например, иностранные инвестиции).

На рисунке выше показана таблица с этими самыми исходными данными, в качестве Y выступает показатель экономически активного населения, а количество предприятий, размер инвестиций в капитал и доходов населения - это влияющие факторы, то бишь иксы.

По рисунку также можно сделать ошибочный вывод, что речь в моделировании может идти только о динамических рядах, то есть моментным рядам зафиксированных последовательно во времени, но это не так, с тем же успехом можно моделировать и в разрезе структуры, например, величины указанные в таблице могут быть разбиты не годам, а по областям.

Для построения адекватных линейных моделей желательно чтобы исходные данные не имели сильных перепадов или обвалов, в таких случаях желательно проводить сглаживание, но о сглаживании поговорим в следующий раз.

Пакет анализа

Параметры модели линейной регрессии можно рассчитать и вручную с помощью Метода наименьших квадратов (МНК), но это довольно затратно по времени. Немного быстрее это можно посчитать по этому же методу с помощью применения формул в Excel, где сами вычисления будет делать программа, но проставлять формулы все равно придется вручную.

В Excel есть надстройка Пакет анализа , который является довольно мощным инструментом в помощь аналитику. Этот инструментарий, помимо всего прочего, умеет рассчитывать параметры регрессии, по тому же МНК, всего в несколько кликов, собственно, о том как этим инструментом пользоваться дальше и пойдет речь.

Активируем Пакет анализа

По умолчанию эта надстройка отключена и в меню вкладок вы ее не найдете, поэтому пошагово рассмотрим как ее активировать.

В эксель, слева вверху, активируем вкладку Файл , в открывшемся меню ищем пункт Параметры и кликаем на него.

В открывшемся окне, слева, ищем пункт Надстройки и активируем его, в этой вкладке внизу будет выпадающий список управления, где по умолчанию будет написано Надстройки Excel , справа от выпадающего списка будет кнопка Перейти , на нее и нужно нажать.

Всплывающее окошко предложит выбрать доступные надстройки, в нем необходимо поставить галочку напротив Пакет анализа и заодно, на всякий случай, Поиск решения (тоже полезная штука), а затем подтвердить выбор кликнув по кнопочке ОК .

Инструкция по поиску параметров линейной регрессии с помощью Пакета анализа

После активации надстройки Пакета анализа она будет всегда доступна во вкладке главного меню Данные под ссылкой Анализ данных

В активном окошке инструмента Анализа данных из списка возможностей ищем и выбираем Регрессия

Далее откроется окошко для настройки и выбора исходных данных для вычисления параметров регрессионной модели. Здесь нужно указать интервалы исходных данных, а именно описываемого параметра (Y) и влияющих на него факторов (Х), как это на рисунке ниже, остальные параметры, в принципе, необязательны к настройке.

После того как выбрали исходные данные и нажали кнопочку ОК, Excel выдает расчеты на новом листе активной книги (если в настройках не было выставлено иначе), эти расчеты имеют следующий вид:

Ключевые ячейки залил желтым цветом именно на них нужно обращать внимание в первую очередь, остальные параметры значимость также немаловажны, но их детальный разбор требует пожалуй отдельного поста.

Итак, 0,865 - это R 2 - коэффициент детерминации, показывающий что на 86,5% расчетные параметры модели, то есть сама модель, объясняют зависимость и изменения изучаемого параметра - Y от исследуемых факторов - иксов . Если утрировано, то это показатель качества модели и чем он выше тем лучше. Понятное дело, что он не может быть больше 1 и считается неплохо, когда R 2 выше 0,8, а если меньше 0,5, то резонность такой модели можно смело ставить под большой вопрос.

Теперь перейдем к коэффициентам модели :
2079,85 - это a 0 - коэффициент который показывает какой будет Y в случае, если все используемые в модели факторы будут равны 0, подразумевается что это зависимость от других неописанных в модели факторов;
-0,0056 - a 1 - коэффициент, который показывает весомость влияния фактора x 1 на Y, то есть количество предприятий в пределах данной модели влияет на показатель экономически активного населения с весом всего -0,0056 (довольно маленькая степень влияния). Знак минус показывает что это влияние отрицательно, то есть чем больше предприятий, тем меньше экономически активного населения, как бы это ни было парадоксальным по смыслу;
-0,0026 - a 2 - коэффициент влияния объема инвестиций в капитал на величину экономически активного населения, согласно модели, это влияние также отрицательно;
0,0028 - a 3 - коэффициент влияния доходов населения на величину экономически активного населения, здесь влияние позитивное, то есть согласно модели увеличение доходов будет способствовать увеличению величины экономически активного населения.

Соберем рассчитанные коэффициенты в модель:

Y = 2079,85 - 0,0056x 1 - 0,0026x 2 + 0,0028x 3

Собственно, это и есть линейная регрессионная модель, которая для исходных данных, используемых в примере, выглядит именно так.

Расчетные значения модели и прогноз

Как мы уже обсуждали выше, модель строится не только чтобы показать величину зависимостей изучаемого параметра от влияющих факторов, но и чтобы зная эти влияющие факторы можно было делать прогноз. Сделать этот прогноз довольно просто, нужно просто подставить значения влияющих факторов в место соответствующих иксов в полученное уравнение модели. На рисунке ниже эти расчеты сделаны в экселе в отдельном столбце.

Фактические значения (те что имели место в реальности) и расчетные значения по модели на этом же рисунке отображены в виде графиков, чтобы показать разность, а значит погрешность модели.

Повторюсь еще раз, для того чтобы сделать прогноз по модели нужно чтобы были известные влияющие факторы, а если речь идет о временном ряде и соответственно прогнозе на будущее, например, на следующий год или месяц, то далеко не всегда можно узнать какие будут влияющие факторы в этом самом будущем. В таких случаях, нужно еще делать прогноз и для влияющих факторов, чаще всего это делают с помощью авторегрессионной модели - модели, в которой влияющими факторами являются сам исследуемый объект и время, то есть моделируется зависимость показателя от того каким он был в прошлом.

Как строить авторегрессионную модель рассмотрим в следующей статье, а сейчас предположим, что, то какие будут величины влияющих факторов в будущем периоде (в примере 2008 год) нам известно, подставляя эти значения в расчеты мы получим наш прогноз на 2008 год.