Частично упорядоченное множество. Частично упорядоченные множества

Вполне упорядоченные множества

Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным , если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент . Такой порядок на множестве называется полным порядком , в контексте, где его невозможно спутать с полным порядком в смысле .

Классический пример вполне упорядоченного множества - множество натуральных чисел Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{N} . Утверждение о том, что любое непустое подмножество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{N} содержит наименьший элемент, равносильно принципу математической индукции . В качестве примера линейно упорядоченного, но не вполне упорядоченного множества можно привести множество неотрицательных чисел, упорядоченное естественным образом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{R}_{+} = \{ x: x \geqslant 0\} . Действительно, его подмножество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \{x: x > 1\} не имеет наименьшего элемента.

Вполне упорядоченные множества играют исключительно важную роль в общей теории множеств .

Полное частично упорядоченное множество - частично упорядоченное множество, у которого есть дно - единственный элемент, который предшествует любому другому элементу и у каждого направленного подмножества которого есть точная верхняя граница . Полные частично упорядоченные множества применяются в λ-исчислении и информатике , в частности, на них вводится топология Скотта , на основе которой строится непротиворечивая модель λ-исчисления и денотационная семантика . Специальным случаем полного частично упорядоченного множества является полная решётка - если любое подмножество, не обязательно направленное, имеет точную верхнюю грань, то оно оказывается полной решёткой.

Упорядоченное множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M тогда и только тогда является полным частично упорядоченным, когда каждая функция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f \colon M\rightarrow M , монотонная относительно порядка (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b) ) обладает хотя бы одной неподвижной точкой : Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \exists _{x \in M} f(x)=x .

Любое множество Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M можно превратить в полное частично упорядоченное выделением дна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bot и определением порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \leqslant как Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bot \leqslant m и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m \leqslant m для всех элементов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m множества Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M .

Теоремы о частично упорядоченных множествах

К числу фундаментальных теорем о частично упорядоченных множествах относятся принцип максимума Хаусдорфа и лемма Куратовского - Цорна . Каждая из этих теорем эквивалентна аксиоме выбора .

В теории категорий

Каждое частично упорядоченное множество (и каждый предпорядок) можно рассматривать как категорию , в которой каждое множество морфизмов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Hom}(A,B) состоит не более чем из одного элемента. Например, эту категорию можно определить так: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Hom}(A,B)=\{(A,B)\} , если A ≤ B (и пустое множество в противном случае); правило композиции морфизмов: (y , z )∘(x , y ) = (x , z ). Каждая категория-предпорядок эквивалентна частично упорядоченному множеству.

Напишите отзыв о статье "Частично упорядоченное множество"

Примечания

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М .: Наука , 1977. - 368 с.
• Барендрегт, Хенк. Ламбда-исчисление. Его синтаксис и семантика = The Lambda Calculus. Its syntax and semantics. - М .: Мир , 1985. - 606 с. - 4800 экз.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - 7-е изд. - М .: Физматлит , 2004. - 572 с. - ISBN 5-9221-0266-4.
• Хаусдорф Ф. Теория множеств. - 4-е изд. - М .: УРСС , 2007. - 304 с. - ISBN 978-5-382-00127-2.
• Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры. - 2-е изд. - М .: Либроком , 2013. - 352 с. - ISBN 978-5-397-03899-7.

См. также

Отрывок, характеризующий Частично упорядоченное множество

Всё услышанное из уст Севера затопило в очередной раз моё сердце печалью… Я снова и снова спрашивала себя – неужели все эти невосполнимые потери закономерны?.. Неужто не существует пути, чтобы избавить мир от нечисти и злобы?!. Вся эта страшная машина глобального убиения заставляла стыть в жилах кровь, не оставляя надежды на спасение. Но в то же время, мощный поток живительной силы втекал откуда-то в мою израненную душу, открывая в ней каждую клеточку, каждый вздох на борьбу с предателями, трусами и подлецами!.. С теми, кто убивал чистых и смелых, не стесняясь, любыми средствами, только бы уничтожить каждого, кто мог оказаться для них опасным…
– Расскажи мне ещё, Север! Расскажи мне, пожалуйста, про Катар… Сколько прожили они без своей Путеводной Звезды, без Магдалины?
Но Север вдруг почему-то заволновался и напряжённо ответил:
– Прости меня, Изидора, но, думаю, я расскажу тебе всё это позже… Я не могу здесь оставаться более. Прошу тебя, держись мой друг. Что бы ни случилось – постарайся быть сильной…
И, мягко растаяв, ушёл «дуновением»...
А на пороге уже снова стоял Караффа.
– Ну что ж, Изидора, надумали ли что-то порассудительнее? – не поздоровавшись, начал Караффа. – Я очень надеюсь, что эта неделя образумит Вас и мне не придётся прибегать к самым крайним мерам. Я ведь говорил Вам совершенно искренне – мне не хочется причинять вред Вашей прекрасной дочери, скорее наоборот. Я был бы рад, если бы Анна и дальше училась и познавала новое. Она пока ещё слишком вспыльчива в своих поступках и категорична в своих суждениях, но в ней живёт огромный потенциал. Можно только представить, на что она была бы способна, если позволить ему правильно раскрыться!.. Как Вы на это смотрите, Изидора? Ведь для этого мне нужно всего лишь Ваше согласие. И тогда снова у Вас будет всё хорошо.
– Не считая смерти моего мужа и отца, не так ли, Ваше святейшество? – горько спросила я.
– Ну, это было непредвиденным осложнением (!..). И ведь у Вас ещё остаётся Анна, не забывайте этого!
– А почему у меня должен вообще кто-то «оставаться», Ваше святейшество?.. У меня ведь была чудесная семья, которую я очень любила, и которая являлась для меня всем на свете! Но Вы её уничтожили… всего лишь из-за «непредвиденного осложнения», как Вы только что выразились!.. Неужели живые люди и впрямь не имеют для Вас никакого значения?!
Караффа расслабленно опустился в кресло и совершенно спокойно произнёс:
– Люди интересуют меня лишь настолько, сколь послушны они нашей святейшей церкви. Или сколь неординарны и необычны их умы. Но таковые попадаются, к сожалению, очень редко. Обычная же толпа не интересует меня вообще! Это сборище мало мыслящего мяса, которое не годится более ни на что, кроме как на выполнение чужой воли и чужих приказов, ибо их мозг не в состоянии постичь даже самую примитивную истину.
Даже зная Караффу, я чувствовала, как у меня от волнения закружилась голова... Как же возможно было жить, думая такое?!.
– Ну, а одарённые?.. Вы ведь боитесь их, Ваше святейшество, не так ли? Иначе Вы бы так зверски не убивали их. Скажите, если Вы всё равно в конце сжигаете их, то зачем же так бесчеловечно их мучить ещё до того, как взойдут на костёр? Неужели для Вас недостаточно того зверства, которое Вы творите, сжигая живьём этих несчастных?..
– Они должны покаяться и признаться, Изидора! Иначе их душа не очистится, несмотря на то, что я предам их пламени святого костра. Они обязаны избавиться от зарождения в них дьявола – должны избавиться от своего грязного Дара! Иначе их душа, придя на Землю из тьмы, снова окунётся в такую же тьму... И я не смогу выполнить свой долг – присоединить их падшие души к Господу Богу. Понимаете ли Вы это, Изидора?!
Нет, я не понимала... так как это был самый настоящий бред крайне сумасшедшего человека!.. Непостижимый мозг Караффы был для меня загадкой за семью самыми тяжёлыми замками... И постичь эту загадку, по-моему, не мог никто. Иногда святейший Папа казался мне умнейшим и образованнейшим человеком, знающим намного больше, чем любой ординарный начитанный и образованный человек. Как я уже говорила раньше, он был чудесным собеседником, блиставшим своим цепким и острым умом, который полностью подчинял себе окружавших. Но иногда... то, что он «изрекал» не было похоже на что-нибудь нормальное или понятное. Где же находился в такие минуты его редкий ум?..
– Помилуйте, Ваше святейшество, Вы ведь говорите сейчас со мной! Зачем же притворяться?!. О каком «господе» здесь идёт речь? И к какому «господу» Вы желали бы присоединить души этих несчастных «грешников»? Да и вообще, не скажете ли, какому господу Вы сами верите? Если, конечно же, верите вообще...
Вопреки моему ожиданию – он не взорвался в гневе... А всего лишь улыбнулся и учительским тоном произнёс:
– Видите ли, Изидора, человеку не нужен Бог, чтобы во что-то верить, – видя моё ошарашенное лицо, Караффа весело рассмеялся. – Не правда ли, забавно слышать это именно от меня, Изидора?.. Но правда – она правда и есть, хотя я понимаю, что из уст Римского Папы это должно звучать более чем странно. Но повторяю – человеку истинно не нужен Бог… Ему для этого хватает и другого человека. Возьмите хотя бы Христа... Он ведь был просто очень одарённым, но всё же ЧЕЛОВЕКОМ! А достало ему всего лишь пройтись по воде, оживить полумёртвого, показать ещё несколько таких же «фокусов», ну, а нам – правильно объявить, что он является сыном Бога (а значит – почти что Богом), и всё пошло точно так, как было всегда – толпа, после его смерти, с радостью понеслась за своим искупителем... даже хорошенько не понимая, что же такое он по-настоящему для них искупил...

Радомир (Иисус Христос), умевший ходить по воде...

Как я уже говорил Вам ранее, людей надо уметь направлять и правильно ими управлять, Изидора. Только тогда возможно полностью держать над ними контроль.
– Но Вы никогда не сможете контролировать целые народы!.. Для этого нужны армии, святейшество! И даже, допустив, что Вы эти народы как-то подчинили бы, я уверена, снова нашлись бы смелые люди, которые повели бы остальных отвоёвывать свою свободу.
– Вы совершенно правы, мадонна, – кивнул Караффа. – Народы не подчиняются добровольно – их надо подчинять! Но я не воин, и я не люблю воевать. Это создаёт большие и ненужные неудобства… Поэтому, чтобы подчинять мирно, я использую очень простой и надёжный способ – я уничтожаю их прошлое... Ибо без прошлого человек уязвим... Он теряет свои родовые корни, если у него нет прошлого. И именно тогда, растерянный и незащищённый, он становится «чистым полотном», на котором я могу писать любую историю!.. И поверите ли, дорогая Изидора, люди этому только радуются...так как, повторяю, они не могут жить без прошлого (даже если сами себе не желают в этом признаваться). И когда такового не имеется, они принимают любое, только бы не «висеть» в неизвестности, которая для них намного страшнее, чем любая чужая, выдуманная «история».
– И неужели Вы думаете, что никто не видит, что по-настоящему происходит?.. Ведь на Земле так много умных, одарённых людей! – возмущённо воскликнула я.
– Ну почему не видят? Избранные – видят, и даже пытаются показать остальным. Но их мы время от времени «подчищаем»... И всё снова становится на свои места.
– Так же, как Вы «подчищали» когда-то семью Христа с Магдалиной? Или сегодня – одарённых?.. Что же это за «бог», которому Вы молитесь, Ваше Святейшество? Что за изверг, которому надобны все эти жертвы?!
– Если уж мы говорим откровенно, я не молюсь богам, Изидора... Я живу РАЗУМОМ. Ну, а Бог нужен всего лишь безпомощным и нищим духом. Тем, кто привык просить – о помощи... о выгоде... да обо всём на свете! Только бы не бороться самому!.. Это – людишки, Изидора! И они стоят того, чтобы ими управляли! А остальное уже дело времени. Вот поэтому я и прошу Вас помочь мне дожить до того дня, когда я обрету полную власть в этом ничтожном мире!.. Тогда Вы увидите, что я не шутил, и что Земля будет полностью мне подчиняться! Я сделаю из неё свою империю... О, мне нужно только время!.. И Вы его мне дадите, Изидора. Вы просто пока об этом не знаете.

Определение 1: Пусть - отношение порядка на множестве
. Элемент
называетсянаименьшим (наибольшим) элементом множества , если выполнено условие:

(для наименьшего элемента);

(для наибольшего элемента).

Определение 2: Пусть - отношение порядка на множестве
. Элемент
называетсяминимальным (максимальным) элементом множества , если выполнено условие:

(для минимального элемента);

(для максимального элемента).

Если порядок на данном множестве – линейный, то понятия наименьшего и минимального элемента (наибольшего и максимального) совпадают. Таким образом, эти понятия различны только в том случае, когда порядок на множествене является линейным.

Если во множестве есть наименьший элемент, то он будет и минимальным. Обратное не всегда верно. Кроме того, в некотором множестве при заданном отношении порядка может быть много минимальных элементов, но ни одного наименьшего.

Пример:

1) На множестве
рассмотрим отношение
. Все простые числа при введенном порядке будут минимальными, но ни одно из них не будет наименьшим.

2) Множество всех подмножеств некоторого множества обладает единственным минимальным элементом - пустым множеством. Во множестве всех непустых подмножеств некоторого произвольного множества минимальными элементами являются все одноэлементные подмножества. Наконец, если множество бесконечное, то множество всех его бесконечных подмножеств вообще не имеет минимальных элементов.

По определению, элемент частично упорядоченного множества будет наименьшим, если он меньше всех элементов. Ясно, что если наименьший элемент существует, то он единственный. Аналогично определяется наибольший элемент.

Рассмотрим класс частично упорядоченных множеств, удовлетворяющих следующим эквивалентным между собой условиям:

1) Условие минимальности . Всякое непустое подмножество

обладает хотя бы одним минимальным во множестве
элементом.

2) Условие обрыва убывающих цепей . Всякая строго убывающая цепь элементов
частично упорядоченного множества
обрывается на конечном месте. Другими словами, для всякой убывающей цепи
существует такой индекс, при котором эта цепь стабилизируется, т.е.
.

3) Условие индуктивности. Все элементы частично упорядоченного множества
обладают некоторым свойством, если этим свойством обладают все минимальные элементы этого множества (если они существуют) и если из справедливости свойствадля всех элементов, строго предшествующих некоторому элементу, может быть выведена справедливость этого свойства для самого элемента.

Теорема 1: Условия минимальности, обрыва убывающих цепей и индуктивности - эквивалентны между собой.

Доказательство: 1) Сначала покажем, что из условия минимальности вытекает условие индуктивности. Действительно, пусть частично упорядоченное множество
удовлетворяет условию минимальности и пусть в нем для некоторого свойствавыполняются посылки условия индуктивности. Если при этом во множестве
существуют элементы, которые не обладают свойством, то пустьбудет одним из минимальных среди таких элементов (существование такого элементаобеспечивается условием минимальности). Элементне может быть минимальным во всем множестве
, что следует из посылки условия индуктивности, а так как все элементы, строго предшествующие элементу, свойствомуже обладают, то по условию индуктивности и элементобязан обладать этим свойством. Мы пришли к противоречию.

2) Покажем, что из условия индуктивности вытекает условие обрыва убывающих цепей. Пусть частично упорядоченное множество
удовлетворяет условию индуктивности. Применим это условие к следующему свойству: элементобладает свойством, если всякая строго убывающая цепь элементов, начинающаяся элементом, обрывается на конечном месте. Этим свойством обладают, очевидно, все минимальные элементы множества
, если они существуют. С другой стороны, пусть все элементы, строго предшествующие элементу, обладают свойством. Это значит, что все убывающие цепи, начинающиеся с элементов, строго предшествующих элементу, обрываются на конечном месте, но тогда и всякая строго убывающая цепь, начинающаяся элементом, обрывается. Из условия индуктивности следует, что свойствомобладают все элементы множества
, т.е. во множестве
обрывается всякая строго убывающая цепь.

3) Из условия обрыва убывающих цепей вытекает условие минимальности. Предположим, что частично упорядоченное множество
условию минимальности не удовлетворяет, пусть найдется его непустое подмножество
, которое не имеет минимальных элементов. Пользуясь аксиомой выбора (см. далее) отметим по одному элементу в каждом непустом подмножестве из множества
, а затем построим последовательность элементов
следующим образом. В качествевыберем элемент, отмеченный в подмножестве
. Если элемент, уже выбран и
, то в качестве следующего элемента
берем элемент, отмеченный в непустом (т.к.
не имеет минимальных элементов) множестве элементов из
, строго предшествующих. Построенная последовательность является бесконечной строго убывающей цепью. Значит, множество
не удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей. Теорема доказана.

Определение 3: Частично упорядоченное множество называется структурой или решёткой , если в нем любое двухэлементное подмножество имеет точную верхнюю границу
и точную нижнюю границу
. Точная верхняя граница
для элементовиобладает свойствами:
, и
причем
, если- любая другая верхняя граница этих элементов. Аналогично определяется точная нижняя граница.

Определение 4: Решетка называется дистрибутивной , если операции
и
связаны дистрибутивными законами, т.е. выполнены соотношения:

Замечание: Указанные соотношения называются двойственными. Отметим, что в решетке одно из этих соотношений является следствием другого.

Определение 5: Нулем и единицей решетки называются его наименьший и наибольший элементы, если они существуют.

Определение 6: В решетке можно определить следующим образом дополнение: является дополнением для(а- дополнением для), если одновременно
и
.

Определение 7: Дистрибутивная решетка с отличными друг от друга 0 и 1, в которой всякий элемент имеет дополнение, называется булевой алгеброй.

Отметим, что теория решеток и теория булевых алгебр – это самостоятельные разделы алгебры.

Определение 8: Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее условию минимальности (а значит и двум другим условиям, эквивалентным с ним), называется вполне упорядоченным .

Примером вполне упорядоченного множества служит множество натуральных чисел с естественным порядком. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само вполне упорядочено. Из определения вполне упорядоченного множества следует, что оно обладает единственным минимальным элементом.

Во вполне упорядоченном множестве для всякого элемента существует элемент, непосредственно следующий за. Элементможет не иметь, однако, непосредственно предшествующего элемента; в этом случае он называйсяпредельным элементом .

При изучении бесконечных множеств часто приходится пользоваться следующей аксиомой, которую называют аксиомой выбора.

Аксиома: Если дано множество
, то существует функция, сопоставляющая каждому непустому подмножеству
определенный элемент
этого подмножества.

Другими словами, функция отмечает по одному элементу в каждом из непустых подмножеств множества
.

Вопрос о логических основах этой аксиомы и о законности ее использования относится к числу самых трудных и спорных вопросов обоснования теории множеств. Многие из теорем, доказанные с помощью аксиомы выбора совершенно противоречили наглядности. Поэтому один из видных математиков XX века Бертран Рассел так высказался об этой аксиоме: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же перестаешь понимать, что же она означает».

Имеется целый ряд утверждений, каждое из которых эквивалентно аксиоме выбора. Например, следующие теоремы.

Теорема Цериело: Всякое множество можно вполне упорядочить.

Теорема Хауздорфа: Всякая цепь частично упорядоченного множества содержится в некоторой максимальной цепи.

Бинарное отношениена множестве А называется антисимметричным если:

(а,в А) а ф в в ф а

Бинарное отношение на множестве А называется рефлексивным если:

Бинарное отношение на множестве А называется транзитивным если:

(a,в,cA) aв вc > а с

Отношение делимости (нацело) на множестве натуральных чисел N антисимметрично. В самом деле, если ав, ва, то существуют натуральные q 1 ,qN, такие, что а=вq 1 , в=аq откуда а=аq 1 q, то есть q 1 q=1. Но,

q 1 ,qN,следовательно q 1 =q=1, откуда следует, что а = в.

Рефлексивное антисимметричное транзитивное бинарное отношение на множестве А называется отношением порядка (частичного порядка) на множестве А.

Множество А с заданным на нем отношением частичного порядка? называют частично упорядоченным множеством и обозначают < А; ? >.

В дальнейшем для удобства будем пользоваться сокращением ЧУМ, обозначающим частично упорядоченное множество.

< N, ? > ? обычное нестрогое неравенство чисел (в школьном смысле). Нужно доказать транзитивность, рефлексивность и антисимметричность этого отношения?.

a) a ? a ,(2 ? 2) - рефлексивность,

b) если а? в, в? с, то a ? c, (3 ? 4, 4 ? 5 > 3 ? 5) - транзитивность,

c) если a ? в, в? a, то a=в, (3 ? 3, 3 ? 3 > 3=3) - антисимметричность.

Из этого следует, что < N, ? > - ЧУМ.

a) Отношение делимости на множестве натуральных чисел N рефлексивно, т.к всякое число кратно самому себе, т.е т.к для любого аN всегда a = a 1 (1N), это, по смыслу отношение, имеем а а. Следовательно, рефлексивно.

б) Если первое число делится нацело на второе(т.е кратное второму), а второе кратно третьему, то первое кратно третьему, значит отношение транзитивно, т.е. если а в, в с, a,в,cN. Значит, существуют такие q,qN, что

Обозначим: q = qqN. Имеем

где qN, т.е. а с - по определению. Следовательно, отношение транзитивно.

в) Антисимметричность отношения следует из того, что два натуральных числа, кратных друг другу, равны между собой, т.е. если ав, ва, то существуют такие q 1 ,qN, что

то есть q 1 q=1. Но, q 1 ,qN,следовательно q 1 =q=1, откуда следует, что а = в. Следовательно антисимметрично.

Поэтому есть частичный порядок и, стало быть, < N, > - ЧУМ(частично упорядоченным множеством).

Элементы a,в ЧУМа А называются несравнимыми и записываются

если a ? в и в? а.

Элементы a,в ЧУМа А называются сравнимыми если a ? в или в? а.

Частичный порядок? на A называется линейным, а само ЧУМ линейно - упорядоченным или цепью, если любые два элемента из А сравнимы, т.е. для любых a,в A, либо a ? в, либо в? a.

< N, ? >, - являются цепью. Однако <В(М) ; > ,где В(М) - множество всех подмножеств множества М или В(М) называется булеаном на множестве М, не является цепью, т.к. не для любых двух подмножеств множество М одно является подмножеством другого.

Пусть < А, ? > - произвольный ЧУМ.

Элемент mA называется минимальным, если для любого x A из того, что x ? m следует x = m.

Смысл этого понятия в том, что А не содержит элементов строго меньших этого элемента m. Говорят, что х строго меньше m и записывают х < m, если x ? m, но притом x ? m. Аналогично определяется максимальный элемент этого ЧУМ. Ясно, что если m, m- разные минимальные (максимальные) элементы ЧУМ, то m || m.

В теории частично упорядоченных множеств условие a ? в иногда читают так: элемент а содержится в элементе в или элемент в содержит элемент а.

Каждый элемент конечного ЧУМа содержит минимальный элемент и содержится в максимальном элементе этого ЧУМа.

Доказательство:

Пусть а - произвольный элемент конечного ЧУМа S. Если а - минимальный элемент, то в силу рефлексивности, лемма доказана. Если А не минимален, то найдется элемент а такой, что

Если а минимален, то всё доказано. Если же элемент ане является минимальным, то для некоторого а получим

Если а минимален, то из (1), (2), благодаря транзитивности, заключаем, что а содержит минимальный элемент а. Если же а не минимален, то

Таким образом, на некотором n - ом шаге рассуждений процесс оборвется, что равносильно тому, что элемент а минимален. При этом

а< а<< а< а< а

За счет транзитивности отсюда следует, что элемент а содержит минимальный элемент а. Аналогично, элемент а содержится в максимальном элементе. Лемма доказана.

Следствие.

Конечное ЧУМ содержит, по меньшей мере, один минимальный элемент.

Сейчас мы введем важное для дальнейшего изложения понятие диаграммы конечного ЧУМа S.

Вначале берем все минимальные элементы m, m, m в S. Согласно следствию такие найдутся. Затем в частично упорядоченном множестве

S = S {m, m, m},

которые, как и S , является конечным, берем минимальные элементы, и рассматриваем множество

Элементы “ первого ряда “m, m, m изображаем точками. Несколько выше отмечаем точками элементы “ второго ряда” , и соединяем отрезками точки в том и только том случаи, если m<

Далее отыскиваем минимальные элементы ЧУМа, изображаем их точками “третьего ряда” и соединяем точками “второго ряда” указанным выше способом. Продолжаем процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны все элементы данного ЧУМа S. Процесс конечен в силу конечности множества S. Полученную совокупность точек и отрезков называют диаграммой ЧУМа S. При этом a < в тогда и только тогда, когда от “точки” а можно перейти к “точки” в по некоторой “восходящей” ломаной. В силу этого обстоятельства, любое конечное ЧУМ можно отождествить с его диаграммой.

Здесь задано диаграммой ЧУМ

S = {m, m, },в которой m< , m< , m< m< , m< m< , m< .

Элемент m называется наименьшим элементом ЧУМа, если для любого x A всегда m ? x.

Понятно, что наименьший элемент является минимальным, но обратное не верно: не всякий минимальный элемент является наименьшим. Наименьший элемент (если такой имеется) только один. Аналогично определяется наибольший элемент.

Это ЧУМ, элементы которого попарно несравнимы. Такие частично упорядоченные множества называются антицепями.

Эта цепь с наименьшим и наибольшим элементом. Где 0 - наименьший элемент, а 1 - наибольший элемент.

Пусть М - подмножество частичного упорядоченного множества А. Элемент а A называют нижней гранью множества М, если а? х для любого x М.

Наибольшая из всех нижних граней множества М, если она существует, называется точной нижней гранью множества М и обозначают inf M.

Пусть < А, ? > - произвольный ЧУМ. Элемент сA называется точной нижней гранью элементов a,в A, если с = inf{a,в}.

Замечание 1.

Не во всяком ЧУМ для любых двух элементов существует точная нижняя грань.

Покажем это на примере.

Для {a;c},{d;e} нет нижней грани,

inf{a;в}=d, inf{в;c}=e.

Приведем пример ЧУМ, у которого для любых элементов существует точная нижняя грань.

inf{a;в}=d, inf{a;d}=d, inf{a;0}=0, inf{a;c}=0, inf{a;e}=0,

inf{в;c}=e, inf{в;e}=e, inf{в;d}=d,

inf{c;e}=c, inf{c;0}=0, inf{c;d}=0,

inf{d;e}=0, inf{d;0}=0,

Определение: Частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов существует точная нижняя грань, называется полурешеткой.

Пример 10.

Приведем пример ЧУМ, которое не является полурешеткой.

Пусть < N, ? > - линейно - упорядоченное множество натуральных чисел и e,eN. На множестве N=N{ e ,e} определим бинарное отношение? , пологая что x ? y, если x,y N, где x ? y, или если x N, y { e ,e}. Также считаем по определению: e ? e ,e? e.

Диаграмма этого ЧУМ следующая:

Любое натуральное число n ? e и n ? e, но в N нет наибольшего элемента, следовательно, N - ЧУМ, но не полурешетка.

Итак, по самому определению, полурешетка есть модель (как множество с отношением?). Как мы сейчас увидим к понятию полурешетки возможен и другой подход, а именно, полурешетку можно определить как некоторую алгебру.

Для этого введем некоторые дополнительные алгебраические понятия. Как известно, полугруппой называется непустое множество с заданной на нем ассоциативной бинарной алгебраической операцией.

Произвольную полугруппу обычно обозначают S (semigroup).

Определение. Элемент eS называется идемпотентом, если

e= e, то есть e · e = e.

Пример 11.

Полугруппа < N; · > ? обладает единственным идемпотентом 1.

Полугруппа < Z; + > ? обладает единственным идемпотентом 0.

Полугруппа < N; + > ? не имеет идемпотента, т.к. 0N.

Для любого непустого множества X, как обычно, через обозначается множество всех подмножеств множества X - булеан множества X. Полугруппа <В;> - такова, что каждый ее элемент идемпотентен.

Полугруппа называется идемпотентной полугруппой или связкой, если каждый ее элемент является идемпотентным. Таким образом, примерами связки является всякий булеан относительно объединения.

Пример 12.

Пусть X - произвольное множество.

B- множество всех подмножеств множества Х.

B- называется булеаном на множестве Х.

Если Х = {1,2,3} , то

B = {O,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}}.

Так как пересечение двух подмножеств множества Х вновь является подмножеством в Х, то имеем группоид < В;> , более того, это полугруппа и даже связка, так как

А В и А= АА =А.

Точно также, имеем связку <; В > .

Коммутативная связка называется полурешеткой.

Пример 13.

Пусть Х = {1,2,3}, построим диаграмму < В; >.

Приведем примеры ЧУМ, но не полурешетки.

Пример 14.

ЧУМ с двумя нижними гранями е и d , которые между собой не сравнимы: е||d. Следовательно, inf{a;с} не существует.

Пример 15.

ЧУМ с двумя нижними гранями с и d, которые между собой несравнимы: с||d. Следовательно, inf{a;в} не существует.

Приведем примеры полурешеток.

Пример 16.

Диаграмма:

inf{a;в}=в, inf{a;с}=с, inf{a;d}=d,

inf{в;c}=d, inf{в;d}=d,

Пример 17.

Является полурешеткой, т.к. для любых двух элементов существует точная нижняя грань, т.е.

inf{a;в}=в, inf{a;с}=с, inf{в;c}=с.

Теорема 1.

Пусть - полурешетка. Тогда коммутативная связка, где